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第2课时　奇偶性的应用
[学习目标]　1．掌握用奇偶性求解析式的方法．(数学运算) 2．理解奇偶性对单调性的影响并能用此比较大小、求最值和解不等式．(逻辑推理、数学运算)
探究1　根据函数的奇偶性求函数的解析式
[典例讲评]　【链接教材P86习题3.2T11】
1．若函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝x2－2x－1，求函数f (x)的解析式．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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[母题探究]　将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，当x≥0时，f (x)＝x2－2x－1，求当x＜0时，函数f (x)的解析式．
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　利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f (x)的奇偶性写出－f (x)或f (－x)，从而解出f (x)．
提醒：若奇函数f (x)在x＝0处有意义，则必有f (0)＝0．
[学以致用]　1．f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝，求函数f (x)，g(x)的解析式．
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探究2　利用函数的奇偶性与单调性比较大小
问题　结合奇函数与偶函数的图象特点，想一想：如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？
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[新知生成]　【链接教材P101复习参考题3T9】
(1)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a(2)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a(3)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a(4)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a[尝试解答]　_________________________________________________________
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[典例讲评]　2．设偶函数f (x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是(　　)
A．f (π)＞f (－3)＞f (－2)
B．f (π)＞f (－2)＞f (－3)
C．f (－2)>f (－3)>f (π)
D．f (－3)>f (－2)＞f (π)
[尝试解答]　_________________________________________________________
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[母题探究]　(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系如何？
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小．
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　比较函数值大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小．
[学以致用]　2．函数y＝f (x)在[0，2]上单调递增，且函数f (x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)
A．f (1)B．f C．f D．f ____________________________________________________________________
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探究3　利用函数的奇偶性与单调性解不等式
[典例讲评]　3．已知定义在[－2，2]上的函数f (x)在[0，2]上单调递减，且f (1－m)(1)若f (x)是奇函数，求m的取值范围；
(2)若f (x)是偶函数，求m的取值范围．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　利用函数的奇偶性与单调性解不等式的策略
(1)结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x1)f (x2)的形式．
(2)利用单调性“脱去”函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题．
提醒：利用偶函数的性质f (x)＝f (|x|)可以避免讨论，简化计算，同时注意函数自身定义域对参数的影响．
[学以致用]　3．(1)已知偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0，若f (x－1)>0，则x的取值范围是________．
(2)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)在(0，＋∞)上单调递减，f (－5)＝0，则不等式xf (x)>0的解集是________．
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1．已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f (x)＝2x2＋a－1，则f (a)＝(　　)
A．－2 　 B．2
C．0 　 D．4
2．(教材P86习题3.2T11改编)已知函数f (x)在R上为偶函数，且当x≥0时，f (x)＝x＋1，则当x<0时，f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝x－1 　 B．f (x)＝x＋1
C．f (x)＝－x＋1 　 D．f (x)＝－x－1
3．(多选)已知f (x)在R上为偶函数，且有f (3)>f (1)，则下列各式中一定成立的是(　　)
A．f (－1)C．f (3)>f (2) 　 D．f (2)>f (0)
