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3.1.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
[学习目标]　1．掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．(直观想象、数学运算) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(数学运算)
探究1　函数的表示法
问题　在初中我们学习了函数的哪些常用表示法？
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[新知生成]
[典例讲评]　【链接教材P67例4、P69例7】
1．(源自苏教版教材)购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数，并指出这个函数的值域．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　函数的三种表示法需注意的问题
(1)解析法必须注明函数的定义域．
(2)列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
(3)图象法中要注意图象是离散点还是连续的曲线．
[学以致用]　【链接教材P69练习T1、P73习题3.1T10】
1．某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不得分也不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系．
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探究2　函数图象的画法及应用
[典例讲评]　2．作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝－x，x∈{0，1，－2，3}；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2)．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　描点法作函数图象的3个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
[学以致用]　【链接教材P72练习T1】
2．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．
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探究3　求函数的解析式
　换元法(配凑法)求函数解析式
[典例讲评]　3．已知f (＋1)＝x－2，求f (x)．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　用待定系数法求函数解析式
[典例讲评]　4．已知f (x)是一次函数，且f ( f (x))＝16x－25，求f (x)．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　方程组法(或消元法)求函数解析式
[典例讲评]　5．已知函数f (x)对任意的x都有f (x)－2f (－x)＝1＋2x，求f (x)．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　求函数解析式的4种常用方法
(1)待定系数法：若已知f (x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(2)换元法：对于形如f (g(x))的解析式求f (x)，设t＝g(x)，解出x，代入f (g(x))，求f (t)的解析式即可．
(3)配凑法：对f (g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个变量之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
[学以致用]　3．(1)已知函数f (x)是二次函数，且f (x＋1)＋f (x－1)＝2x2－4x，求f (x)的解析式；
(2)若2f ＋f (x)＝x(x≠0)，求f (x)的解析式．
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1．由下表给出函数y＝f (x)，则f ( f (1))等于(　　)
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
A．1 　 B．2
C．4 　 D．5
2．已知函数f (2x＋1)＝6x＋5，则f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝3x＋2 　 B．f (x)＝3x＋1
C．f (x)＝3x－1 　 D．f (x)＝3x＋4
3．(教材P72练习T1改编)李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
4．已知函数F(x)＝f (x)＋g(x)，其中f (x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________．
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、换元法、配凑法、方程组法(或消元法)、数形结合法．
3．警示牌：画函数图象时忽略函数的定义域．
第1课时　函数的表示法
[探究建构]　探究1
问题　提示：解析法、列表法和图象法．
新知生成　解析式　图象　表格
典例讲评　1．解：(1)解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}．
(2)列表法：如表所示．
x/听 1 2 3 4
y/元 2 4 6 8
(3)图象法：图象由点(1，2)，(2，4)，(3，6)，(4，8)组成，如图所示．
函数的值域是{2，4，6，8}．
学以致用　1．解：(1)列表法：列出参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系如表．
x 0 1 2 3 4 5
y 50 40 30 20 10 0
