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1.1从自然数到有理数课时2正负数的概念及意义
基础题训练
知识点1 具有相反意义的量
1．小明和晓晓相约周六早上8点30分在植物园门口见面．若小明早到10分钟记为﹣10分钟，则晓晓晚到2分钟记为（　　）
A．+2分钟 B．﹣2分钟 C．+32分钟 D．﹣32分钟
2．下列不是具有相反意义的量是（　　）
A．前进5米和后退5米
B．收入30元和支出10元
C．向东走10米和向北走10米
D．超过5克和不足2克
3．如果钟表的分针顺时针方向旋转50°，记作+50°，则分针逆时针方向旋转35°，记作 　 　 °．
4．一瓶饮料，饮料瓶瓶身标注的净含量是300mL，测得实际净含量为305mL，记作“+5mL”，若测得实际净含量为295mL，则记作“　 　 ”．
5．粮库某月前5天进出粮食的记录如下：
日期 1 2 3 4 5
进出粮食/吨 ﹣32 +84 ﹣26 ﹣56 +68
其中以运进为正，说出各天记录的实际意义．
知识点2 正数和负数
6．下列数中，属于负数的是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．0
7．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数.如果a表示正数，则﹣a元表示（　　）
A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数
8．在，0，﹣6，，0.5，﹣4，8，这些数中，有理数有a个，正数有b个，分数有c个，负整数有d个，则﹣a+b+c﹣d的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣2 C．1 D．3
9．下列各数中是正数的是 　 　 ；是负数的是 　 　 ；既不是正数也不是负数的是 　 　 ．
﹣3，0，+5，，+3.1，，2022，15%，﹣2023．
10．某超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比的增长率如下表所示，请根据表格信息回答下列问题：
月份 1 2 3 4 5 6
比上年同月增长% ﹣1.8 0 0.2 ﹣1.5 0.3 0.4
（1）该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，哪几个月是增长的？
（2）2021年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？
（3）2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？
易错题
易错点对 0的意义理解不清致错（共1小题）
11．下列说法正确的是 　 　 ．（填序号）
①0是正数和负数的分界点；
②0只表示没有；
③0可以表示特定的意义，如0℃等；
④0是正数，不是负数；
⑤不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数．
中档题训练
12．超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为（200±5）g，（200±10）g，（200±20）g的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（　　）
A．10g B．20g C．30g D．40g
13．第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行．如图是在数轴上表示出的5个城市的国际标准时间（单位：时），奥运会开幕式时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（　　）
A．北京时间7月27日3时30分
B．纽约时间7月26日14时30分
C．伦敦时间7月26日18时30分
D．首尔时间7月27日5时30分
14．七年级（1）班第一次数学测试平均成绩是88分，小浩考了93分，记作“+5分”，小张的成绩记为﹣7分，那么小张考了 　 　 分．
15．某公交车原有22位乘客，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（﹣8，+4），（﹣5，+6），（﹣3，+2），（﹣7，+1），则车上还有 　 　 位乘客．
16．在验光时，验光师经常会以“×××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“﹣0.50D”，近视100度记录为“﹣1.00D”等等．现有5位同学验光记录如下：“﹣0.50D”，“﹣2.50D”，“﹣1.75D”，“﹣2.25D”，“﹣3.50D”，通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，在这5位同学中，需要持续配戴眼镜的有 　 　 位．
17．杨梅生津止渴营养丰富，深受人们的喜爱．宁波是杨梅的产地之一，某果农摘了5筐杨梅，若塑料筐质量忽略不计，每筐杨梅以10kg为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下：
（1）这5筐杨梅中，质量最大的一筐是 　 　 kg，它比质量最小的一筐重 　 　 kg．
（2）这5筐杨梅的总质量为多少千克？若每千克杨梅售价为15元，则这5筐杨梅的总价为多少元？
18．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫．规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果它从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（　 　 ，　 　 ），B→D（　 　 ，　 　 ）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置．
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．
1.1从自然数到有理数课时2正负数的概念及意义
基础题训练
知识点1 具有相反意义的量
1．小明和晓晓相约周六早上8点30分在植物园门口见面．若小明早到10分钟记为﹣10分钟，则晓晓晚到2分钟记为（　　）
A．+2分钟 B．﹣2分钟 C．+32分钟 D．﹣32分钟
【思路点拔】根据正负数是表示一对意义相反的量即可进行解答．
【解答】解：根据小明早到10分钟记为﹣10分钟，可知晚到为“+”，
所以晚到2分钟记为+2分钟，
故选：A．
【点评】此题考查了正负数的应用，解题的关键是清楚具有意义相反的量．
2．下列不是具有相反意义的量是（　　）
A．前进5米和后退5米
B．收入30元和支出10元
C．向东走10米和向北走10米
D．超过5克和不足2克
