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微专题3　二次函数的最值问题
与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其解题过程可以较全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练几种常见的二次函数最值的求解方法．
探究1　“轴定区间定”问题
[典例讲评]　【链接教材P86习题3.2T7】
1．已知函数f (x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反．
[学以致用]　1．(1)已知函数y＝－x2＋4x－1，x∈[1，4)，则函数的值域为________．
(2)函数f (x)＝3x－的值域为________．
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探究2　“轴变区间定”问题
[典例讲评]　2．求函数f (x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0，2]上的最值．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　“轴变区间定”问题的解题思路
以二次函数图象开口向上、对称轴为直线x＝m，区间为为例，则有
(1)最小值：f (x)min＝
(2)最大值：f (x)max＝
当图象开口向下时，可用类似方法进行讨论．
[学以致用]　2．已知函数f (x)＝x2＋2mx＋3m＋4．
(1)若f (x)在(－∞，1]上单调递减，求m的取值范围；
(2)求f (x)在上的最大值g(m)．
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探究3　“轴定区间变”问题
[典例讲评]　3．求函数f (x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　“轴定区间变”问题的解题思路
分析对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．
[学以致用]　3．(1)已知函数f (x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b＝(　　)
A．－4 　 B．
C．2 　 D．
(2)已知二次函数y＝x2－2x＋4，x∈[0，m]的最小值是3，最大值是4，则实数m的取值范围是________．
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微专题3　二次函数的最值问题
探究1
典例讲评　1．解：
f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．
(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7－7，当x＝2时，等号成立．
故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值．
(2)由图可知，在[0，3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7．
(3)由图可知，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4．
学以致用　1．(1)(－1，3]　(2)　　[(1)由题意得y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3，其函数图象为开口向下，对称轴为直线x＝2的抛物线，
因为x∈[1，4)，所以当x＝2时，y有最大值，最大值为3，当x＝4时，y＝－1，
所以此函数的值域为(－1，3]．
(2)令＝t，则t≥0，且x＝t2－1，
故函数变为g(t)＝3t2－t－3，
因为其图象开口向上，对称轴为直线t＝，
故g(t)＝3t2－t－3的值域为，
即f (x)＝3x－的值域为
探究2
典例讲评　2．解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，图象的对称轴为直线x＝a．
(1)当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a．
①　　　　　　　　　　　　②
(2)当0a<1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a．
(3)当1a2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1．
③　　　　　　　　　　　④
(4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1．
综上，f(x)min
f(x)max
学以致用　2．解：(1)因为函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4，所以其图象的对称轴是x＝－m．
因为f(x)在(－∞，1]上单调递减，
所以－m1，解得m－1，
所以m的取值范围是(－∞，－1]．
(2)f(x)图象的对称轴为直线x＝－m，
当－m>1，即m<－1时，g(m)＝f(0)＝3m＋4；
当－m1，即m－1时，g(m)＝f(2)＝8＋7m．
综上，g(m)
探究3
典例讲评　3．解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，图象的对称轴为直线x＝1．
①　　　　　　　　②　　　　　　　　③