(2)图象法：画出参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系如图．
(3)解析法：参与者的得分y 与答错题目道数 x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}．
探究2
典例讲评　2．解：(1)列表：
x 0 1 －2 3
y 0 －1 2 －3
函数图象是四个点(0，0)，(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，其值域为{0，－1，2，－3}．
(2)列表：
x 2 3 4 …
y 1 …
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]．
(3)列表：
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2x<2之间的部分．
由图可得该函数的值域为[－1，8)．
学以致用　2．解：(1)y＝x＋1(x0)表示一条射线，图象如图①．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1x1之间的部分后剩余曲线．如图②实线部分．
探究3
典例讲评　3．解：法一(换元法)：令t＋1，则t1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x1)．
法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，
因为＋11，
所以f(x)＝x2－4x＋3(x1)．
典例讲评　4．解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴
∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋．
典例讲评　5．解：由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x 代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立消去f(－x)可得f(x)x－1．
学以致用　3．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)
＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c
＝2ax2＋2bx＋2a＋2c
＝2x2－4x，
所以
所以f(x)＝x2－2x－1．
(2)由f(x)＋2fx(x≠0)，令x，
得f＋2f(x)．
于是得关于f(x)与f的方程组
解得f(x)(x≠0)．
[应用迁移]
1．B　[由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2．故选B．]
2．A　[法一：令2x＋1＝t，则x．
所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2，
所以f(x)＝3x＋2．
法二：因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以f(x)＝3x＋2．]
3．D　[由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D选项符合题意．]
4．F(x)＝3x＋(x≠0)　[设f (x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0，且x≠0)，则F(x)＝kx＋．
由F＝16，F(1)＝8，得
解得所以F(x)＝3x＋(x≠0)．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第三章
函数的概念与性质
3.1　函数的概念及其表示
3.1.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
[学习目标]　1．掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．(直观想象、数学运算) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．函数的表示法有哪几种？
问题2．函数的表示法有什么特点？
探究建构 关键能力达成
探究1　函数的表示法
问题　在初中我们学习了函数的哪些常用表示法？
提示：解析法、列表法和图象法．
[新知生成]
解析式
图象
表格
【教用·微提醒】　(1)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．
(2)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
[典例讲评]　【链接教材P67例4、P69例7】
1．(源自苏教版教材)购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数，并指出这个函数的值域．
[解]　(1)解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}．
(2)列表法：如表所示．
x/听 1 2 3 4
y/元 2 4 6 8
(3)图象法：图象由点(1，2)，(2，4)，(3，6)，(4，8)组成，如图所示．
函数的值域是{2，4，6，8}．
【教材原题·P67例4、P69例7】
例4　某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f (x)．
[解]　这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}．
用解析法可将函数y＝f (x)表示为
y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．
用列表法可将函数y＝f (x)表示为
用图象法可将函数y＝f (x)表示为图3.1-2．
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
例7　表3.1-4是某校高一(1)班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．
表3.1-4
