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培优课　与集合有关的新定义问题
第一章
1.理解与集合有关的新定义的含义.
2.能够将新定义问题转化为集合问题，提升学生理解问题、解决创新问题的能力.
学习目标
课时精练
一、与集合定义有关的新定义问题
二、与集合运算有关的新定义问题
三、与集合性质有关的新定义问题
课堂达标
内容索引
与集合定义有关的新定义问题
一
√
例1
与集合新定义有关的问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的创新问题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决.
思维升华
训练1
√
√
所以m，n的值一个为0，
另一个为1，即x∈A时，x B，或x∈B时，x A，
所以A，B的关系为B＝ RA或A＝ RB，故选A、C.
与集合运算有关的新定义问题
二
√
(1)(多选)定义集合运算：A?B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{2，3}，B＝{1，2}，则下列结论正确的有
A.x可取2个值，y可取2个值，z＝(x＋y)×(x－y)对应4个式子
B.A?B中有4个元素
C.A?B中所有元素之和为4
D.A?B的真子集有7个
例2
√
根据新定义A?B中的z对应的式子为z1＝(2＋1)×(2－1)，z2＝(3＋1)×(3－1)，z3＝(2＋2)×(2－2)，z4＝(3＋2)×(3－2)，共4个式子，4个式子对应的值分别为3，8，0，5，所以A?B＝{0，3，5，8}，有4个元素，所有元素之和为16；真子集个数为24－1＝15.
由题意可知，集合M，N都是由数轴上0～1这一段上的点所对应的实数组成的集合(如图所示)，
思维升华
与集合运算有关的新定义问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的.
训练2
约定?与 是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数a，b，有a?b＝ab，
{1，2}
与集合性质有关的新定义问题
三
(1)(多选)整数集合Z中，被4所除余数为K的所有整数组成一个“类”，记作[K]，以下判断正确的是
A.2 025∈[1] B.－2 [2]
C.[2]∪[3]＝ Z[1] D.a∈[2]，b∈[3]，则a＋b∈[1]
√
例3
√
对于A，因为2 025＝506×4＋1，
所以2 025∈[1]，故A正确；
对于B，因为－2＝(－1)×4＋2，所以－2∈[2]，故B错误；
对于C，因为Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，
所以 Z[1]＝[0]∪[2]∪[3]，故C错误；
对于D，a∈[2]，b∈[3]，则a＝4n＋2，n∈Z，b＝4m＋3，m∈Z，a＋b＝4n＋2＋4m＋3＝4(n＋m)＋5＝4(n＋m＋1)＋1，m∈Z，n∈Z，
所以n＋m＋1∈Z，所以a＋b∈[1]，故D正确.
(2)设集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A I，②|A|≤min(A)，(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为________.
8
①当|A|＝1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为：{1}，{3}，{5}，{7}，
②当|A|＝2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为：{3，5}，{3，7}，{5，7}
③当|A|＝3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为：{3，5，7}，
所以I的所有好子集的个数为8.
思维升华
与集合性质有关的新定义问题是利用集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题.
训练3
√
√
√
当a＝0时，B＝{0}，B A，所以A与B构成“全食”；
所以A与B构成“全食”；
【课堂达标】
1.定义运算：a⊙b＝ab－b.若集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x＝a⊙2，a∈A}，则A∩B＝
A.{0} B.{1} C.{0，2} D.{1，2}
√
由题意得B＝{x|x＝2a－2，a∈A}＝{－2，0，2}，所以A∩B＝{0，2}.
√
3.设A、B是两个非空集合，定义AΔB＝{x|x∈A∪B且x A∩B}，已知集合A＝[0，2]，B＝(1，＋∞)，则AΔB＝_______________________.
[0，1]∪(2，＋∞)
A∩B＝(1，2]，A∪B＝[0，＋∞)，
∴AΔB＝[0，1]∪(2，＋∞).
4.给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1 S，x－1 S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个.