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t1t＋1，即0t1时，函数图象如图②所示，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2．
综上可得，g(t)
学以致用　3．(1)A　(2)[1，2]　[(1)因为f(x)＝－(x－1)2＋，图象开口向下，对称轴为直线x＝1，
函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，
依题意3b，所以b，所以f(x)在区间[a，b]上单调递增，
所以
所以a，b为方程x2＋2x＝0的两根，
所以a＋b＝－－4．故选A．
(2)二次函数y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋33，由x2－2x＋4＝4，解得x＝0或x＝2，
画出二次函数y＝x2－2x＋4(x0)的图象如图所示，由图可知，m的取值范围是[1，2]．
]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
微专题3　二次函数的最值问题
第三章
函数的概念与性质
与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其解题过程可以较全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练几种常见的二次函数最值的求解方法．
探究1　“轴定区间定”问题
[典例讲评]　【链接教材P86习题3.2T7】
1．已知函数f (x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．
[解]　f (x)＝3x2－12x＋5＝－7，作出函数y＝f (x)的图象，如图所示．
(1)当x∈R时，f (x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号
成立．
故当x∈R时，函数f (x)的最小值为－7，无最大值．
(2)由图可知，在[0，3]上，函数f (x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7．
(3)由图可知，函数f (x)在[－1，1]上单调递减，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4．
【教材原题·P86习题3.2T7】已知函数f (x)＝x2－2x，g(x)＝x2－2x(x∈[2，4])．
(1)求f (x)，g(x)的单调区间；
(2)求f (x)，g(x)的最小值．
[解]　(1)∵函数f (x)＝x2－2x的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
所以函数f (x)的单调递减区间为(－∞，1]，单调递增区间为(1，＋∞)，函数g(x)的单调递增区间为[2，4]，无单调递减区间．
(2)由(1)知，函数f (x)在x＝1处取得最小值，最小值是－1，
由于函数g(x)在定义域[2，4]上单调递增，
则函数g(x)在x＝2处取得最小值，最小值是0．
反思领悟　当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反．
[学以致用]　1．(1)已知函数y＝－x2＋4x－1，x∈[1，4)，则函数的值域为__________．
(2)函数f (x)＝3x－的值域为_____________．
(1)(－1，3]　(2)　　[(1)由题意得y＝－x2＋4x－1＝
－(x－2)2＋3，其函数图象为开口向下，对称轴为直线x＝2的抛物线，
因为x∈[1，4)，所以当x＝2时，y有最大值，最大值为3，当x＝4时，y＝－1，
所以此函数的值域为(－1，3]．
(－1，3]
　　
(2)令＝t，则t≥0，且x＝t2－1，
故函数变为g(t)＝3t2－t－3，
因为其图象开口向上，对称轴为直线t＝，
故g(t)＝3t2－t－3的值域为，
即f (x)＝3x－的值域为
探究2　“轴变区间定”问题
[典例讲评]　2．求函数f (x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0，2]上的最值．
解：f (x)＝(x－a)2－1－a2，图象的对称轴为直线x＝a．
(1)当a<0时，由图①可知，f (x)min＝f (0)＝－1，f (x)max＝f (2)＝3－4a．
(2)当0≤a<1时，由图②可知，f (x)min＝f (a)＝－1－a2，f (x)max＝f (2)＝3－4a．
①　　　 　　②
(3)当1≤a≤2时，由图③可知，f (x)min＝f (a)＝－1－a2，f (x)max＝f (0)＝－1．
(4)当a>2时，由图④可知，f (x)min＝f (2)＝3－4a，f (x)max＝f (0)＝－1．
综上，f (x)min＝
f (x)max＝
③　　　　　　④
反思领悟　“轴变区间定”问题的解题思路
以二次函数图象开口向上、对称轴为直线x＝m，区间为为例，则有
(1)最小值：f (x)min＝
(2)最大值：f (x)max＝
当图象开口向下时，可用类似方法进行讨论．
[学以致用]　2．已知函数f (x)＝x2＋2mx＋3m＋4．
(1)若f (x)在(－∞，1]上单调递减，求m的取值范围；
(2)求f (x)在上的最大值g(m)．
[解]　(1)因为函数f (x)＝x2＋2mx＋3m＋4，所以其图象的对称轴是x＝－m．
因为f (x)在(－∞，1]上单调递减，
所以－m≥1，解得m≤－1，
所以m的取值范围是(－∞，－1]．
(2) f (x)图象的对称轴为直线x＝－m，
当－m>1，即m<－1时，g(m)＝f (0)＝3m＋4；
当－m≤1，即m≥－1时，g(m)＝f (2)＝8＋7m．
综上，g(m)＝
探究3　“轴定区间变”问题