姓名 测试序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
王伟 98 87 91 92 88 95
张城 90 76 88 75 86 80
请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析．
姓名 测试序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
赵磊 68 65 73 72 75 82
班级 平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
[解]　从表3.1-4中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况．如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象(均为6个离散的点)表示出来，如图3.1-6，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助．
从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
反思领悟　函数的三种表示法需注意的问题
(1)解析法必须注明函数的定义域．
(2)列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
(3)图象法中要注意图象是离散点还是连续的曲线．
[学以致用]　【链接教材P69练习T1、P73习题3.1T10】
1．某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不得分也不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系．
[解]　(1)列表法：列出参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系如表．
x 0 1 2 3 4 5
y 50 40 30 20 10 0
(2)图象法：画出参与者的得分y与答错题目道数
x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系如图．
(3)解析法：参与者的得分y 与答错题目道数
x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}．
1．【教材原题·P69练习T1】如图，把直截面半径为25 cm的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为x(单位：cm)，面积为y(单位：cm2)，把y表示为x的函数．
[解]　因为直截面半径为25 cm, 矩形的一边长为x cm，则矩形另一边长为 cm，所以矩形面积y＝x，由于矩形内接于圆，所以其边长的范围是0＜x＜50，把y表示成x的函数为y＝x，x∈(0，50)．
2．【教材原题·P73习题3.1T10】一个老师用5分制对数学作业评分．一次作业中，第一小组同学按座位序号1，2，3，4，5，6的次序，得分依次是5，3，4，2，4，5．你会怎样表示这次作业的得分情况？用x，y分别表示序号和对应的得分，y是x的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域和对应关系各是什么？
[解]　用列表法表示：
用x，y分别表示序号和对应的得分，y是x的函数，其中，定义域是{1，2，3，4，5，6}，值域是{2，3，4，5}，对应关系如上表所示．
序号 1 2 3 4 5 6
分数 5 3 4 2 4 5
探究2　函数图象的画法及应用
[典例讲评]　2．作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝－x，x∈{0，1，－2，3}；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2)．
[解]　(1)列表：
函数图象是四个点(0，0)，(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，其值域为{0，－1，2，－3}．
x 0 1 －2 3
y 0 －1 2 －3
(2)列表：
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]．
x 2 3 4 …
y 1 …
(3)列表：
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分．
由图可得该函数的值域为[－1，8)．
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
反思领悟　描点法作函数图象的3个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
[学以致用]　【链接教材P72练习T1】
2．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．
[解]　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②实线部分．
【教材原题·P72练习T1】下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．
(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；
(2)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进．
[解]　(1)根据回家后，离家的距离又变为0，对应D．
(2)由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化，对应A．
(3)由加速行进，可判断函数的图象上升速度越来越快，对应B．
剩下的图象C为我从家出发后越走越累，所以速度越来越慢．
探究3　求函数的解析式
角度1　换元法(配凑法)求函数解析式
[典例讲评]　3．已知 f (＋1)＝x－2，求f (x)．
[解]　法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f (＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，