【思路点拔】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、前进5米和后退5米是具有相反意义的量，故本选项错误；
B、收入30元和支出10元是具有相反意义的量，故本选项错误；
C、向东走10米和向北走10米不是具有相反意义的量，故本选项正确；
D、超过5克和不足2克是具有相反意义的量，故本选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
3．如果钟表的分针顺时针方向旋转50°，记作+50°，则分针逆时针方向旋转35°，记作 　﹣35　 °．
【思路点拔】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：如果钟表的分针顺时针方向旋转50°，记作+50°，则分针逆时针方向旋转35°，记作﹣35°．
故答案为：﹣35．
【点评】本题考查正数和负数以及钟面角，理解具有相反意义的量是解题的关键．
4．一瓶饮料，饮料瓶瓶身标注的净含量是300mL，测得实际净含量为305mL，记作“+5mL”，若测得实际净含量为295mL，则记作“　﹣5mL　 ”．
【思路点拔】理解正负数表示的意义，然后根据含义解答即可．
【解答】解：由题意得，测得实际净含量为295mL，比标注净含量少5mL，可记作“﹣5mL”，
故答案为：﹣5mL．
【点评】本题考查了正负数，理解正负数表示的意义是解题的关键．
5．粮库某月前5天进出粮食的记录如下：
日期 1 2 3 4 5
进出粮食/吨 ﹣32 +84 ﹣26 ﹣56 +68
其中以运进为正，说出各天记录的实际意义．
【思路点拔】根据正负数的实际意义进行解答即可．
【解答】解：∵运进为正，
∴运出为负，
∴各天记录的实际意义为：1日运出32吨粮食，2日运进84吨粮食，3日运出26吨粮食，4日运出56吨粮食，5日运进68吨粮食．
【点评】本题主要考查了正负数的实际意义，解题的关键是熟练掌握具有相反意义的量．
知识点2 正数和负数
6．下列数中，属于负数的是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．0
【思路点拔】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【解答】解：A．2024＞0，是正数；
B．﹣2024＜0，是负数；
C．0，是正数；
D．0既不是正数，也不是负数；
故选：B．
【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
7．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数.如果a表示正数，则﹣a元表示（　　）
A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数
【思路点拔】利用正数、负数的定义解答．
【解答】解：如果a表示正数，则﹣a元表示非正数．
故选：D．
【点评】本题考查了正数负数，解题的关键是掌握正数、负数的定义．
8．在，0，﹣6，，0.5，﹣4，8，这些数中，有理数有a个，正数有b个，分数有c个，负整数有d个，则﹣a+b+c﹣d的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣2 C．1 D．3
【思路点拔】先确定a，b，c，d的值，然后根据有理数的减法运算，可得答案．
【解答】解：在，0，﹣6，，0.5，﹣4，8，这些数中，
有理数有8个，
正数有4个，
分数有4个，
负整数有2个，
则﹣a+b+c﹣d＝﹣8+4+4﹣2＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数是有限小数或无限循环小数．
9．下列各数中是正数的是 　+5，+3.1，2022，15%　 ；是负数的是 　﹣3，﹣3，，﹣2023　 ；既不是正数也不是负数的是 　0　 ．
﹣3，0，+5，，+3.1，，2022，15%，﹣2023．
【思路点拔】根据有理数的分类及定义即可求得答案．
【解答】解：正数是+5，+3.1，2022，15%；
负数是﹣3，﹣3，，﹣2023；
既不是正数也不是负数的是0；
故答案为：+5，+3.1，2022，15%；﹣3，﹣3，，﹣2023；0．
【点评】本题考查有理数的分类及定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
10．某超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比的增长率如下表所示，请根据表格信息回答下列问题：
月份 1 2 3 4 5 6
比上年同月增长% ﹣1.8 0 0.2 ﹣1.5 0.3 0.4
（1）该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，哪几个月是增长的？
（2）2021年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？
（3）2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？
【思路点拔】（1）根据正数表示增长，可得负数表示降低；
（2）根据正数表示增长，可得负数表示降低；
（3）根据正数表示增长，可得负数表示降低．
【解答】解：（1）由正数表示增长，
可知，超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，3月、5月、6月是增长的；
（2）由负数表示降低，
可知，2021年1月和4月比上年同月增长率是负数，表示降低；
（3）2021年上半年与2020年上半年同月份相比营业额没有增长的是1月、2月、4月．
【点评】本题考查了正数和负数，有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键．
易错点 对0的意义理解不清致错
11．下列说法正确的是 　①③　 ．（填序号）
①0是正数和负数的分界点；
②0只表示没有；
③0可以表示特定的意义，如0℃等；
④0是正数，不是负数；
⑤不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数．
【思路点拔】分别根据有理数的加减法法则、正数和负数的定义判断即可．
【解答】解：①0不是负数也不是正数，0是正数和负数的分界点，故结论正确；②0不仅仅表示没有，还有其他意义，故结论错误；③0可以表示特定的意义，如0℃等，故结论正确；④0不是正数，也不是负数，故结论错误；
⑤不是正数的数不一定是负数，有可能是0，不是负数的数不一定是正数，有可能是0．故结论错误．
故答案为：①③．
【点评】此题主要考查了正数和负数，弄清有理数的性质是解本题的关键．
中档题训练
12．超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为（200±5）g，（200±10）g，（200±20）g的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（　　）
