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章末综合测评(三)　函数的概念与性质
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f (x)＝＋的定义域是(　　)
A．(1，＋∞) 　 B．[1，＋∞)
C．[1，2)∪(2，＋∞) 　 D．(2，＋∞)
2．“k＜6”是“函数f (x)＝－x2－kx＋3在(－∞，－3]上单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知幂函数f (x)＝x4-m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于(　　)
A．1　 B．2
C．1或3　 D．3
4．学校宿舍与办公室相距a m．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3 min来到办公室，停留2 min，然后匀速步行10 min返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度v和行走的路程s都是时间t的函数，则速度函数和路程函数的图象分别是下面四个图象中的(　　)
A．①② 　 B．③④
C．①④ 　 D．②③
5．已知函数f (x)＝若f (a)＝9，则a＝(　　)
A．2或－2或－1 　 B．2或－1
C．2或－2 　 D．－2
6．已知函数f (x2－1)＝x4＋1，则函数y＝f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝x2＋2x＋2，x≥0
B．f (x)＝x2＋2x＋2，x≥－1
C．f (x)＝x2－2x＋2，x≥0
D．f (x)＝x2－2x＋2，x≥－1
7．下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A．f (x)＝，g(x)＝()2
B．f (x)＝1，g(x)＝x0
C．f (x)＝，g(x)＝x
D．f (x)＝，g(t)＝|t|
8．若定义在R上的奇函数 (x)在(－∞，0)单调递减，且 (2)＝0，则满足x (x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数与f (x)＝x＋1是同一个函数的是(　　)
A．g(x)＝ 　 B．g(x)＝＋1
C．g(x)＝)3＋1 　 D．g(x)＝＋1
10．对任意x∈R，用F(x)表示f (x)，g(x)中的较小者，记为F(x)＝min{f (x)，g(x)}．若f (x)＝2－x2，g(x)＝x2，则下列关于函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的说法正确的是(　　)
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有三个不相等的实数根
C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增
D．函数F(x)的最大值为1，无最小值
11．(教材P87习题3.2T13改编)函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，我们发现可以推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数，下列说法正确的是(　　)
A．函数f (x)＝图象的对称中心是P1(1，1)
B．函数f (x)＝x3＋3x2图象的对称中心是P2(－1，2)
C．类比上面推广结论：函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋2)为偶函数
D．类比上面推广结论：函数y＝f (x)的图象关于直线x＝－2成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋2)为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数f (x)＝x3＋，若f (a)＝4，则f (－a)＋f ()＝________．
13．已知函数f (x)＝ 满足 x1，x2∈R且x1≠x2，有>0，则实数a的取值范围是________．
14．几位同学在研究函数f (x)＝时给出了下列四个结论：
①f (x)的图象关于y轴对称；
②f (x)在(2，＋∞)上单调递减；
③f (x)的值域为R；
④当x∈(－2，2)时，f (x)有最大值；
其中正确结论的序号是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知f (x＋2)＝2x＋3．
(1)求f (x)；
(2)求函数y＝的定义域和值域．
16．(本小题满分15分)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且是减函数．
(1)当x≥0时，f (x)＝－x2－2x，求函数f (x)在R上的解析式；
(2)求使f (a－1)＋f (a2－1)<0成立的实数a的取值范围．
17．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)根据函数单调性的定义证明函数f (x)在区间[1，＋∞)上单调递减；
(3)对于函数f (x)＝，若f (3a)＞f (2a＋3)，求实数a的取值范围．
18．(本小题满分17分)【教材原题·P100复习参考题3T5】已知幂函数y＝f (x)的图象过点，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性．
19．(本小题满分17分)已知二次函数f (x)的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若f (x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)当x∈时，f (x)>4mx＋1恒成立，求实数m的取值范围．
章末综合测评(三)
1．C　[由题意得解得x≥1且x≠2，故定义域为[1，2)∪(2，＋∞)．故选C．]
2．A　[函数f(x)＝－x2－kx＋3在(－∞，－3]上单调递增，
故－≥－3，解得k≤6，
因为{k|k<6}是{k|k≤6}的真子集，
所以“k<6”是“函数f(x)＝－x2－kx＋3在(－∞，－3]上单调递增”的充分不必要条件．故选A．]
3．C　[因为f(x)＝x4-m在(0，＋∞)上单调递增，
所以4－m>0，所以m<4．
又因为m∈N*，所以m＝1，2，3．
又因为f(x)＝x4-m是奇函数，
所以4－m是奇数，所以m＝1或m＝3．]
4．A　[由题意可得v＝
由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②．故选A．]
5．D　[若a≤0，则2a2＋1＝9，解得a＝－2或a＝2(舍去)，
若a>0，则－3a＋6＝9，解得a＝－1(舍去)，综上，a＝－2．故选D．]
6．B　[因为f(x2－1)＝x4＋1＝[(x2－1)＋1]2＋1，且x2－1≥－1，所以f(x)＝(x＋1)2＋1＝x2＋2x＋2，x≥－1．故选B．]
7．D　[对于A，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为[0，＋∞)，
故函数f(x)＝，g(x)＝()2不是同一个函数；
对于B，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，
故函数f(x)＝1，g(x)＝x0不是同一个函数；
对于C，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)的定义域为R，
故函数f(x)＝，g(x)＝x不是同一个函数；
对于D，两函数的定义域都是R，
又f(x)＝，
即f(x)＝|x|，
所以函数f(x)＝，g(t)＝|t|表示同一个函数．故选D．]
8．D　[法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0．当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D．
