资源简介

章末综合测评(二)　一元二次函数、方程和不等式
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为(　　)
A．{x|x≤－3或x≥2}
B．{x|x≤－3或x≥1}
C．{x|－3≤x≤1或x≥2}
D．
2．若A＝－x2＋2x，B＝6x＋4，则A与B的关系是(　　)
A．A≤B 　 B．B≤A
C．B＝A 　 D．与x的值有关
3．已知x>2，则x＋的最小值为(　　)
A．6 　 B．5
C．4 　 D．3
4．已知a＞b，且ab≠0，c∈R，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a2＞b2 　 B．＜
C．≥ 　 D．＞
5．已知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－1或x＞3}，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞0
B．c＜0
C．a＋b＋c＜0
D．cx2－bx＋a＜0的解集为
6．已知命题“ x∈R，使(m－2)x2＋(m－2)x＋1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为(　　)
A．m>6 　 B．2C．2≤m<6 　 D．m≤2
7．若两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋＜m2－m有解，则实数m的取值范围是(　　)
A．－1＜m＜2
B．m＜－2或m＞1
C．－2＜m＜1
D．m＜－1或m＞2
8．小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则(　　)
A．小齐两次购买葡萄的平均价格比小港低
B．小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低
C．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格一样
D．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格无法比较
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知2A．6<2x＋y<9 　 B．2<2x－y<3
C．－110．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B的坐标为(－1，0)，则下面结论中正确的是(　　)
A．2a＋b＝0
B．8a＋c<0
C．b2－4ac>0
D．当y<0时，x<－1或x>4
11．(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 　 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 　 D．x2＋y2≥1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．当a＜－1时，不等式(a－x)(x＋1)＞0的解集为________．
13．(教材P49习题2.2T7改编)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则顾客购得的黄金________10 g(填“大于”“小于”或“等于”)
14．若实数x>0，y>0，且满足x＋y＝8－xy．则xy的最大值为________；x＋y的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知正数a，b满足a＋2b＝ab．
(1)求ab的最小值；
(2)求a＋b的最小值；
(3)求的最小值．
16．(本小题满分15分)已知函数y＝(m＋1)x2－mx＋1．
(1)当m＝5时，求不等式y>0的解集；
(2)若不等式y>0的解集为R，求实数m的取值范围．
17．(本小题满分15分)当a>0时，求关于x的不等式ax2－3x＋2>ax－1的解集．
18．(本小题满分17分)【教材原题·P55习题2.3T6】如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响．据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长(精确到0.1 h)
19．(本小题满分17分)已知实数a，b，c满足a>b>c．
(1)求证：>0；
(2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得>0对任意的a，b，c恒成立，求p的值；
(3)继续推广，自然数m，n，p满足什么条件时，不等式>0对任意a，b，c恒成立？
章末综合测评(二)
1．D　[不等式－3x2＋5x－4>0可化为3x2－5x＋4<0，Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4<0的解集为空集，故选D．]
2．A　[因为A－B＝－x2＋2x－(6x＋4)＝－x2－4x－4＝－(x2＋4x＋4)＝－(x＋2)2≤0，所以A≤B．故选A．]
3．A　[由x>2，知x－2>0，
所以x＋＋2＝6，
当且仅当x－2＝时，即x＝4时，等号成立，
所以x＋的最小值为6．故选A．]
4．D　[当a＝1，b＝－2时，1>－2，而12<(－2)2＝4，，而无意义，故ABC错误；
因为c2＋1>0，所以，D正确．]
5．D　[因为不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1或x>3}，
所以－1和3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a<0，选项A错误；
由根与系数的关系得解得b＝－2a，c＝－3a>0，选项B错误；
所以a＋b＋c＝a－2a－3a＝－4a>0，选项C错误；
不等式cx2－bx＋a<0可化为－3ax2＋2ax＋a<0，即3x2－2x－1<0，
解得－6．C　[由题意可知 x∈R，(m－2)x2＋(m－2)x＋1>0恒成立．
①当m－2＝0，即m＝2时，1>0恒成立；
②当m－2≠0时，
