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2.5 二次函数与一元二次方程 课后作业
（一）知识梳理
二次函数与一元二次函数的关系：（a>0）a<0同理可得
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
△＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根
△＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根
△＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根）
（二）知识精练
一、单选题
1．抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线与坐标轴交点个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．根据下列表格中的对应值：判断方程（，、、为常数）一个解的范围最可能是（ ）
A． B． C． D．
4．下列关于二次函数的说法中，正确的是（ ）
A．其图象开口向上 B．当时，函数的最大值是
C．其图象的对称轴是直线 D．其图象与轴有两个交点
5．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3 B．5 C．和5 D．3和
6．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
8．已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．20
9．已知二次函数的部分图象如图，由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别是和（　　）
A． B．
C． D．
10．抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；其中正确的判断是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
二、填空题
11．抛物线交x轴于A，B两点，则长是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于、两点，若，则点到直线的距离为 ．

13．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是 ．
14．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ．
15．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．
下列四个结论：
①4a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a．
其中正确的结论是 （填写序号）．
三、解答题
16．已知抛物线．
(1)求出它的顶点坐标和对称轴；
(2)若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
17．已知 的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
(1)求方程的解；
(2)求方程组的解；
(3)如果方程无实数根，求m的取值范围．
18．已知二次函数．
(1)求证：对于任意实数m，二次函数的图象与x轴总有交点；
(2)若这个二次函数的图象与x轴交于点A，，求点A的坐标．
19．如图①是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯，其示意图如图②，防滑螺母为抛物线支架的最高点，且最高点离灯柱的水平距离为1.8米，灯柱米．已知茶几摆放在距灯柱的水平距离为3米处，且茶几的高为0.8米．使用发现，当灯罩距离茶几面的距离在0.8米～1.2米之间时，光线最佳．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？
参考答案
1．D
【分析】依据题意，将代入解析式即可得解．
【详解】解：由题意，将代入函数解析式，得，
抛物线与y轴的交点坐标是，
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与轴的交点，解题时要熟练掌握并理解坐标特点是关键．
2．B
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点：对于二次函数，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，于是可判断抛物线的图象与坐标轴的交点个数．
【详解】解：令，则，
∵，
∴抛物线与x轴有两个点，
∵时，，
∴抛物线与y轴的交点为，
∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数是3个，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：根据表格可知，当时，；当时，，
∴ 当时，一个解的范围是，
故选：．
4．B
【分析】根据二次函数，，可得函数图象的开口向下，对称轴为直线，当时，函数的最大值是，当时，即，可得图象与轴没有交点，从而可得答案．
【详解】解：二次函数，，
∴函数图象的开口向下，对称轴为直线，当时，函数的最大值是，
当时，即，
∴方程无解，则图象与轴没有交点，
∴A，C，D不符合题意；B符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数与x轴的交点坐标问题，熟记的图象与性质是解本题的关键．
5．D
【分析】本题考查了求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
由题意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：由题意得，，
，
，
解得，或，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了求二次函数的函数值．正确的计算是解题的关键．
分别将各个点坐标代入抛物线解析式，计算求解，然后比大小即可．
【详解】解：将代入，得，；
同理，，
∴，
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数与x轴的交点问题，当时，此时原函数为一次函数，与x轴的交点坐标为，符合题意；当时，原函数为二次函数，此时原函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根，据此利用判别式求解即可．
【详解】解；当时，，在中，当时，，即此时函数与x轴的交点坐标为；
当时，
∵函数的图象与x轴有交点，
∴，
∴且；
综上所述，，
故选：C．
8．A
【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案．
【详解】解：抛物线与一次函数交于两点，
联立，消元得，
，
故选：A
【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键．