6
若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共有6个.
【课时精练】
√
1.对于集合A，B，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x B}，已知集合U＝{x|－3A.{－2，0，1，3，4，5} B.{0，1，3，4，5}
C.{－1，2，6} D.{－2，0，1，3，4}
结合新定义可知E－F＝{－1，2，6}，
又U＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5，6}，
所以 U(E－F)＝{－2，0，1，3，4，5}.
√
2.若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B＝{x∈Z|
－3A.3 B.4 C.7 D.8
由题中定义可知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，而B＝{x∈Z|－3√
对于①,因为1∈{1，0，－1}，－1∈{1，0，－1}，而－1－1＝－2 {1，0，－1}，
对于②，因为集合A为“好集”，
所以0∈A，0－y＝－y∈A，
所以x－(－y)＝x＋y∈A，故②正确.
√
√
√
根据“影子关系”集合的定义，
√
5.(多选)我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算.设A，B为两个集合，称由所有属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合为集合A与集合B的差集，记为A－B，即A－B＝{x|x∈A，且x B}.下列表达式一定正确的是
A.(A－B)∩(B－A)＝ B.(A－B)∪(B－A)＝A∪B
C.A－(A－B)＝B－(B－A) D.(A－B)∪B＝A∪(B－A)
√
√
对于A，(A－B)∩(B－A)＝{x|x∈A，且x B}∩{x|x∈B，且x A}＝ ，故A正确；
对于B，(A－B)∪(B－A)＝{x|x∈A，且x B}∪{x|x∈B，且x A}＝(A∪B)－(A∩B)，故B不正确；
对于C，因为A－(A－B)＝A∩B，B－(B－A)＝B∩A，所以A－(A－B)＝B－(B－A)，故C正确；
对于D，因为(A－B)∪B＝A∪B，A∪(B－A)＝A∪B，所以(A－B)∪B＝A∪(B－A)，故D正确.
6.已知集合A＝{0，2，3}，定义集合运算A※A＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则A※A＝____________________.
{0，2，3，4，5，6}
由题意知，集合A＝{0，2，3}，
则a与b可能的取值为0，2，3，
∴a＋b的值可能为0，2，3，4，5，6，
∴A※A＝{0，2，3，4，5，6}.
7.设集合I＝{1，2，3}，A I，若把集合M∪A＝I的集合M叫做集合A的配集，则A＝{1，2}的配集有________个.
4
由题意，M可以是{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共4个.
9.数学上把在平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称之为格点或整点.设集合S为第一象限连同边界上的格点集，即S＝{(x，y)|x∈N，y∈N}，已知集合P＝{(x，y)|y＝－2x＋3}，Q＝{(x，y)|y＝－x2＋3}.
(1)分别求P∩S和Q∩S；
y＝－2x＋3，令x＝0，解得y＝3，
令x＝1，解得y＝1，
故P∩S＝{(0，3)，(1，1)}，y＝－x2＋3，
令x＝0，解得y＝3，
令x＝1，解得y＝2，故Q∩S＝{(0，3)，(1，2)}，
(2)求(P∩S)∪(Q∩S).
(P∩S)∪(Q∩S)＝{(0，3)，(1，1)，(1，2)}.
(2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素.
√
11.(多选)给定集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A，且x B}，则AΔB＝(A－B)∪(B－A)叫做集合A与集合B的对称差，若集合A＝{y|y＝x2－2x－1，0A.A＝[－2，2] B.AΔB＝[－2，1]∪(2，5)
C.AΔB＝BΔA D.AΔB＝(A∪B)－(A∩B)
√
√
对于A，∵A＝{y|y＝x2－2x－1，0对于B，∵A＝[－2，2]，B＝[1，5)，
∴AΔB＝(A－B)∪(B－A)＝[－2，1)∪(2，5)，故B错误；
对于C，AΔB＝(A－B)∪(B－A)＝(B－A)∪(A－B)＝BΔA，故C正确；
对于D，∵(A∪B)－(A∩B)＝[－2，5)－[1，2]＝[－2，1)∪(2，5)，
又∵AΔB＝[－2，1)∪(2，5)，
∴AΔB＝(A∪B)－(A∩B)，故D正确.