解得27．D　[因为正实数x，y满足4x＋y＝2xy，所以＝2，
所以x＋＝2，
当且仅当＝2，
即时等号成立．
因为不等式x＋所以只需2即可，
所以m<－1或m>2．故选D．]
8．B　[设两次葡萄的单价分别为a元/千克和b元/千克，且a≠b，
则小齐两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克，
小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元/千克．
因为>0，
所以小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低．故选B．]
9．ACD　[∵2∴4∴－3<－y<－2，－1故选ACD．]
10．ABC　[因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，
所以x＝－＝1，得2a＋b＝0，故A正确；
当x＝－2时，y＝4a－2b＋c<0，把A选项代入得8a＋c<0，故B正确；
该函数图象与x轴有两个交点，则Δ＝b2－4ac>0，故C正确；
因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，点B的坐标为(－1，0)，
所以点A的坐标为(3，0)，所以当y<0时，x<－1或x>3，故D错误．故选ABC．]
11．BC　[对于A，B，由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤，
即1≥(x＋y)2－，
∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；
对于C，D，由x2＋y2－xy＝1，得
x2＋y2－1＝xy≤，
∴x2＋y2≤2，故C正确，D错误．故选BC．]
12．{x|a13．大于　[由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则a≠b，
再设先称得的黄金为x g，后称得的黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，
∴x＝，y＝，
∴x＋y＝＝10，
当且仅当，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y>10．
因此，顾客购得的黄金大于10 g．]
14．4　4　[∵x>0，y>0，∴8－xy＝x＋y≥2，
即(＋4)(－2)≤0，解得0当且仅当x＝y＝2时，等号成立，
∴xy的最大值为4．
又8－(x＋y)＝xy≤(2，
∴[(x＋y)＋8][(x＋y)－4]≥0，
∴x＋y≥4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
即x＋y的最小值为4．]
15．解：(1)因为a>0，b>0且a＋2b＝ab，
则ab＝a＋2b≥2，即，ab≥8．
当且仅当a＝2b且a＋2b＝ab，即a＝4，b＝2时等号成立，
所以ab的最小值为8．
(2)因为a>0，b>0，且a＋2b＝ab，
则＝1，可得
a＋b＝(a＋b)，
当且仅当，即a＝b，
即a＝2＋，b＝＋1时等号成立，
所以a＋b的最小值为3＋2．
(3)因为a>0，b>0，且a＋2b＝ab，
所以(a－2)(b－1)＝2，可得
＝10＋＝18，
当且仅当，即a＝b＝3时等号成立，
所以的最小值为18．
16．解：(1)当m＝5时，得y＝6x2－5x＋1，
由y>0，得6x2－5x＋1>0，即(3x－1)(2x－1)>0，
解得x<，
故不等式y>0的解集为．
(2)由题意得，(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R，
当m＝－1时，不等式可化为x＋1>0，解得x>－1，即(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为{x|x>－1}，不符合题意，舍去；
当m≠－1时，y＝(m＋1)x2－mx＋1的图象开口向上，且与x轴没有交点时，(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R，
所以
解得
即2－2，
综上，得2－2．
故实数m的取值范围为{m|2－2}．
17．解：ax2－3x＋2>ax－1 ax2－(a＋3)x＋3>0 (ax－3)(x－1)>0，当a>0时，
方程ax2－3x＋2＝ax－1的两个根分别为，1．
当a＝3时，两根相等，故不等式的解集为{x|x≠1}；
当a>3时，<1，不等式的解集为；
当01，不等式的解集为．
综上，当a>3时，不等式的解集为；
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠1}；
当018．解：
如图所示：
设风暴中心最初在A处，经t h后到达B处，向x轴作垂线，垂足为C，
若在点B处受到风暴的影响，则OB＝450，OC＝600cos 45°＝300，AC＝600sin 45°＝300，AB＝20t，
因为OC2＋BC2＝OB2，
所以(300)2＋(300－20t)2＝4502，
即4t2－120t＋1 575＝0，
由求根公式得t＝，
又＝15，
所以从现在起大约13.7 h后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为15 h．
19．解：(1)证明：因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>0，
所以((a－c)＝([(a－b)＋(b－c)]
＝2＋＝4，
当且仅当，即a－b＝b－c，即a＋c＝2b时等号成立，
所以，
所以>0．
(2)>0恒成立，可变形为p<(·[(a－b)＋(b－c)]恒成立，
由(1)知([(a－b)＋(b－c)]的最小值为4，
所以p<4．
又p>1，且p∈N，所以p＝2或3．
(3)类似(2)，不等式>0恒成立，
即p<([(a－b)＋(b－c)]恒成立，
而([(a－b)＋(b－c)]
＝m＋n＋，
当且仅当，
即(b－c)＝(a－b)时等号成立，
所以p即．
所以当自然数m，n，p满足时，不等式>0对任意a，b，c恒成立．
1 / 1

展开更多......

收起↑