因为＋1≥1，
所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
角度2　用待定系数法求函数解析式
[典例讲评]　4．已知f (x)是一次函数，且f ( f (x))＝16x－25，求f (x)．
[解]　设 f (x)＝kx＋b(k≠0)，
则 f ( f (x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴∴或
∴f (x)＝4x－5或f (x)＝－4x＋．
角度3　方程组法(或消元法)求函数解析式
[典例讲评]　5．已知函数f (x)对任意的x都有f (x)－2f (－x)＝1＋2x，求f (x)．
[解]　由题意，在f (x)－2f (－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得f (－x)
－2f (x)＝1－2x，联立消去f (－x)可得
f (x)＝x－1．
反思领悟　求函数解析式的4种常用方法
(1)待定系数法：若已知f (x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(2)换元法：对于形如f (g(x))的解析式求f (x)，设t＝g(x)，解出x，代入
f (g(x))，求f (t)的解析式即可．
(3)配凑法：对f (g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个变量之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
[学以致用]　3．(1)已知函数f (x)是二次函数，且f (x＋1)＋f (x－1)＝2x2－4x，求f (x)的解析式；
(2)若2f ＋f (x)＝x(x≠0)，求f (x)的解析式．
[解]　(1)设 f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f (x＋1)＋f (x－1)
＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c
＝2ax2＋2bx＋2a＋2c
＝2x2－4x，
所以所以
所以f (x)＝x2－2x－1．
(2)由f (x)＋2f ＝x(x≠0)，令x＝，得f ＋2f (x)＝．
于是得关于f (x)与f 的方程组
解得f (x)＝(x≠0)．
【教用·备选题】　设f (x)满足2f (x)＋3f ＝4x－，求f (x)的解析式．
[解]　由2f (x)＋3f ＝4x－，①
得2f ＋3f (x)＝－x，②
2×①－3×②得5f (x)＝－11x＋，
即f (x)＝－x＋(x≠0)．
应用迁移 随堂评估自测
1．由下表给出函数y＝f (x)，则 f ( f (1))等于(　　)
√
A．1 　 B．2
C．4 　 D．5
B　[由题意可知，f (1)＝4，f (4)＝2，∴f ( f (1))＝f (4)＝2．故选B．]
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
2．已知函数f (2x＋1)＝6x＋5，则f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝3x＋2 　
B．f (x)＝3x＋1
C．f (x)＝3x－1 　
D．f (x)＝3x＋4
√
A　[法一：令2x＋1＝t，则x＝．
所以f (t)＝6×＋5＝3t＋2，
所以f (x)＝3x＋2．
法二：因为f (2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以f (x)＝3x＋2．]
√
3．(教材P72练习T1改编)李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是(　　)
D　[由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D选项符合题意．]
4．已知函数F(x)＝f (x)＋g(x)，其中f (x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________________．
F(x)＝3x＋(x≠0)　[设f (x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0，且x≠0)，则F(x)＝kx＋．
由F＝16，F(1)＝8，得
解得所以F(x)＝3x＋(x≠0)．]
F(x)＝3x＋(x≠0)　
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、换元法、配凑法、方程组法(或消元法)、数形结合法．
3．警示牌：画函数图象时忽略函数的定义域．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数的常用表示方法有哪三种？
[提示]　列表法、解析法和图象法．
2．函数的图象一定是一条光滑的曲线吗？
[提示]　不一定，函数的图象有可能是一些离散的点．
3．求函数解析式的常用方法有哪些？
[提示]　(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)方程组法(或消元法)．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(十八)　函数的表示法
一、选择题
1．国内某快递公司快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如表：
运送距离x/km 0邮资y/元 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在北京用这家快递公司邮寄800 g的包裹到距北京1 200 km的某地，那么他应付的邮资是(　　)
A．5.00元 　 B．6.00元
C．7.00元 　 D．无法确定
题号
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C　[根据题意，知x＝1 200．因为1 000<1 200<1 500，所以他应付的邮资y＝7.00元．故选C．]
√
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√