4．已知函数f (x)在R上单调递减，且为奇函数，若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围为________．
1．知识链：
2．方法链：转化法、数形结合法．
3．警示牌：利用奇偶性求函数的解析式时，因转化混乱导致求解错误．
第2课时　奇偶性的应用
[探究建构]　探究1
典例讲评　1．解：当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，
因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，
所以x<0时，f(x)＝－x2－2x＋1，
故f(x)
母题探究　解：当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x－1，
即x<0时，f(x)＝x2＋2x－1．
学以致用　1．解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
∵f(x)＋g(x)，①
用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)，
∴f(x)－g(x)，②
(①＋②)÷2，得f(x)；
(①－②)÷2，得g(x)．
探究2
问题　提示：奇函数在(－2，－1)上单调递减，则在(1，2)上单调递减；偶函数在(－2，－1)上单调递减，则在(1，2)上单调递增．
新知生成　(1)单调递增　一致(相同)　(2)单调递减　相反　(3)－M　(4)N
典例讲评　2．A　[由偶函数与单调性的关系知，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，
∴f(π)>f(－3)>f(－2)，故选A．]
母题探究　解：(1)因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f(2)>f(3)>f(π)．又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，从而有f(－2)>f(－3)>f(π)．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在R上是增函数，
因为－3<－2<π，所以f(－3)学以致用　2．B　[∵函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f，f，
又f(x)在[0，2]上单调递增，
∴f即f探究3
典例讲评　3．解：(1)若f (x)是奇函数，则f (x)在[－2，2]上单调递减，由f (1－m)解得m∈，故m的取值范围为．
(2)若f (x)是偶函数，因为f (x)在[0，2]上单调递减，故f (x)在[－2，0]上单调递增，
由f (1－m)故解得m∈，
故m的取值范围为．
学以致用　3．(1)(－1，3)　(2)(－5，0)∪(0，5)　[(1)∵f(x)为偶函数，
∴f(x－1)＝f(|x－1|)，
又f(2)＝0，f(x－1)>0，
∴f(|x－1|)>f(2)．
∵|x－1|∈[0，＋∞)，2∈[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴|x－1|<2，即－2∴x的取值范围为(－1，3)．
(2)依题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－5)＝0，由此画出f(x)的大致图象如图所示，由图可知，xf(x)>0的解集是(－5，0)∪(0，5)．
]
[应用迁移]
1．A　[因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝2x2＋a－1，
所以f(0)＝a－1＝0，解得a＝1，
所以当x0时，f(x)＝2x2，
所以f(a)＝f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＝－2．
故选A．]
2．C　[当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－x＋1，
由于f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－x＋1．
故选C．]
3．AB　[∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，∴f(－3)>f(1)，f(3)>f(－1)都成立．]
4．[1，3]　[由题知f(－1)＝－f(1)＝1，
所以f(1)f(x－2)f(－1)，
又f(x)在R上单调递减，
所以－1x－21，即1x3．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第三章
函数的概念与性质
3.2　函数的基本性质
3.2.2　奇偶性
第2课时　奇偶性的应用
[学习目标]　1．掌握用奇偶性求解析式的方法．(数学运算) 2．理解奇偶性对单调性的影响并能用此比较大小、求最值和解不等式．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何利用函数的奇偶性求解析式？
问题2．奇(偶)函数在对称区间上的单调性存在怎样的关系？
探究建构 关键能力达成
探究1　根据函数的奇偶性求函数的解析式
[典例讲评]　【链接教材P86习题3.2T11】
1．若函数 f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝x2－2x－1，求函数 f (x)的解析式．
[解]　当x＜0时，－x＞0，
f (－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，
因为函数f (x)是奇函数，所以f (x)＝－f (－x)，
所以x＜0时，f (x)＝－x2－2x＋1，
故 f (x)＝
[母题探究]　将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，当x≥0时，
f (x)＝x2－2x－1，求当x＜0时，函数f (x)的解析式．
[解]　当x＜0时，－x＞0，
f (－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，
因为函数f (x)是偶函数，
所以f (x)＝f (－x)，
所以f (x)＝x2＋2x－1，
即x＜0时，f (x)＝x2＋2x－1．
【教材原题·P86习题3.2T11】已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f (x)＝x(1＋x)．画出函数f (x)的图象，并求出函数的解析式．
[解]　因为函数 f (x)是定义域为R的奇函数，所以其图象关于原点对称且 f (－x)＝－f (x)，图象如图所示．
当x≥0时，f (x)＝x(1＋x)，所以当x＜0时，－x＞0，则f (－x)＝
(－x)(1－x)＝－f (x)，