[典例讲评]　3．求函数f (x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．
[解]　f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，图象的对称轴为直线x＝1．
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图①所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f (t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图②所示，最小值为f (1)＝1；
当t>1时，函数图象如图③所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f (t)＝t2－2t＋2．
综上可得，g(t)＝
①　　　 　 ②　　　　 　③
反思领悟　“轴定区间变”问题的解题思路
分析对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．
[学以致用]　3．(1)已知函数f (x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b＝(　　)
A．－4 　 B．
C．2 　 D．
(2)已知二次函数y＝x2－2x＋4，x∈[0，m]的最小值是3，最大值是4，则实数m的取值范围是________．
√
[1，2]　
(1)A　(2)[1，2]　[(1)因为f (x)＝－(x－1)2＋，图象开口向下，对称轴为直线x＝1，
函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，
依题意3b≤，所以b≤，所以f (x)在区间[a，b]上单调递增，
所以即
所以a，b为方程x2＋2x＝0的两根，所以a＋b＝－＝－4．故选A．
(2)二次函数y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3，由x2－2x＋4＝4，解得x＝0或x＝2，
画出二次函数y＝x2－2x＋4(x≥0)的图象如图所示，由图可知，m的取值范围是[1，2]．]
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
微专题强化练(三)　二次函数的最值问题
√
一、选择题
1．若函数y＝－x2＋(m＋3)x＋1在区间(2，3)内存在最大值，则m的取值范围是(　　)
A．(－2，0) 　 B．(－3，－1)
C．(0，2) 　 D．(1，3)
10
D　[由题意得，函数y＝－x2＋(m＋3)x＋1图象的对称轴为直线x＝，图象开口向下，
由函数y＝－x2＋(m＋3)x＋1在区间(2，3)内存在最大值，得2＜＜3，解得1＜m＜3，
所以m的取值范围是(1，3)．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
2．函数f (x)＝x＋，x∈[0，4]的值域为(　　)
A．[0，3] 　 B．[1，4]
C．[0，6] 　 D．[0，4]
√
10
C　[令＝t，∵x∈[0，4]，∴t∈[0，2]，
∴g(t)＝t2＋t＝，t∈[0，2]，
∴g(t)在[0，2]上单调递增，
∴g(0)≤g(t)≤g(2)，
∴f (x)∈[0，6]．∴f (x)的值域为[0，6]．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
3．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] 　 B．(－∞，0]
C．(－∞，0) 　 D．(0，＋∞)
√
10
C　[令f (x)＝－x2＋2x，
则f (x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1．
又∵x∈[0，2]，
∴f (x)min＝f (0)＝f (2)＝0．
∴a<0．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
4．(多选)二次函数y＝x2＋(2a－1)x－3在[－1，3]上的最大值为1，则实数a的值为(　　)
A．－ 　 B．－
C．－ 　 D．－1
√
10
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
BD　[y＝x2＋(2a－1)x－3，图象开口向上，对称轴为直线x＝．
当≤1，即a≥－时，函数在x＝3处取得最大值1，
即9＋(2a－1)×3－3＝1，解得a＝－，满足题意；
当＞1，即a＜－时，函数在x＝－1处取得最大值1，
即1＋(2a－1)×(－1)－3＝1，得a＝－1，满足题意，
故a＝－1或a＝－．故选BD．]
10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
5．已知定义在R上的函数f (x)＝x2＋2ax＋3在(－∞，1]上单调递减，当x∈[a＋1，1]时，f (x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为(　　)
A． 　 B．1
C． 　 D．2
√
10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
B　[∵f (x)＝x2＋2ax＋3图象的对称轴方程为x＝－a，
由题意可知－a≥1，即a≤－1，
又f (x)在[a＋1，1]上单调递减，
∴f (x)min＝f (1)＝4＋2a，f (x)max＝f (a＋1)＝(a＋1)2＋2a(a＋1)＋3＝3a2＋4a＋4．
∴g(a)＝3a2＋4a＋4－(4＋2a)＝3a2＋2a＝，又a≤－1，