12.设A是正整数集的非空子集，称集合B＝{|u－v||u，v∈A，且u≠v}为集合A的生成集.当A＝{1，3，6}时，则集合A的生成集B＝____________；若A是由5个正整数构成的集合，则其生成集B中元素个数的最小值为________.
{2，3，5}
4
(1)若A＝{1，3，6}，
则|1－3|＝2，|1－6|＝5，|3－6|＝3，
所以B＝{2，3，5}.
(2)若A是由5个正整数构成的集合，
不妨设x1>x2>x3>x4>x5，
可得x1－x5>x2－x5>x3－x5>x4－x5，
即B中元素至少有4个元素，
例如A＝{1，2，3，4，5}，
则|1－2|＝|2－3|＝|3－4|＝|4－5|＝1，
|1－3|＝|2－4|＝|3－5|＝2，|1－4|＝|2－5|＝3，|1－5|＝4，
此时B＝{1，2，3，4}有4个元素，
所以生成集B中元素个数的最小值为4.
13.定义区间(c，d)、[c，d)、(c，d]、[c，d]的长度均为d－c，其中d>c.
(1)不等式－2不等式－2∴该不等式的解区间的长度是3－(－1)＝4.
14.设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，用U的子集表示由0，1组成的6位字符串，如{2，4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若M＝{2，3，6}，则 UM表示的6位字符串为________；
(2)若A＝{1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是________.
100110
4
(1)M表示的6位字符串是011001，
则 UM表示的6位字符串为100110；
(2)若A＝{1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，
∴集合B可能是{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，共4个.培优课　与集合有关的新定义问题
学习目标　1.理解与集合有关的新定义的含义.2.能够将新定义问题转化为集合问题，提升学生理解问题、解决创新问题的能力.
一、与集合定义有关的新定义问题
例1 若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)
A.1 B.3
C.7 D.31
答案　B
解析　∵当-1∈A时，则∈A;
当2∈A时，则∈A;
当∈A时，则=2∈A，
∴集合M=中所有满足伙伴关系集合定义的元素有3个，那么A={-1}或A=或A=.
思维升华　与集合新定义有关的问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的创新问题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决.
训练1 (多选)设A，B是R中的两个子集，对于x∈R，定义:m=n=若对任意x∈R，m+n=1，则A，B的关系为(　　)
A.B= RA B.B= R(A∩B)
C.A= RB D.A= R(A∩B)
答案　AC
解析　因为m=n=且对任意x∈R，m+n=1，
所以m，n的值一个为0，
另一个为1，即x∈A时，x B，或x∈B时，x A，
所以A，B的关系为B= RA或A= RB，故选A、C.
二、与集合运算有关的新定义问题
例2 (1)(多选)定义集合运算:A B={z|z=(x+y)×(x-y)，x∈A，y∈B}，设A={2，3}，B={1，2}，则下列结论正确的有(　　)
A.x可取2个值，y可取2个值，z=(x+y)×(x-y)对应4个式子
B.A B中有4个元素
C.A B中所有元素之和为4
D.A B的真子集有7个
(2)设集合M=，N=，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b，a，b∈R}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是　　　　.
答案　(1)AB　(2)
解析　(1)根据新定义A B中的z对应的式子为z1=(2+1)×(2-1)，z2=(3+1)×(3-1)，z3=(2+2)×(2-2)，z4=(3+2)×(3-2)，共4个式子，4个式子对应的值分别为3，8，0，5，所以A B={0，3，5，8}，有4个元素，所有元素之和为16;真子集个数为24-1=15.