整理得f (x)＝x(1－x)＝－x2＋x，所以f (x)的解析式为f (x)＝
反思领悟　利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用 f (x)的奇偶性写出－f (x)或 f (－x)，从而解出 f (x)．
提醒：若奇函数 f (x)在x＝0处有意义，则必有f (0)＝0．
[学以致用]　1．f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f (x)＋g(x)＝，求函数 f (x)，g(x)的解析式．
[解]　∵f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)，
∵f (x)＋g(x)＝，①
用－x代替上式中的x，得f (－x)＋g(－x)＝，
∴f (x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f (x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝．
探究2　利用函数的奇偶性与单调性比较大小
问题　结合奇函数与偶函数的图象特点，想一想：如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？
提示：奇函数在(－2，－1)上单调递减，则在(1，2)上单调递减；偶函数在(－2，－1)上单调递减，则在(1，2)上单调递增．
[新知生成]　【链接教材P101复习参考题3T9】
(1)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a(2)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a(3)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a(4)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a单调递增
一致(相同)
单调递减
相反
－M
N
【教材原题·P101复习参考题3T9】
(1)已知奇函数f (x)在[a，b]上单调递减，那么它在[－b，－a]上单调递增还是单调递减？
(2)已知偶函数g(x)在[a，b]上单调递减，那么它在[－b，－a]上单调递增还是单调递减？
[解]　(1)奇函数f (x)在[－b，－a]上单调递减，证明如下： x1，x2∈[－b，－a]，且x1＜x2，
则a≤－x2＜－x1≤b．
因为f (x)在[a，b]上单调递减，
所以f (－x2)＞f (－x1)．
又f (x)为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，于是－f (x2)＞－f (x1)，即f (x1)＞f (x2)．
所以f (x)在[－b，－a]上单调递减．
(2)偶函数g(x)在[－b，－a]上单调递增，
证明如下： x1，x2∈[－b，－a]，且x1＜x2，则a≤－x2＜－x1≤b．
因为g(x)在[a，b]上单调递减，所以g(－x2)＞g(－x1)．
又g(x)是偶函数，所以g(－x)＝g(x)．
于是g(x1)＜g(x2)．
所以g(x)在[－b，－a]上单调递增．
[典例讲评]　2．设偶函数f (x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是(　　)
A．f (π)＞f (－3)＞f (－2)
B．f (π)＞f (－2)＞f (－3)
C．f (－2)>f (－3)>f (π)
D．f (－3)>f (－2)＞f (π)
√
A　[由偶函数与单调性的关系知，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则x∈(－∞，0)时，f (x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，
∴f (π)＞f (－3)＞f (－2)，故选A．]
[母题探究]　(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系如何？
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小．
[解]　(1)因为f (x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f (2)>f (3)>f (π)．又因为f (x)是R上的偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，从而有
f (－2)>f (－3)>f (π)．
(2)因为f (x)为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x)在R上是增函数，
因为－3<－2<π，
所以f (－3)反思领悟　比较函数值大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小．
[学以致用]　2．函数y＝f (x)在[0，2]上单调递增，且函数 f (x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)
A．f (1)B．f C．f D．f √
B　[∵函数f (x＋2)是偶函数，
∴函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，
∴，
又f (x)在[0，2]上单调递增，
∴f 即f 探究3　利用函数的奇偶性与单调性解不等式
[典例讲评]　3．已知定义在[－2，2]上的函数 f (x)在[0，2]上单调递减，且 f (1－m)(1)若 f (x)是奇函数，求m的取值范围；
(2)若 f (x)是偶函数，求m的取值范围．
[解]　(1)若f (x)是奇函数，则f (x)在[－2，2]上单调递减，由f (1－m)
解得m∈，故m的取值范围为．
(2)若f (x)是偶函数，因为f (x)在[0，2]上单调递减，故f (x)在[－2，0]上单调递增，
由f (1－m)故解得m∈，
故m的取值范围为．
反思领悟　利用函数的奇偶性与单调性解不等式的策略
(1)结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x1)f (x2)的形式．
(2)利用单调性“脱去”函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题．
提醒：利用偶函数的性质 f (x)＝f (|x|)可以避免讨论，简化计算，同时注意函数自身定义域对参数的影响．
[学以致用]　3．(1)已知偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0，若f (x－1)>0，则x的取值范围是________．