2．中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1，2，3，4，5，6})块月饼需要y元，用解析法将y表示成x的函数为(　　)
A．y＝6x
B．y＝6x(x∈R)
C．y＝6x(x∈{1，2，3，…})
D．y＝6x(x∈{1，2，3，4，5，6})
D　[题中已给出自变量的取值范围为x∈{1，2，3，4，5，6}，结合选项知D正确．]
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√
3．已知函数f (x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象为如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f (g(2))＝(　　)
A．3 　B．2 C．1 　D．0
x 1 2 3
f (x) 2 3 0
B　[由题图可知，g(2)＝1，由表格可知f (g(2))＝f (1)＝2，
故选B．]
√
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4．二次函数图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(　　)
A．y＝－x2＋1 　
B．y＝x2－1
C．y＝4x2－16 　
D．y＝－4x2＋16
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B　[由题意得，设二次函数解析式为y＝ax2＋c(a≠0)，将(0，－1)代入解析式，可得c＝－1，故二次函数的解析式为y＝ax2－1(a≠0)，故可以为y＝－1，ACD选项均不合要求．故选B．]
√
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√
5．(多选)已知f (2x＋1)＝4x2，则(　　)
A．f (1)＝4 　 B．f (－1)＝4
C．f (x)＝x2 　 D．f (x)＝(x－1)2
BD　[令t＝2x＋1，则x＝，因为f (2x＋1)＝4x2，所以f (t)＝4＝(t－1)2，所以f (x)＝(x－1)2，所以f (1)＝(1－1)2＝0，f (－1)＝(－1－1)2＝4．故选BD．]
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二、填空题
6．已知函数f (x)＝x－，且此函数的图象过点(5，4)，则实数m的值为________．
5　[因为函数f (x)＝x－的图象过点(5，4)，
所以4＝5－，解得m＝5．]
5　
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7．已知 f (－1)＝2x－8＋11，则函数 f (x)的解析式为________
___________________．
f (x)＝2x2－4x＋5(x≥－1)　[设t＝－1，则t≥－1，＝t＋1，
所以f (t)＝2(t＋1)2－8(t＋1)＋11＝2t2－4t＋5，
所以f (x)＝2x2－4x＋5(x≥－1)．]
2x2－4x＋5(x≥－1)
f (x)＝
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8．若函数 f (x)满足 f (x)－3f ＝x－，则 f (2)＝________．
　[依题意可得解得 f (2)＝．]
　
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三、解答题
9．画出定义域为{x|－3≤x≤8，且x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}的一个函数的图象．如果平面直角坐标系中点P(x，y)的坐标满足－3≤x≤8，－1≤y≤2，那么其中哪些点不能在图象上？
[解]　由题意可知，满足定义域为{x|－3≤x≤8，且x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}的图象如图所示(答案不唯一)．
结合图象可知，点(5，0)不在图象上．
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10．已知函数 f (x)＝x2－1，g(x)＝(x＋1)2，下表列出了x＝m时各函数的取值，则(　　)
√
A．m＝3，n＝15 　 B．m＝－3，n＝15
C．m＝3，n＝81 　 D．m＝－3，n＝81
x f (x) g(x) f (g(x))
m 8 4 n
B　[由表知，f (m)＝m2－1＝8，g(m)＝(m＋1)2＝4，解得m＝－3，又因为f (g(m))＝f (4)＝16－1＝15＝n，所以m＝－3，n＝15．故选B．]
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11．若函数y＝f (x)对任意的x∈R，均有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，则下列函数可以为y＝f (x)解析式的是(　　)
A．f (x)＝x＋1 　
B．f (x)＝2x－1
C．f (x)＝2x 　
D．f (x)＝x2＋x
√
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C　[对于A，f (x＋y)＝x＋y＋1，f (x)＋f (y)＝x＋1＋y＋1＝x＋y＋2，故f (x＋y)≠f (x)＋f (y)，故A错误；
对于B，f (x＋y)＝2(x＋y)－1＝2x＋2y－1，f (x)＋f (y)＝2x－1＋2y－1＝2x＋2y－2，
故f (x＋y)≠f (x)＋f (y)，故B错误；
对于C, f (x＋y)＝2(x＋y)＝2x＋2y，f (x)＋f (y)＝2x＋2y，故f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，故C正确；
对于D，f (x＋y)＝(x＋y)2＋(x＋y)＝x2＋y2＋2xy＋x＋y，f (x)＋f (y)＝x2＋x＋y2＋y，故f (x＋y)≠f (x)＋f (y)，故D错误．故选C．]
√
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12．(多选)已知一次函数f (x)满足f ( f (x))＝81x＋80，则f (x)的解析式可以为(　　)
