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浙教版八年级上学期前三单元基础复习
一．选择题（共13小题）
1．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列命题中原命题和逆命题都为真命题的是（　　）
①全等三角形对应角相等；②等腰三角形的两个底角相等；③直角三角形中有两个锐角；④对顶角相等．
A．① B．② C．③ D．④
3．用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′OB′＝∠AOB依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
4．如图，我国古代著名的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD和中间小的正方形EFGH，若直角三角形的两条直角边的比为1：2，大正方形ABCD的面积为25，则小正方形EFGH的面积为（　　）
A．5 B．7.5 C．10 D．12.5
5．下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b
6．一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是（　　）
A．17道 B．16道 C．15道 D．14道
7．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交AC于点D，交AB于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝10，则△BCD的周长为（　　）
A．18 B．19 C．22 D．25
8．在下列选项中的尺规作图，能推出PA＝PC的是（　　）
A． B．
C． D．
9．若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2
10．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8
B．∠C＝90°，AB＝6
C．AB＝4，BC＝2，∠A＝30°
D．∠A＝60°，∠B＝45°，∠C＝75°
11．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（　　）
A．90° B．92° C．96° D．98°
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为18，AB的垂直平分线EF交F，若D为BC边的中点，M是线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
二．填空题（共2小题）
14．如图，数轴上点A所表示的数是　 　 ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝20°，AC＝8．将三角形ABC分别沿DE，FG折叠，使点A，C都与点B重合，若AD＝2，则DF＝　 　 ．
三．解答题（共6小题）
16．小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.9m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.5m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
17．某动物园商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用280元购进A种纪念品4件，B种纪念品4件；也可以用280元购进A种纪念品8件，B种纪念品1件．
（1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？
（2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利8元，该商店准备用不超过1920元购进A、B两种纪念品50件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于370元，问共有几种方案，并求出利润最大值．
18．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若AD＝5，DE＝3，求CD的长．
19．如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'．
（2）△ABC的面积为 　 　 ；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的值最小．
（在图形中标出点P，保留作图痕迹）
20．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．
（1）若MN在△ABC外（如图1），求证：MN＝AM+BN；
（2）若MN与线段AB相交（如图2），且AM＝2.6，BN＝1.1，则MN＝　 　 ．
21．尺规作图：如图，某快递公司要在S区域修建一个快递中转站．要满足中转站到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等，中转站应修建在什么位置？在图上标出中转站的位置．（保留必要的作图痕迹）
浙教版八年级上学期前三单元基础复习
一．选择题（共13小题）
1．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】先分别解出不等式组的每一个不等式的解集，再找出其公共部分，即可得到不等式组的解集，最后在数轴上表示即可得到答案．
【解答】解：解不等式2x+1＞﹣1得：x＞﹣1，
解不等式3x﹣9≤0得：x≤3，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，
在数轴上表示为：
故选：B．
2．下列命题中原命题和逆命题都为真命题的是（　　）
①全等三角形对应角相等；②等腰三角形的两个底角相等；③直角三角形中有两个锐角；④对顶角相等．
A．① B．② C．③ D．④
【思路点拔】正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．根据逆命题的定义、全等三角形的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定、对顶角的定义进行判断即可．
【解答】解：根据逆命题的定义、全等三角形的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定、对顶角的定义进行判断如下：
A．全等三角形对应角相等为真命题；全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等是假命题，故A不符合题意；
B．等腰三角形的两个底角相等为真命题；等腰三角形的两个底角相等的逆命题为两个底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故B符合题意；
C．直角三角形中有两个锐角为真命题；直角三角形中有两个锐角的逆命题为有两个锐角的三角形是直角三角形是假命题，故C不符合题意；
D．对顶角相等为真命题；对顶角相等的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角是对顶角是假命题，故D不符合题意；
故选：B．
3．用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′OB′＝∠AOB依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【思路点拔】利用基本作图得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，则根据全等三角形的判定方法可根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，然后根据全等三角形的性质得到∠A′OB′＝∠AOB
【解答】解：由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，
所以∠A′OB′＝∠AOB．
故选：C．
4．如图，我国古代著名的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD和中间小的正方形EFGH，若直角三角形的两条直角边的比为1：2，大正方形ABCD的面积为25，则小正方形EFGH的面积为（　　）
A．5 B．7.5 C．10 D．12.5