(2)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)在(0，＋∞)上单调递减，f (－5)＝0，则不等式xf (x)>0的解集是________________．
(－1，3)
(－5，0)∪(0，5)
(1)(－1，3)　(2)(－5，0)∪(0，5)　[(1)∵f (x)为偶函数，
∴f (x－1)＝f (|x－1|)，
又f (2)＝0，f (x－1)>0，
∴f (|x－1|)>f (2)．
∵|x－1|∈[0，＋∞)，2∈[0，＋∞)，且f (x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴|x－1|<2，即－2∴x的取值范围为(－1，3)．
(2)依题意，函数f (x)是定义在R上的奇函数，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，f (－5)＝0，由此画出f (x)的大致图象如图所示，由图可知，xf (x)>0的解集是(－5，0)∪(0，5)．]
应用迁移 随堂评估自测
1．已知 f (x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f (x)＝2x2＋a－1，则 f (a)＝(　　)
A．－2 　 B．2
C．0 　 D．4
√
A　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f (x)＝2x2＋a－1，
所以f (0)＝a－1＝0，解得a＝1，
所以当x≤0时，f (x)＝2x2，
所以f (a)＝f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＝－2．
故选A．]
√
2．(教材P86习题3.2T11改编)已知函数f (x)在R上为偶函数，且当x≥0时，f (x)＝x＋1，则当x<0时，f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝x－1 　 B．f (x)＝x＋1
C．f (x)＝－x＋1 　 D．f (x)＝－x－1
C　[当x<0时，－x>0，所以f (－x)＝－x＋1，
由于f (x)是偶函数，所以f (x)＝f (－x)＝－x＋1．
故选C．]
√
3．(多选)已知f (x)在R上为偶函数，且有f (3)>f (1)，则下列各式中一定成立的是(　　)
A．f (－1)C．f (3)>f (2) 　 D．f (2)>f (0)
AB　[∵f (x)为偶函数，∴f (－3)＝f (3)，f (－1)＝f (1)，又f (3)>f (1)，∴f (－3)>f (1)，f (3)>f (－1)都成立．]
√
4．已知函数f (x)在R上单调递减，且为奇函数，若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围为________．
[1，3]　[由题知f (－1)＝－f (1)＝1，
所以f (1)≤f (x－2)≤f (－1)，
又f (x)在R上单调递减，
所以－1≤x－2≤1，即1≤x≤3．]
[1，3]　
1．知识链：
2．方法链：转化法、数形结合法．
3．警示牌：利用奇偶性求函数的解析式时，因转化混乱导致求解错误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若奇函数f (x)在原点处有定义，则f (0)为定值吗？若f (x)为偶函数呢？
[提示]　若f (x)为奇函数，且在原点处有定义，则f (0)＝0；
若f (x)为偶函数，则无法判断该值的大小．
2．如果奇函数f (x)在区间(a，b)上单调递增，那么f (x)在(－b，－a)上的单调性如何？
如果偶函数g(x)在区间(a，b)上单调递减，那么g(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
[提示]　如果奇函数f (x)在区间(a，b)上单调递增，那么f (x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数g(x)在区间(a，b)上单调递减，那么g(x)在(－b，－a)上单调递增．
3．若奇函数f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f (a)>f (b)，则a，b的大小关系如何？若f (x)为偶函数呢？
[提示]　奇函数时，a>b；偶函数时，|a|<|b|．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(二十三)　奇偶性的应用
√
一、选择题
1．设函数f (x)＝若f (x)是奇函数，则g(－2)等于(　　)
A．－1 　B．0 C．1 　D．2
B　[由已知可得g(－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－(22－2×2)＝0．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．定义在R上的偶函数f (x)满足f (2)＝0，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x)＜0的解集为(　　)
A．(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2，2)
D．(0，2)
题号
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C　[因为f (x)为偶函数，f (2)＝0，且f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
所以f (－2)＝0，f (x)在(－∞，0]上单调递减，
所以不等式f (x)＜0的解集为(－2，2)．
故选C．]
题号
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√
3．若偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，则a＝，b＝f
的大小关系是(　　)
A．b＜a＜c 　 B．b＜c＜a
C．a＜c＜b 　 D．c＜a＜b
C　[由f (x)为偶函数，得a＝f (－)＝f ()．
又＜＜，f (x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f ()＜f ＜f ，即a＜c＜b．]
√
题号
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4．如果偶函数f (x)在[2，5]上单调递减且最小值是4，那么f (x)在[－5，－2]上(　　)
A．单调递减且最小值是4
B．单调递减且最大值是4
C．单调递增且最小值是4
D．单调递增且最大值是4
C　[偶函数f (x)在[2，5]上单调递减且最小值是4，所以f (5)＝4，则f (x)在[－5，－2]上单调递增且最小值为f (－5)＝4．故选C．]