∴当a＝－1时，g(a)取得最小值，即g(－1)＝3－2＝1．故选B．]
10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
二、填空题
6．已知函数f (x)＝x2－2x，x∈[0，b]，且该函数的值域为[－1，3]，则b的值为________．
10
3　[因为f (x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，当x＝1时取等号，
所以若x∈[0，b]，f (x)的值域为[－1，3]，则b>1，
因为f (x)的图象是开口向上的抛物线，
所以f (x)在[0，1)上单调递减，在(1，b]上单调递增，
因为f (0)＝0≠3，
所以f (b)＝b2－2b＝3，即b2－2b－3＝0，解得b＝3或b＝－1(舍去)．]
3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
7．已知函数 f (x)＝的定义域与值域均为[0，4]，则a＝________．
10
－4　[由题意得y＝ax2＋bx＋c的值域为[0，16]，
且ax2＋bx＋c≥0的解集为[0，4]，故函数图象开口向下，所以a<0，即ax2＋bx＋c＝0的两根为0和4，所以0＋4＝－，c＝0，即b＝－4a，
则y＝ax2－4ax＝a(x－2)2－4a，
当x＝2时，y＝a(x－2)2－4a取得最大值16，
即－4a＝16，解得a＝－4．]
－4　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
8．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值等于2a，则称a为这个函数的H数．若二次函数y＝ax2＋4x＋c(a，c为常数且a≠0)有且只有一个H数1，且当0≤x≤m时，函数y＝ax2＋4x＋c－2的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围是________．
10
[2，4]　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
[2，4]　[由题意，令ax2＋4x＋c＝2x，则方程ax2＋2x＋c＝0的解为1，且方程有且只有一个解，
所以解得
故y＝－x2＋4x－1－2＝－(x－2)2＋1，
显然当x＝0时，y＝－3；
当x＝2时，y＝1；
当y＝－3时，x＝0或x＝4．
所以2≤m≤4．]
10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
三、解答题
9．若二次函数f (x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x，且f (0)＝2．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
[解]　(1)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f (0)＝2，∴c＝2，∴f (x)＝ax2＋bx＋2．
∵f (x＋1)－f (x)＝2x，
∴2ax＋a＋b＝2x，
∴解得
∴f (x)＝x2－x＋2．
10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
(2)由题意知x2－x＋2>2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋2－m>0在[－1，1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋2－m＝－m(x∈[－1，1])，
则g(x)在区间[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋2－m>0，
∴m<0，即实数m的取值范围为(－∞，0)．
10
10．已知函数f (x)＝－x2＋2x－3．
(1)求f (x)在区间[2a－1，2]上的最小值g(a)；
(2)求g(a)的最大值．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[解]　(1) f (x)＝－(x－1)2－2，f (2)＝－3，f (0)＝－3，∴当2a－1≤0，即a≤时，f (x)最小值＝f (2a－1)＝＋8a－6；
当0＜2a－1＜2，即所以g(a)＝
(2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增，
∴g(a)≤g＝－3；
又当∴g(a)的最大值为－3．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
谢 谢！微专题强化练(三)　二次函数的最值问题
一、选择题
1．若函数y＝－x2＋(m＋3)x＋1在区间(2，3)内存在最大值，则m的取值范围是(　　)
A．(－2，0) 　 B．(－3，－1)
C．(0，2) 　 D．(1，3)
2．函数f (x)＝x＋，x∈[0，4]的值域为(　　)
A．[0，3] 　 B．[1，4]
C．[0，6] 　 D．[0，4]
3．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] 　 B．(－∞，0]
C．(－∞，0) 　 D．(0，＋∞)
4．(多选)二次函数y＝x2＋(2a－1)x－3在[－1，3]上的最大值为1，则实数a的值为(　　)
A．－ 　 B．－
C．－ 　 D．－1
5．已知定义在R上的函数f (x)＝x2＋2ax＋3在(－∞，1]上单调递减，当x∈[a＋1，1]时，f (x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为(　　)
A． 　 B．1