A．f (x)＝9x＋8 　
B．f (x)＝－9x－8
C．f (x)＝9x＋10 　
D．f (x)＝－9x－10
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AD　[设 f (x)＝kx＋b(k≠0)，则 f ( f (x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝81x＋80，
所以解得或
则 f (x)＝9x＋8或 f (x)＝－9x－10．
故选AD．]
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13．(多选)设函数f (x)的定义域为D，若 x∈D，f ( f (x))＝x，则称
f (x)为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有(　　)
A．f (x)＝5－x 　
B．f (x)＝5＋x
C．f (x)＝－ 　
D．f (x)＝
√
√
√
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ACD　[若f (x)＝5－x，则f ( f (x))＝5－(5－x)＝x，得f (x)＝5－x为“循环函数”，故A正确；
若f (x)＝5＋x，则f ( f (x))＝5＋(5＋x)＝10＋x≠x，得f (x)＝5＋x不是“循环函数”，故B错误；
若f (x)＝－，则f ( f (x))＝－＝x，得f (x)＝－为“循环函数”，故C正确；
若f (x)＝，则f ( f (x))＝＝＝x，得f (x)＝为“循环函数”，故D正确．故选ACD．]
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14．已知 f (x)是二次函数，且满足 f (0)＝1，f (x＋1)－f (x)＝2x，求
f (x)的解析式．
[解]　由题意设 f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f (0)＝1，所以c＝1，因为f (x＋1)－f (x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2x，
所以2ax＋a＋b＝2x，
所以得a＝1，b＝－1，
所以 f (x)＝x2－x＋1．
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15．已知函数 f (x)对任意x满足：3f (x)－f (2－x)＝4x，二次函数g(x)满足：g(x＋2)－g(x)＝4x且g(1)＝－4．
(1)求f (x)，g(x)的解析式；
(2)若x∈[m，n]时，恒有f (x)≥g(x)成立，求n－m的最大值．
[解]　(1)3f (x)－f (2－x)＝4x，①
用2－x代替上式中的x，
得3f (2－x)－f (x)＝8－4x，②
联立①②，可得f (x)＝x＋1；
设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以g(x＋2)－g(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c－ax2－bx－c＝4x，即4ax＋4a＋2b＝4x，所以解得a＝1，b＝－2，
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又g(1)＝－4，得c＝－3，
所以g(x)＝x2－2x－3．
(2)令f (x)≥g(x)，
即x＋1≥x2－2x－3，
所以x2－3x－4≤0，
解得－1≤x≤4，
所以当x∈时，f (x)≥g(x)，
若要求x∈[m，n]时，恒有f (x)≥g(x)成立，
可得n－m≤4－(－1)＝5，即n－m的最大值是5．
题号
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谢 谢！课时分层作业(十八)　函数的表示法
一、选择题
1．国内某快递公司快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如表：
运送距离x/km 0邮资y/元 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在北京用这家快递公司邮寄800 g的包裹到距北京1 200 km的某地，那么他应付的邮资是(　　)
A．5.00元 　 B．6.00元
C．7.00元 　 D．无法确定
2．中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1，2，3，4，5，6})块月饼需要y元，用解析法将y表示成x的函数为(　　)
A．y＝6x
B．y＝6x(x∈R)
C．y＝6x(x∈{1，2，3，…})
D．y＝6x(x∈{1，2，3，4，5，6})
3．已知函数f (x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象为如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f (g(2))＝(　　)
x 1 2 3
f (x) 2 3 0
A．3 　 B．2
C．1 　 D．0
4．二次函数图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(　　)
A．y＝－x2＋1 　 B．y＝x2－1
C．y＝4x2－16 　 D．y＝－4x2＋16
5．(多选)已知f (2x＋1)＝4x2，则(　　)
A．f (1)＝4 　 B．f (－1)＝4
C．f (x)＝x2 　 D．f (x)＝(x－1)2
二、填空题
6．已知函数f (x)＝x－，且此函数的图象过点(5，4)，则实数m的值为________．
7．已知f (－1)＝2x－8＋11，则函数f (x)的解析式为________．
8．若函数f (x)满足f (x)－3f ＝x－，则f (2)＝________．
三、解答题
9．画出定义域为{x|－3≤x≤8，且x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}的一个函数的图象．如果平面直角坐标系中点P(x，y)的坐标满足－3≤x≤8，－1≤y≤2，那么其中哪些点不能在图象上？