法二：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)<0，此时不符合题意，排除选项A，C．故选D．]
9．BC　[对于A，g(x)＝，定义域为{x|x≠1}，f(x)的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数，该选项不满足题意；
对于B，g(x)＝＋1＝x＋1，定义域为R，定义域和对应关系均相同，为同一个函数，该选项满足题意；
对于C，g(x)＝()3＋1＝x＋1，定义域为R，定义域和对应关系均相同，为同一个函数，该选项满足题意；
对于D，g(x)＝＋1＝|x|＋1，定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数，该选项不满足题意．故选BC．]
10．ABD　[F(x)＝min{f(x)，g(x)}＝F(x)的图象如图所示，
由图象知，F(x)是偶函数，选项A正确；
由图可知，F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个不相等的实数根，选项B正确；
由图可知，函数F(x)在区间(－1，0)上单调递减，在区间(0，1)上单调递增，选项C错误；
由图可知，当x＝±1时，F(x)取得最大值1，没有最小值，选项D正确．故选ABD．]
11．ABC　[因为函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，则f(a－x)－b＝－[f(a＋x)－b]，可得f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，对于A，因为f(x)＝，则f(1－x)＋f(1＋x)＝＝2，所以，函数f(x)＝的图象关于点P1(1，1)对称，A正确；对于B，因为f(x)＝x3＋3x2，则f(－1－x)＝(－1－x)3＋3(－1－x)2＝－1－3x－3x2－x3＋3＋6x＋3x2＝－x3＋3x＋2，f(－1＋x)＝(－1＋x)3＋3(－1＋x)2＝x3－3x2＋3x－1＋3x2－6x＋3＝x3－3x＋2，
所以f(－1－x)＋f(－1＋x)＝4，
所以函数f(x)＝x3＋3x2图象的对称中心是P2(－1，2)，B正确；
若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形，
在函数y＝f(x)的图象上任取一点(x，y)，
则该点关于直线x＝a的对称点(2a－x，y)在函数y＝f(x)的图象上，
所以f(2a－x)＝f(x)，
用a＋x替代等式f(2a－x)＝f(x)中的x可得f(a＋x)＝f(2a－(a＋x))＝f(a－x)，
此时，函数f(a＋x)为偶函数，
所以，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件为函数y＝f(a＋x)为偶函数，
对于C，类比上面推广结论：
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋2)为偶函数，C正确；
对于D，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－2成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(－2＋x)为偶函数，D错误．故选ABC．]
12．－　[易知f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－x3－＝－f(x)，即f(x)为奇函数，所以f(－a)＋f()＝－f(a)＋()3＋．]
13．(0，]　[因为 x1，x2∈R，且x1≠x2都有>0成立，
所以函数f(x)在R上单调递增，
所以
解得014．①②④　[对于①，函数定义域为(－∞，－2)∪(－2，2)∪(2，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝＝f(x)，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故①正确；
对于②，当x∈(2，＋∞)时，f(x)＝，利用反比例函数性质，可知函数在(2，＋∞)上单调递减，故②正确；
③由函数在(2，＋∞)上单调递减，知f(x)在(2，＋∞)上的值域为(0，＋∞)，当x∈[0，2)时，f(x)的值域为(－∞，－]，利用偶函数对称性知f(x)的值域为(－∞，－]∪(0，＋∞)，故③错误；
④由③知，当x∈(－2，2)时，f(x)有最大值－，故④正确．
故答案为①②④．]
15．解：(1)∵f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴f(x)＝2x－1．
(2)由(1)得y＝，
∴y＝的定义域为{x|x≠－2}．
∵≠0，∴≠2，
即函数y＝的值域为{y|y≠2}．
16．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x2＋2x，
因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝x2－2x，
所以函数f(x)在R上的解析式为f(x)＝
(2)因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且是减函数，
所以由f(a－1)＋f(a2－1)<0，得f(a－1)所以a－1>1－a2，
解得a>1或a<－2，
所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．
17．解：(1)函数f(x)＝，定义域为R，
f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)证明：根据题意， x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝
＝，
因为1≤x10，x2－x1>0，x1x2－1>0，
则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在[1，＋∞)上单调递减．
(3)由(2)得，f(x)在[1，＋∞)上单调递减，
若f(3a)>f(2a＋3)，则1≤3a<2a＋3，
解得≤a<3，即a的取值范围是．
18．解：
依题意设f(x)＝xα，则2α＝，解得α＝－，所以f(x)＝．
函数f(x)＝的图象如图，
由图象可知f(x)既不是奇函数也不是偶函数，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
19．解：(1)根据题意，二次函数f(x)满足f(0)＝f(2)＝3，
可得函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1，
又函数f(x)的最小值为1，
可设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，
又因为f(0)＝3，即f(0)＝a＋1＝3，
解得a＝2，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3．
(2)由函数f(x)＝2(x－1)2＋1，
其图象的对称轴为直线x＝1，
要使得函数f(x)在区间上不单调，
则满足2a<1故实数a的取值范围为(0，．
(3)由函数f(x)＝2x2－4x＋3，
可知若在上，f(x)>4mx＋1恒成立，
则2x2－4x＋3>4mx＋1在上恒成立，
即x2－2(1＋m)x＋1>0在上恒成立，
设g(x)＝x2－2(m＋1)x＋1，
则g(x)图象开口向上，对称轴为直线x＝m＋1，
又g(x)>0在上恒成立，即g(x)min>0，
当m＋1≤－，即m≤－时，
g(x)在上单调递增，
则g(x)min＝g(－2－2(m＋1)×(－＋1>0，解得m>－，则－；
当－g(x)min＝g(m＋1)＝(m＋1)2－2(m＋1)2＋1>0，
解得－2当m＋1≥2，即m≥1时，g(x)在上单调递减，
g(x)min＝g(2)＝22－2(m＋1)×2＋1>0，
解得m<(舍去)．
综上，实数m的取值范围为(－，0)．
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