C． 　 D．2
二、填空题
6．已知函数f (x)＝x2－2x，x∈[0，b]，且该函数的值域为[－1，3]，则b的值为________．
7．已知函数f (x)＝的定义域与值域均为[0，4]，则a＝________．
8．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值等于2a，则称a为这个函数的H数．若二次函数y＝ax2＋4x＋c(a，c为常数且a≠0)有且只有一个H数1，且当0≤x≤m时，函数y＝ax2＋4x＋c－2的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围是________．
三、解答题
9．若二次函数f (x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x，且f (0)＝2．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
10．已知函数f (x)＝－x2＋2x－3．
(1)求f (x)在区间[2a－1，2]上的最小值g(a)；
(2)求g(a)的最大值．
微专题强化练(三)
1．D　[由题意得，函数y＝－x2＋(m＋3)x＋1图象的对称轴为直线x＝，图象开口向下，
由函数y＝－x2＋(m＋3)x＋1在区间(2，3)内存在最大值，得2<<3，解得1所以m的取值范围是(1，3)．故选D．]
2．C　[令＝t，∵x∈[0，4]，∴t∈[0，2]，
∴g(t)＝t2＋t＝，t∈[0，2]，
∴g(t)在[0，2]上单调递增，
∴g(0)≤g(t)≤g(2)，
∴f(x)∈[0，6]．∴f(x)的值域为[0，6]．]
3．C　[令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1．
又∵x∈[0，2]，
∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0．
∴a<0．]
4．BD　[y＝x2＋(2a－1)x－3，图象开口向上，对称轴为直线x＝．
当≤1，即a≥－时，函数在x＝3处取得最大值1，
即9＋(2a－1)×3－3＝1，解得a＝－，满足题意；
当>1，即a<－时，函数在x＝－1处取得最大值1，
即1＋(2a－1)×(－1)－3＝1，得a＝－1，满足题意，
故a＝－1或a＝－．故选BD．]
5．B　[∵f(x)＝x2＋2ax＋3图象的对称轴方程为x＝－a，
由题意可知－a≥1，即a≤－1，
又f(x)在[a＋1，1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝4＋2a，f(x)max＝f(a＋1)＝(a＋1)2＋2a(a＋1)＋3＝3a2＋4a＋4．
∴g(a)＝3a2＋4a＋4－(4＋2a)＝3a2＋2a＝3，又a≤－1，
∴当a＝－1时，g(a)取得最小值，即g(－1)＝3－2＝1．故选B．]
6．3　[因为f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，当x＝1时取等号，
所以若x∈[0，b]，f(x)的值域为[－1，3]，则b>1，
因为f(x)的图象是开口向上的抛物线，
所以f(x)在[0，1)上单调递减，在(1，b]上单调递增，
因为f(0)＝0≠3，
所以f(b)＝b2－2b＝3，即b2－2b－3＝0，解得b＝3或b＝－1(舍去)．]
7．－4　[由题意得y＝ax2＋bx＋c的值域为[0，16]，
且ax2＋bx＋c≥0的解集为[0，4]，故函数图象开口向下，所以a<0，即ax2＋bx＋c＝0的两根为0和4，
所以0＋4＝－，c＝0，
即b＝－4a，
则y＝ax2－4ax＝a(x－2)2－4a，
当x＝2时，y＝a(x－2)2－4a取得最大值16，
即－4a＝16，解得a＝－4．]
8．[2，4]　[由题意，令ax2＋4x＋c＝2x，则方程ax2＋2x＋c＝0的解为1，且方程有且只有一个解，
所以
故y＝－x2＋4x－1－2＝－(x－2)2＋1，
显然当x＝0时，y＝－3；
当x＝2时，y＝1；
当y＝－3时，x＝0或x＝4．
所以2≤m≤4．]
9．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝2，∴c＝2，∴f(x)＝ax2＋bx＋2．
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴2ax＋a＋b＝2x，
∴
∴f(x)＝x2－x＋2．
(2)由题意知x2－x＋2>2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋2－m>0在[－1，1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋2－m＝－m(x∈[－1，1])，
则g(x)在区间[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋2－m>0，
∴m<0，即实数m的取值范围为(－∞，0)．
10．解：(1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，∴当2a－1≤0，即a≤时，f(x)最小值＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6；
当0<2a－1<2，即时，f(x)最小值＝f(2)＝－3．
所以g(a)＝
(2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增，
∴g(a)≤g＝－3；又当时，g(a)＝－3，
∴g(a)的最大值为－3．
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