9．D
【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，二次函数与一元二次方程的关系，先求出对称轴，再根据二次函数与一元二次方程的关系得出答案即可．
【详解】二次函数的图象的对称轴是直线．
由与对应的点关于对称轴对称，
所以，
即，
解得．
故选：D．
10．A
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用数形结合思想．根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可．
【详解】解：图象开口向上，
，
对称轴为直线，
，
，
，①正确；
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点为，
∴方程的两个根是，；故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y的值随x增大而增大；
∴当时，y的值随x增大而增大；
故③正确，
综上可知，正确的有①②③．
故选:A．
11．6
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x轴相交时，．根据抛物线与x轴分别交于A、B两点，令求得点A、B的坐标，从而可以求得的长．
【详解】解：∵，
∴时，，
解得，，．
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴的长为：．
故答案为：6．
12．//
【分析】本题考查了二次函数的对称性．由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可．
【详解】解：与轴只有一个交点，
，对称轴为直线，
抛物线与平行于轴的直线交于，两点，
，两点的纵坐标相同，设为，
则时，，
解得：，
点A的横坐标是，点的横坐标是，
，
，
解得：；
故答案为：．
13．x1＝﹣3，x2＝1
【分析】根据抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），可得方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，即可求解．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），
∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，
∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
【点睛】本题考查了一次函数与抛物线交点问题，理解交点的横坐标即为方程的解是解题的关键．
14．，
【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可．
【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点，
将代入，得，
∴，
∴原方程为，
解得：，．
故答案为：，．
15．①③④
【分析】将A、B两点坐标代入解析式可判断结论①；抛物线开口向下，由抛物线的对称性，绝对值的意义，可判断结论②；C，D为抛物线与x轴的交点，利用一元二次方程根与系数的关系，计算CD≤6，可以判断结论③；抛物线开口向下，3≤x≤4时函数值递减，由点B（4，3），得到x=3时，y的取值范围便可判断结论④；
【详解】解：将A、B两点坐标代入抛物线得：，
解得，故结论①正确；
抛物线对称轴为=2，函数开口向下，
∵|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0，即P1（x1，y1）离对称轴更远，
∴y1＜y2，故结论②错误；
设C（x3，0），C（x4，0），
由根与系数的关系得：x3＋x4=4，x3·x4=，
∴| x3－x4|=，
解得：a，故结论③正确；
由题意知：x=4时，y=3，
∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，函数开口向下，
∴y对应的整数值为：5，4，3，
∴x=3时，对应的y值：5≤y＜6，
∴5≤9a+3b+c＜6，5≤9a－12a+3＜6，
解得﹣1＜a，故结论④正确；
故答案为：①③④；
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，绝对值的意义，一元二次方程根与系数的关系；掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
16．(1)，对称轴为x=1
(2)
【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解；
（2）令，解方程得交点坐标，进而即可求解．
【详解】（1）解：
∴顶点坐标为；对称轴为x=1；
（2）解：令，即，
解得，
∴的长为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的截线的长，掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与轴的交点坐标，函数与方程无解问题，灵活运用数形结合方法是解题的关键．
（1）令，得，结合图象性质，即可作答．
（2）结合（1）可知，方程组的解，即为与轴的交点坐标，即可作答．
（3）结合函数图象开口向下且最大值为，即可作答．
【详解】（1）解：观察函数图象可知，图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．
将方程变形为，
即时，把代入，
由图象可知的解为，
∴方程的解为．
（2）解：根据图象得，把，代入，
得
解得
∴方程组
解得，；
（3）解：∵的函数图象开口向下且最大值为
∴方程无实根，即无解
则由图象可得，即．
18．(1)见解析
(2)点A的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点坐标，把二次函数与x轴的交点的问题，转化为求的问题进行解答即可．
（1）依题意可计算出，得出，即可得出二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）令求出两交点为，从而分类讨论得解．
【详解】（1）证明：，
，
对于任意实数，二次函数的图象与轴总有公共点；
（2）解：令，则，
解得：，
即这个二次函数的图象与x轴交于点，
当即为点时，，；
当即为点时，，；
∴点A的坐标为或
19．此时台灯光线最佳，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数关系式、求函数值等知识，由题意，设抛物线顶点式，由题意得到，利用待定系数法确定函数关系式即可求出，将代入求值，进而由当灯罩距离茶几面的距离在0.8米～1.2米之间时，光线最佳．熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，抛物线支架的最高点，
∴设该抛物线的函数关系式为，
由灯柱米得到，
将代入得，解得，
∴抛物线的函数关系式为，
当时，，
∵茶几高为0.8米，
∴，
∵，
∴此时台灯光线最佳．

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