10．已知函数f (x)＝x2－1，g(x)＝(x＋1)2，下表列出了x＝m时各函数的取值，则(　　)
x f (x) g(x) f (g(x))
m 8 4 n
A．m＝3，n＝15 　 B．m＝－3，n＝15
C．m＝3，n＝81 　 D．m＝－3，n＝81
11．若函数y＝f (x)对任意的x∈R，均有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，则下列函数可以为y＝f (x)解析式的是(　　)
A．f (x)＝x＋1 　 B．f (x)＝2x－1
C．f (x)＝2x 　 D．f (x)＝x2＋x
12．(多选)已知一次函数f (x)满足f ( f (x))＝81x＋80，则f (x)的解析式可以为(　　)
A．f (x)＝9x＋8 　 B．f (x)＝－9x－8
C．f (x)＝9x＋10 　 D．f (x)＝－9x－10
13．(多选)设函数f (x)的定义域为D，若 x∈D，f ( f (x))＝x，则称f (x)为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有(　　)
A．f (x)＝5－x 　 B．f (x)＝5＋x
C．f (x)＝－ 　 D．f (x)＝
14．已知f (x)是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x＋1)－f (x)＝2x，求f (x)的解析式．
15．已知函数f (x)对任意x满足：3f (x)－f (2－x)＝4x，二次函数g(x)满足：g(x＋2)－g(x)＝4x且g(1)＝－4．
(1)求f (x)，g(x)的解析式；
(2)若x∈[m，n]时，恒有f (x)≥g(x)成立，求n－m的最大值．
课时分层作业(十八)
1．C　[根据题意，知x＝1 200．因为1 000<1 200<1 500，所以他应付的邮资y＝7.00元．故选C．]
2．D　[题中已给出自变量的取值范围为x∈{1，2，3，4，5，6}，结合选项知D正确．]
3．B　[由题图可知，g(2)＝1，
由表格可知f(g(2))＝f(1)＝2，
故选B．]
4．B　[由题意得，设二次函数解析式为y＝ax2＋c(a≠0)，将(0，－1)代入解析式，可得c＝－1，故二次函数的解析式为y＝ax2－1(a≠0)，故可以为y＝x2－1，ACD选项均不合要求．故选B．]
5．BD　[令t＝2x＋1，则x＝，因为f(2x＋1)＝4x2，所以f(t)＝4(2＝(t－1)2，所以f(x)＝(x－1)2，
所以f(1)＝(1－1)2＝0，f(－1)＝(－1－1)2＝4．故选BD．]
6．5　[因为函数f(x)＝x－的图象过点(5，4)，
所以4＝5－，解得m＝5．]
7．f(x)＝2x2－4x＋5(x≥－1)　[设t＝－1，则t≥－1，＝t＋1，
所以f(t)＝2(t＋1)2－8(t＋1)＋11＝2t2－4t＋5，
所以f(x)＝2x2－4x＋5(x≥－1)．]
8．　[依题意可得解得f(2)＝．]
9．解：由题意可知，满足定义域为{x|－3≤x≤8，且x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}的图象如图所示(答案不唯一)．
结合图象可知，点(5，0)不在图象上．
10．B　[由表知，f(m)＝m2－1＝8，g(m)＝(m＋1)2＝4，解得m＝－3，又因为f(g(m))＝f(4)＝16－1＝15＝n，所以m＝－3，n＝15．故选B．]
11．C　[对于A，f(x＋y)＝x＋y＋1，f(x)＋f(y)＝x＋1＋y＋1＝x＋y＋2，故f(x＋y)≠f(x)＋f(y)，故A错误；
对于B，f(x＋y)＝2(x＋y)－1＝2x＋2y－1，f(x)＋f(y)＝2x－1＋2y－1＝2x＋2y－2，
故f(x＋y)≠f(x)＋f(y)，故B错误；
对于C， f(x＋y)＝2(x＋y)＝2x＋2y，f(x)＋f(y)＝2x＋2y，故f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，故C正确；
对于D，f(x＋y)＝(x＋y)2＋(x＋y)＝x2＋y2＋2xy＋x＋y，f(x)＋f(y)＝x2＋x＋y2＋y，故f(x＋y)≠f(x)＋f(y)，故D错误．故选C．]
12．AD　[设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝81x＋80，
所以
则f(x)＝9x＋8或f(x)＝－9x－10．
故选AD．]
13．ACD　[若f(x)＝5－x，则f(f(x))＝5－(5－x)＝x，得f(x)＝5－x为“循环函数”，故A正确；
若f(x)＝5＋x，则f(f(x))＝5＋(5＋x)＝10＋x≠x，得f(x)＝5＋x不是“循环函数”，故B错误；
若f(x)＝－，则f(f(x))＝－＝x，得f(x)＝－为“循环函数”，故C正确；
若f(x)＝，则f(f(x))＝＝x，得f(x)＝为“循环函数”，故D正确．故选ACD．]
14．解：由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f(0)＝1，所以c＝1，
因为f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2x，
所以2ax＋a＋b＝2x，
所以得a＝1，b＝－1，
所以f(x)＝x2－x＋1．
15．解：(1)3f(x)－f(2－x)＝4x，①
用2－x代替上式中的x，
得3f(2－x)－f(x)＝8－4x，②
联立①②，可得f(x)＝x＋1；
设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以g(x＋2)－g(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c－ax2－bx－c＝4x，
即4ax＋4a＋2b＝4x，
所以解得a＝1，b＝－2，
又g(1)＝－4，得c＝－3，
所以g(x)＝x2－2x－3．
(2)令f(x)≥g(x)，
即x＋1≥x2－2x－3，
所以x2－3x－4≤0，
解得－1≤x≤4，
所以当x∈时，f(x)≥g(x)，
若要求x∈[m，n]时，恒有f(x)≥g(x)成立，
可得n－m≤4－(－1)＝5，即n－m的最大值是5．
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