(2)由题意可知，集合M，N都是由数轴上0~1这一段上的点所对应的实数组成的集合(如图所示)，
且集合M，N的“长度”分别为，
因此要使M∩N的“长度”最小，
需使它们重叠部分最少.由图可知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最少，
所以所求最小值为=.
思维升华　与集合运算有关的新定义问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的.
训练2 约定 与 是两个运算符号，其运算法则如下:对任意实数a，b，有a b=ab，a b=b(a2+b2+1).设-2答案　{1，2}
解析　根据运算法则，得x=2(a b)+=2ab+a2+b2+1=(a+b)2+1.(*)
当a=-1时，b=1(b=0不符合题意舍去);
当a=0时，b=1.
把分别代入(*)式，
得x=1或x=2，
故A={1，2}.
三、与集合性质有关的新定义问题
例3 (1)(多选)整数集合Z中，被4所除余数为K的所有整数组成一个“类”，记作[K]，以下判断正确的是(　　)
A.2 025∈[1]
B.-2 [2]
C.[2]∪[3]= Z[1]
D.a∈[2]，b∈[3]，则a+b∈[1]
(2)设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足:①A I，②|A|≤min(A)，(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为　　　　.
答案　(1)AD　(2)8
解析　(1)对于A，因为2 025=506×4+1，
所以2 025∈[1]，故A正确;
对于B，因为-2=(-1)×4+2，所以-2∈[2]，故B错误;
对于C，因为Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]，
所以 Z[1]=[0]∪[2]∪[3]，故C错误;
对于D，a∈[2]，b∈[3]，则a=4n+2，n∈Z，b=4m+3，m∈Z，a+b=4n+2+4m+3=4(n+m)+5=4(n+m+1)+1，m∈Z，n∈Z，
所以n+m+1∈Z，所以a+b∈[1]，故D正确.
(2)①当|A|=1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为:{1}，{3}，{5}，{7}，
②当|A|=2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为:{3，5}，{3，7}，{5，7}
③当|A|=3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为:{3，5，7}，
所以I的所有好子集的个数为8.
思维升华　与集合性质有关的新定义问题是利用集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题.
训练3 (多选)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合A={-1，-，0，1}，B={x|(ax+1)(x-a)=0}，若A与B构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值可以是(　　)
A.-2 B.0
C.1 D.2
答案　BCD
解析　当a=0时，B={0}，B A，
所以A与B构成“全食”;
当a>0时，B=，如果a=1，-=-1，B={-1，1}，A与B构成“全食”;
如果a=2，
∴-=-，B=，
此时A与B构成 “偏食”;
当a<0时，如果a=-1，则-=1，B={-1，1}，B A，
所以A与B构成“全食”;
如果a=-2，则-=，B=，
所以A错误.故选BCD.
【课堂达标】
1.定义运算:a☉b=ab-b.若集合A={0，1，2}，B={x|x=a☉2，a∈A}，则A∩B=(　　)
A.{0} B.{1}
C.{0，2} D.{1，2}
答案　C
解析　由题意得B={x|x=2a-2，a∈A}={-2，0，2}，所以A∩B={0，2}.
2.若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合A=，则其“2元子集”的个数为(　　)
A.6 B.8
C.9 D.10
答案　A
解析　集合A=的所有“2元子集”为，{-2，3}，{-2，4}，，{3，4}共6个.
3.设A、B是两个非空集合，定义AΔB={x|x∈A∪B且x A∩B}，已知集合A=[0，2]，B=(1，+∞)，则AΔB=　　　　.
答案　[0，1]∪(2，+∞)
解析　A∩B=(1，2]，A∪B=[0，+∞)，
∴AΔB=[0，1]∪(2，+∞).
4.给定集合S={1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x+1 S，x-1 S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有　　　　个.
答案　6
解析　若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共有6个.