√
题号
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5．(教材P101复习参考题3T12改编)已知函数f (x)＝x－的部分图象如图所示，则(　　)
A．f (x)的定义域为R
B．f (x)的值域为(0，＋∞)
C．f (x)在区间(－∞，0)上单调递减
D．f (x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)
题号
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D　[对于选项A：显然函数 f (x)＝x－x≠0}，故A错误；
对于选项B：由题图可知 f (x)可以为负值，所以 f (x)的值域不为(0，＋∞)，故B错误；
因为f (－x)＝－x－＝－f (x)，可知f (x)为奇函数．
对于选项C：由题图可知f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
则f (x)在区间(－∞，0)上单调递增，故C错误；
题号
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对于选项D：因为f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
且f (1)＝0，此时f (x)＞0的解集为(1，＋∞)；
又因为f (x)在区间(－∞，0)上单调递增，
且f (－1)＝－f (1)＝0，此时f (x)＞0的解集为(－1，0)．
综上所述，f (x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，故D正确．故选D．]
题号
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二、填空题
6．若f (x)是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则函数f (x)的解析式可以为________________________．(写出符合条件的一个即可)
f (x)＝－x2(答案不唯一)　[举例f (x)＝－x2，则f (x)的定义域为R，f (－x)＝－(－x)2＝－x2＝f (x)，
故f (x)为偶函数，易知f (x)在(0，＋∞)上单调递减，故f (x)在上单调递减，符合条件．]
f (x)＝－x2(答案不唯一)　
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7．若f (x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是_________________．
f (－2)当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，
∴m＝0，∴f (x)＝－x2＋2，
∴f (x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．
又0<1<2，∴f (0)>f (1)>f (2)＝f (－2)．]
f (－2)题号
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8．已知f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝x2＋x－2，则
f (x)＝________，g(x)＝________．
x2－2　x　[ f (－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f (x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f (x)－g(x)＝x2－x－2，又f (x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得
f (x)＝x2－2，g(x)＝x．]
x2－2　
x　
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三、解答题
9．(源自湘教版教材)设g(x)是定义在[－5，5]上的函数，且f (x)＝g(x)＋g(－x)，讨论f (x)的奇偶性；如果在[0，5]上，f (x)＝1－2x，试求
f (x)在[－5，0]上的解析式．
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[解]　因为g(x)的定义域为[－5，5]，
所以f (x)＝g(x)＋g(－x)的定义域也为[－5，5]，
又f (－x)＝g(－x)＋g(－(－x))
＝g(－x)＋g(x)
＝f (x)，
所以f (x)为偶函数，
当x∈[－5，0]时，－x∈[0，5]，
由偶函数的性质得f (x)＝f (－x)＝1－2(－x)＝1＋2x．
题号
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10．定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，若f (a)A．ab
C．|a|<|b| 　 D．0≤ab≥0
√
C　[∵f (x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，
∴由f (a)题号
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11．已知定义域为R的函数 f (x)在[2，＋∞)上单调递减，且 f (x＋2)是奇函数，则f (1)，f ，f (3)的大小关系是(　　)
A．f ＜f (1)＜f (3)
B．f (1)＜f (3)＜f
C．f (3)＜f (1)＜f
D．f (3)＜f ＜f (1)
√
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D　[因为f (x＋2)是奇函数，所以 f (x)的图象关于(2，0)对称，且在[2，＋∞)上单调递减，所以 f (x)在(－∞，2)上单调递减，又因为f (x)定义域为R，所以 f (2)＝0，所以 f (x)在R上连续且单调递减，由于1＜＜3，所以f (3)＜f ＜f (1)．故选D．]
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12．已知 f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增．若 f (－3)＝0，则<0的解集为___________________．
(－3，0)∪(3，＋∞)　[结合题意，画出f (x)草图如
图所示，由<0可知：当x<0时，
f (x)>0，此时x∈(－3，0)，当x>0时，f (x)<0，此时x∈(3，＋∞)．故所求不等式的解集是(－3，0)∪(3，＋∞)．]