A．10g B．20g C．30g D．40g
【思路点拔】认真审题不难发现：任意拿出两袋，最重的是220g，最轻的是180g，由此可得答案．
【解答】解：由题意知：任意拿出两袋，最重的是220g，最轻的是180g，
所以质量最多相差220﹣180＝40（g）．
故选：D．
【点评】考查了正数和负数，认真审题，找出规律，是解决此类问题的关键所在．
13．第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行．如图是在数轴上表示出的5个城市的国际标准时间（单位：时），奥运会开幕式时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（　　）
A．北京时间7月27日3时30分
B．纽约时间7月26日14时30分
C．伦敦时间7月26日18时30分
D．首尔时间7月27日5时30分
【思路点拔】根据数轴可以求得每个地方与巴黎的时间差，据此求得每个地方的时间，从而进行判断．
【解答】解：A、北京时间为：7月27日2时30分，选项错误，不符合题意；
B、纽约时间为：7月26日13时30分，选项错误，不符合题意；
C、伦敦时间为：7月26日18时30分，选项正确，符合题意；
D、首尔时间为：7月27日3时30分，选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，以及有理数的加法和减法，正确理解数轴表示的时间差是关键．
14．七年级（1）班第一次数学测试平均成绩是88分，小浩考了93分，记作“+5分”，小张的成绩记为﹣7分，那么小张考了 　81　 分．
【思路点拔】用正负数来表示具有意义相反的两种量：选88分为标准，记为0，超过部分为正，不足的部分为负，直接得出结论即可．
【解答】解：选88分为标准，记为0，超过部分为正，不足的部分为负，
则小张的成绩记为﹣7分，那么小张考了：88+（﹣7）＝81（分），
故答案为：81．
【点评】本题考查了正数和负数．解题的关键是首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题．
15．某公交车原有22位乘客，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（﹣8，+4），（﹣5，+6），（﹣3，+2），（﹣7，+1），则车上还有 　12　 位乘客．
【思路点拔】根据有理数的加法运算，可得车上人数．
【解答】解：22+（﹣8）+4+（﹣5）+6+（﹣3）+2+（﹣7）+1＝12（人），
故答案为：12．
【点评】本题考查了正数和负数，掌握有理数的加法运算是解题关键．
16．在验光时，验光师经常会以“×××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“﹣0.50D”，近视100度记录为“﹣1.00D”等等．现有5位同学验光记录如下：“﹣0.50D”，“﹣2.50D”，“﹣1.75D”，“﹣2.25D”，“﹣3.50D”，通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，在这5位同学中，需要持续配戴眼镜的有 　3　 位．
【思路点拔】根据已知条件，把这5位同学的近视度数求出，然后根据近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，求出答案即可．
【解答】解：由题意可知：记录﹣0.50D的同学近视50°，记录﹣2.50D的同学近视250°，记录﹣1.75D的同学近视175°，记录﹣2.25D的同学近视225°，记录﹣3.50D的同学近视350°，
∵近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，
∴在这5位同学中，需要持续配戴眼镜的有3位，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了正负数，解题关键是根据题意求出这5位同学的近视度数．
17．杨梅生津止渴营养丰富，深受人们的喜爱．宁波是杨梅的产地之一，某果农摘了5筐杨梅，若塑料筐质量忽略不计，每筐杨梅以10kg为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下：
（1）这5筐杨梅中，质量最大的一筐是 　11　 kg，它比质量最小的一筐重 　3　 kg．
（2）这5筐杨梅的总质量为多少千克？若每千克杨梅售价为15元，则这5筐杨梅的总价为多少元？
【思路点拔】解：（1）求出每一筐的质量即可判断；
（2）把每一筐的质量相加，然后再进行计算．
【解答】（1）∵10﹣2＝8，10﹣0.5＝9.5，10﹣0＝10，10+0.5＝10.5，10+1＝11，
∴质量最大的一筐是11千克，质量最小的一筐是8千克，
∴11﹣8＝3，
∴质量最大的一筐比质量最小的一筐重3千克，
故答案为：11，3；
（2）8+9.5+10+10.5+11＝49（千克），49×15＝735（元），
答：这5筐杨梅总质量为49千克，总价为735元．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，计算准确无误是解题的关键．
18．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫．规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果它从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（　+3　 ，　+4　 ），B→D（　+3　 ，　﹣2　 ）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置．
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．
【思路点拔】（1）依据第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，即可得出结论；
（2）依据甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），即可得到P的位置；
（3）依据甲虫的行走路线为A→B→C→D，即可得到该甲虫走过的路程．
【解答】解：（1）由题可得，A→C（+3，+4），B→D（+3，﹣2），
故答案为：+3，+4，+3，﹣2；
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）该甲虫走过的路程为|+4|+|+1|+|+2|+|+1|+|﹣2|＝10．
【点评】本题主要考查了正数与负数，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．

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