课时精练
一、基础巩固
1.对于集合A，B，定义集合A-B={x|x∈A，且x B}，已知集合U={x|-3E={-1，0，2，4，6}，F={0，3，4，5}，则 U(E-F)=(　　)
A.{-2，0，1，3，4，5} B.{0，1，3，4，5}
C.{-1，2，6} D.{-2，0，1，3，4}
答案　A
解析　结合新定义可知E-F={-1，2，6}，
又U={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，
所以 U(E-F)={-2，0，1，3，4，5}.
2.若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B={x∈Z|-3A.3 B.4
C.7 D.8
答案　C
解析　由题中定义可知A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，而B={x∈Z|-33.若集合A同时具有以下三个性质:(1)0∈A，1∈A;(2)若x，y∈A，则x-y∈A;(3)若x∈A且x≠0，则∈A.则称A为“好集”.已知命题:①集合{1，0，-1}是好集;②对任意一个“好集”A，若x，y∈A，则x+y∈A.以下判断正确的是(　　)
A.①和②均为真命题
B.①和②均为假命题
C.①为真命题，②为假命题
D.①为假命题，②为真命题
答案　D
解析　对于①，因为1∈{1，0，-1}，-1∈{1，0，-1}，而-1-1=-2 {1，0，-1}，
所以集合{1，0，-1}不是好集，故①错误;
对于②，因为集合A为“好集”，
所以0∈A，0-y=-y∈A，
所以x-(-y)=x+y∈A，故②正确.
4.(多选)若对任意x∈A，∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是(　　)
A.{-1，1} B.
C.{x|x2>1} D.{x|x>0}
答案　ABD
解析　根据“影子关系”集合的定义，
可知{-1，1}，，{x|x>0}为“影子关系”集合，
由{x|x2>1}={x|x<-1，或x>1}，
当x=2时， {x|x2>1}，
故不是“影子关系”集合.故选ABD.
5.(多选)我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算.设A，B为两个集合，称由所有属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合为集合A与集合B的差集，记为A-B，即A-B={x|x∈A，且x B}.下列表达式一定正确的是(　　)
A.(A-B)∩(B-A)=
B.(A-B)∪(B-A)=A∪B
C.A-(A-B)=B-(B-A)
D.(A-B)∪B=A∪(B-A)
答案　ACD
解析　对于A，(A-B)∩(B-A)={x|x∈A，且x B}∩{x|x∈B，且x A}= ，故A正确;
对于B，(A-B)∪(B-A)={x|x∈A，且x B}∪{x|x∈B，且x A}=(A∪B)-(A∩B)，故B不正确;
对于C，因为A-(A-B)=A∩B，B-(B-A)=B∩A，所以A-(A-B)=B-(B-A)，故C正确;
对于D，因为(A-B)∪B=A∪B，A∪(B-A)=A∪B，所以(A-B)∪B=A∪(B-A)，故D正确.
6.已知集合A={0，2，3}，定义集合运算A※A={x|x=a+b，a∈A，b∈A}，则A※A=　　　　.
答案　{0，2，3，4，5，6}
解析　由题意知，集合A={0，2，3}，
则a与b可能的取值为0，2，3，
∴a+b的值可能为0，2，3，4，5，6，
∴A※A={0，2，3，4，5，6}.
7.设集合I={1，2，3}，A I，若把集合M∪A=I的集合M叫做集合A的配集，则A={1，2}的配集有　　　　个.
答案　4
解析　由题意，M可以是{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共4个.
8.对于集合M，N，定义M-N={x|x∈M，且x N}，M N=(M-N)∪(N-M)，设A=，B={x|x<0，x∈R}，则A B=　　　　.
答案　∪[0，+∞)
解析　A B=(A-B)∪(B-A)={x|x≥0}∪=.
9.数学上把在平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称之为格点或整点.设集合S为第一象限连同边界上的格点集，即S={(x，y)|x∈N，y∈N}，已知集合P={(x，y)|y=-2x+3}，Q={(x，y)|y=-x2+3}.