(－3，0)∪(3，＋∞)
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13．定义在R上的奇函数 f (x)为减函数，若a＋b≤0，给出下列不等式：
① f (a)·f (－a)≤0；
② f (a)＋f (b)≤f (－a)＋f (－b)；
③ f (b)·f (－b)≥0；
④ f (a)＋f (b)≥f (－a)＋f (－b)．
其中正确的是________(填序号)．
①④
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①④　[因为f (x)为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，
所以f (a)·f (－a)＝f (a)·[－f (a)]＝－[ f (a)]2≤0，f (b)·f (－b)＝
f (b)·[－f (b)]＝－[ f (b)]2≤0，所以①正确，③错误；
因为a＋b≤0，所以a≤－b，b≤－a，
因为f (x)在R上为减函数，所以f (a)≥f (－b)，f (b)≥f (－a)，
所以f (a)＋f (b)≥f (－a)＋f (－b)，所以②错误，④正确．
故填①④．]
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14．已知y＝f (x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，且 f (x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论．
[解]　F(x)在(－∞，0)上单调递减．证明如下：
x1，x2∈(－∞，0)，且x1则有－x1>－x2>0．
因为y＝f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f (x)<0，
所以f (－x2)题号
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又因为f (x)是奇函数，
所以f (－x2)＝－f (x2)，f (－x1)＝－f (x1)，②
由①②得f (x2)>f (x1)>0．
于是F(x1)－F(x2)＝>0，
即F(x1)>F(x2)，
所以F(x)＝在(－∞，0)上单调递减．
题号
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15．已知 f (x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且 f (1)＝1，若a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，则有>0成立．
(1)判断f (x)在[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)解不等式：f < f ．
[解]　(1)f (x)在[－1，1]上单调递增．证明如下：
x1，x2∈[－1，1]，且x1∵f (x)为奇函数，
∴f (x1)－f (x2)＝f (x1)＋f (－x2)＝·(x1－x2)．
由已知得>0，又x1－x2<0，
∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)∴f (x)在[－1，1]上单调递增．
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(2)∵f (x)在[－1，1]上单调递增，
∴≤x<－1．
故原不等式的解集为．
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谢 谢！课时分层作业(二十三)　奇偶性的应用
一、选择题
1．设函数f (x)＝若f (x)是奇函数，则g(－2)等于(　　)
A．－1 　 B．0
C．1 　 D．2
2．定义在R上的偶函数f (x)满足f (2)＝0，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x)＜0的解集为(　　)
A．(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2，2)
D．(0，2)
3．若偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，则a＝，b＝f 的大小关系是(　　)
A．b＜a＜c 　 B．b＜c＜a
C．a＜c＜b 　 D．c＜a＜b
4．如果偶函数f (x)在[2，5]上单调递减且最小值是4，那么f (x)在[－5，－2]上(　　)
A．单调递减且最小值是4
B．单调递减且最大值是4
C．单调递增且最小值是4
D．单调递增且最大值是4
5．(教材P101复习参考题3T12改编)已知函数f (x)＝x－的部分图象如图所示，则(　　)
A．f (x)的定义域为R
B．f (x)的值域为(0，＋∞)
C．f (x)在区间(－∞，0)上单调递减
D．f (x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)
二、填空题
6．若f (x)是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则函数f (x)的解析式可以为________．(写出符合条件的一个即可)
7．若f (x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是________．
8．已知f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f (x)＝________，g(x)＝________．
三、解答题
9．(源自湘教版教材)设g(x)是定义在[－5，5]上的函数，且f (x)＝g(x)＋g(－x)，讨论f (x)的奇偶性；如果在[0，5]上，f (x)＝1－2x，试求f (x)在[－5，0]上的解析式．
10．定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，若f (a)A．ab
C．|a|<|b| 　 D．0≤ab≥0
11．已知定义域为R的函数f (x)在[2，＋∞)上单调递减，且f (x＋2)是奇函数，则f (1)，f ，f (3)的大小关系是(　　)
A．f ＜f (1)＜f (3)
B．f (1)＜f (3)＜f
C．f (3)＜f (1)＜f
D．f (3)＜f ＜f (1)
12．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增．若f (－3)＝0，则<0的解集为________．
13．定义在R上的奇函数f (x)为减函数，若a＋b≤0，给出下列不等式：
①f (a)·f (－a)≤0；
②f (a)＋f (b)≤f (－a)＋f (－b)；
③f (b)·f (－b)≥0；
④f (a)＋f (b)≥f (－a)＋f (－b)．
其中正确的是________(填序号)．
14．已知y＝f (x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，且f (x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论．
15．已知f (x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，则有>0成立．
(1)判断f (x)在[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)解不等式：f 课时分层作业(二十三)
1．B　[由已知可得g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2)＝0．]
2．C　[因为f(x)为偶函数，f(2)＝0，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
所以f(－2)＝0，f(x)在(－∞，0]上单调递减，
所以不等式f(x)<0的解集为(－2，2)．
故选C．]
3．C　[由f(x)为偶函数，得a＝f(－)＝f()．
又，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f()4．C　[偶函数f(x)在[2，5]上单调递减且最小值是4，所以f(5)＝4，则f(x)在[－5，－2]上单调递增且最小值为f(－5)＝4．故选C．]
5．D　[对于选项A：显然函数f(x)＝x－的定义域为{x|x≠0}，故A错误；
对于选项B：由题图可知f(x)可以为负值，所以f(x)的值域不为(0，＋∞)，故B错误；
因为f(－x)＝－x－＝－f(x)，可知f(x)为奇函数．
对于选项C：由题图可知f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
则f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，故C错误；
对于选项D：因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
且f(1)＝0，此时f(x)>0的解集为(1，＋∞)；
又因为f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，
且f(－1)＝－f(1)＝0，此时f(x)>0的解集为(－1，0)．
综上所述，f(x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，故D正确．故选D．]
6．f(x)＝－x2(答案不唯一)　[举例f(x)＝－x2，则f(x)的定义域为R，f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，
故f(x)为偶函数，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故f(x)在(0，上单调递减，符合条件．]
7．f(－2)当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，
∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋2，
∴f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．
又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．]
8．x2－2　x　[f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x．]
9．解：因为g(x)的定义域为[－5，5]，
所以f(x)＝g(x)＋g(－x)的定义域也为[－5，5]，
又f(－x)＝g(－x)＋g(－(－x))
＝g(－x)＋g(x)
＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，
当x∈[－5，0]时，－x∈[0，5]，
由偶函数的性质得f(x)＝f(－x)＝1－2(－x)＝1＋2x．
10．C　[∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，
∴由f(a)11．D　[因为f(x＋2)是奇函数，所以f(x)的图象关于(2，0)对称，且在[2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，2)单调递减，又因为f(x)定义域为R，所以f(2)＝0，所以f(x)在R连续且单调递减，由于1<<3，所以f(3)12．(－3，0)∪(3，＋∞)　[
结合题意，画出f(x)草图如图所示，
由<0可知：当x<0时，
f(x)>0，此时x∈(－3，0)，当x>0时，f(x)<0，此时x∈(3，＋∞)．故所求不等式的解集是(－3，0)∪(3，＋∞)．]
13．①④　[因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(a)·f(－a)＝f(a)·[－f(a)]＝－[f(a)]2≤0，f(b)·f(－b)＝f(b)·[－f(b)]＝－[f(b)]2≤0，
所以①正确，③错误；
因为a＋b≤0，
所以a≤－b，b≤－a，
因为f(x)在R上为减函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
所以②错误，④正确．
故填①④．]
14．解：F(x)在(－∞，0)上单调递减．证明如下：
x1，x2∈(－∞，0)，且x1则有－x1>－x2>0．
因为y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，
所以f(－x2)又因为f(x)是奇函数，
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②
由①②得f(x2)>f(x1)>0．
于是F(x1)－F(x2)＝>0，
即F(x1)>F(x2)，
所以F(x)＝在(－∞，0)上单调递减．
15．解：(1)f(x)在[－1，1]上单调递增．证明如下：
x1，x2∈[－1，1]，且x1∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝·(x1－x2)．
由已知得>0，又x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[－1，1]上单调递增．
(2)∵f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴≤x<－1．
故原不等式的解集为．
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