(1)分别求P∩S和Q∩S;
(2)求(P∩S)∪(Q∩S).
解　(1)y=-2x+3，令x=0，解得y=3，
令x=1，解得y=1，
故P∩S={(0，3)，(1，1)}，y=-x2+3，
令x=0，解得y=3，
令x=1，解得y=2，故Q∩S={(0，3)，(1，2)}，
(2)(P∩S)∪(Q∩S)={(0，3)，(1，1)，(1，2)}.
10.设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件:
①1 S;②若a∈S，则∈S.
(1)求证:若a∈S，则1-∈S;
(2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素.
(1)证明　因为1 S，由a∈S，则∈S，
所以1-a≠0，
可得∈S，
即==1-∈S，
故若a∈S，则1-∈S.
(2)解　由2∈S，得=-1∈S;
由-1∈S，得=∈S;
而当∈S时，=2∈S，…，
因此当2∈S时，集合S中必含有-1，两个元素.
二、综合运用
11.(多选)给定集合A，B，定义A-B={x|x∈A，且x B}，则AΔB=(A-B)∪(B-A)叫做集合A与集合B的对称差，若集合A={y|y=x2-2x-1，0A.A=[-2，2]
B.AΔB=[-2，1]∪(2，5)
C.AΔB=BΔA
D.AΔB=(A∪B)-(A∩B)
答案　ACD
解析　对于A，∵A={y|y=x2-2x-1，0对于B，∵A=[-2，2]，B=[1，5)，
∴AΔB=(A-B)∪(B-A)=[-2，1)∪(2，5)，故B错误;
对于C，AΔB=(A-B)∪(B-A)=(B-A)∪(A-B)=BΔA，故C正确;
对于D，∵(A∪B)-(A∩B)=[-2，5)-[1，2]=[-2，1)∪(2，5)，
又∵AΔB=[-2，1)∪(2，5)，
∴AΔB=(A∪B)-(A∩B)，故D正确.
12.设A是正整数集的非空子集，称集合B={|u-v||u，v∈A，且u≠v}为集合A的生成集.当A={1，3，6}时，则集合A的生成集B=　　　　;若A是由5个正整数构成的集合，则其生成集B中元素个数的最小值为　　　　.
答案　{2，3，5}　4
解析　(1)若A={1，3，6}，
则|1-3|=2，|1-6|=5，|3-6|=3，
所以B={2，3，5}.
(2)若A是由5个正整数构成的集合，
不妨设x1>x2>x3>x4>x5，
可得x1-x5>x2-x5>x3-x5>x4-x5，
即B中元素至少有4个元素，
例如A={1，2，3，4，5}，
则|1-2|=|2-3|=|3-4|=|4-5|=1，
|1-3|=|2-4|=|3-5|=2，|1-4|=|2-5|=3，|1-5|=4，
此时B={1，2，3，4}有4个元素，
所以生成集B中元素个数的最小值为4.
13.定义区间(c，d)、[c，d)、(c，d]、[c，d]的长度均为d-c，其中d>c.
(1)不等式-2(2)如果数集A=，B=都是集合的子集，那么A∩B的长度的最小值和最大值分别是多少 (直接写出答案)
解　(1)不等式-2∴该不等式的解区间的长度是3-(-1)=4.
(2)由题意知
解得0≤a≤≤b≤1，
取a=0，b=1，则A=，B=，
得A∩B=，
∴集合A∩B的长度取到最小值，最小值为=;
取a=0，b=，则A=，B=，
得A∩B=，
∴集合A∩B的长度取到最大值，最大值为.
三、拓展提高
14.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集表示由0，1组成的6位字符串，如{2，4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若M={2，3，6}，则 UM表示的6位字符串为　　　　;
(2)若A={1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是　　　　.
答案　(1)100110　(2)4
解析　(1)M表示的6位字符串是011001，
则 UM表示的6位字符串为100110;
(2)若A={1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，
∴集合B可能是{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，共4个.

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