【思路点拔】先根据全等三角形的性质和已知条件求出BE＝EF＝CF，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：由题意可得：BC2＝25，
∵四个直角三角形是全等三角形，
∴CF＝BE，
又∵直角三角形的两条直角边的比为1：2，即CF：BF＝1：2，
∴BF＝2CF＝2BE，
∵BF＝BE+EF，
∴BE＝EF＝CF，
在Rt△BFC中根据勾股定理得：CF2+BF2＝BC2，
∴EF2+（2EF）2＝BC2，
∴5EF2＝25，
∴EF2＝5，
故选：A．
5．下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b
【思路点拔】根据不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：A、若a＞b，则a﹣2＞b﹣2，计算不正确，不符合题意；
B、当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，a2＜b2，计算不正确，不符合题意；
C、若a＞b，当c≠0时，ac2＞bc2，计算不正确，不符合题意；
D．、若ac2＞bc2，则a＞b，计算正确，符合题意．
故选：D．
6．一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是（　　）
A．17道 B．16道 C．15道 D．14道
【思路点拔】设小明答对的题数是x道，答错的为（20﹣2﹣x）道，根据总分才不会低于60分，这个不等量关系可列出不等式求解．
【解答】解：设小明答对的题数是x道，根据题意可得：
5x﹣2（20﹣2﹣x）≥70，
解得：x≥16，
故x应为16．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交AC于点D，交AB于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝10，则△BCD的周长为（　　）
A．18 B．19 C．22 D．25
【思路点拔】根据题意可得，MN垂直平分AB，于是可得AD＝BD，再根据△BCD的周长＝BD+CD+BC，即可得解．
【解答】解：在△ABC中，AB＝7，AC＝12，BC＝10，
由作图方法可知：MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△BCD的周长
＝BD+CD+BC
＝AD+CD+BC
＝AC+BC
＝12+10
＝22，
故选：C．
8．在下列选项中的尺规作图，能推出PA＝PC的是（　　）
A． B．
C． D．
【思路点拔】A．由作图痕迹可知，AC＝PC，不能得出PA＝PC；B．由作图痕迹可知，所作为线段AC的垂直平分线，可得PA＝PC；C．由作图痕迹可知，所作为线段BC的垂直平分线，可得PB＝PC，不能得出PA＝PC；D．由作图痕迹可知，所作为∠BAC的平分线，不能得出PA＝PC．
【解答】解：A．由作图痕迹可知，AC＝PC，不能得出PA＝PC，
故A选项不符合题意；
B．由作图痕迹可知，所作为线段AC的垂直平分线，
∴PA＝PC，
故B选项符合题意；
C．由作图痕迹可知，所作为线段BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，不能得出PA＝PC，
故C选项不符合题意；
D．由作图痕迹可知，所作为∠BAC的平分线，不能得出PA＝PC，
故D选项不符合题意．
故选：B．
9．若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2
【思路点拔】求出第二个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到即可确定m的范围．
【解答】解：解不等式2x﹣1＜5，得：x＜3，
∵关于x的不等式组的解集为x＜3，
∴m+1≥3，
∴m≥2．
故选：B．
10．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8
B．∠C＝90°，AB＝6
C．AB＝4，BC＝2，∠A＝30°
D．∠A＝60°，∠B＝45°，∠C＝75°
【思路点拔】由全等三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、3+4＜8，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、缺少条件，不能判定直角三角形全等，不能画出唯一的△ABC，故B不符合题意；
C、如图，过B作BH⊥AC于H，由含30度角的直角三角形的性质得到BHAB＝2，于是得到H和C重合，得到△ABC是直角三角形，由HL判定能画出唯一的△ABC，故C符合题意；
D、判定三角形全等，至少需要一边对应相等的条件，因此不能画出唯一的△ABC，故D不符合题意．
故选：C．
11．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（　　）
A．90° B．92° C．96° D．98°
【思路点拔】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，证明∠A＝∠MKN＝44°，根据三角形内角和定理计算即可求出∠P．
【解答】解：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B，
∵AM＝AK，BN＝BK，
∴∠AKM＝∠AMK＝∠BKN＝∠BNK，
∵∠MKN＝44°，
∴∠AKM＝∠BKN（180°﹣44°）＝68°，
∴∠A＝∠B＝180°﹣68°﹣68°＝44°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝92°，
故选：B．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为18，AB的垂直平分线EF交F，若D为BC边的中点，M是线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【思路点拔】由AB＝AC，D为BC中点，得AD⊥BC．根据 18，BC＝6，算出AD＝6．因为EF是AB垂直平分线，所以MA＝ MB，△BDM周长＝BD+DM+MB ＝BD+DM+MA．当A、M、D三点共线时，DM+MA最小，值为AD．又所以△BDM周长最小值为BD+AD＝3+6＝9．
【解答】解：∵AB＝AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC．
∵BC＝6，△ABC的面积为18，
则 BC×AD．
∴18 ，
∴18＝3×AD．
∴AD＝6．
∵EF是AB的垂直平分线，
∴MA＝MB．
∴△BDM的周长C△BDM＝BD+DM+MB＝BD+DM+MA．
当A、M、D三点共线时，DM+MA 取得最小值，这个最小值就是AD的长度．
又∵D为BC中点，BC＝6，
∴．
∴△BDM周长的最小值为BD+AD＝3+6＝9．
故选：C．
13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【思路点拔】由勾股定理求出AB，BC＝2，AC＝5，则AB2+BC2＝AC2，得出∠ABC＝90°，再由三角形面积公式即可得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：AB，BC2，AC5，
∴AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴S△ABCAB BCAC BD，
∴BD2，
故选：B．
二．填空题（共2小题）
14．如图，数轴上点A所表示的数是　　 ．
【思路点拔】先根据勾股定理求出圆弧半径，结合图形即可得到答案．
【解答】解：圆弧半径为，
∴点A所表示的数是：．
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝20°，AC＝8．将三角形ABC分别沿DE，FG折叠，使点A，C都与点B重合，若AD＝2，则DF＝　　 ．
【思路点拔】根据折叠的性质得到BD＝AD＝2，BF＝CF＝6﹣DF，∠DBE＝∠A＝25°，∠FBG＝∠C＝20°，求得∠BDF＝∠DBE+∠A＝25°+25°＝50°，∠BFD＝∠FBG+∠C＝20°+20°＝40°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝8，AD＝2，∠A＝25°，∠C＝20°，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣2＝6，
由折叠得BD＝AD＝2，BF＝CF＝6﹣DF，∠DBE＝∠A＝25°，∠FBG＝∠C＝20°，
∴∠BDF＝∠DBE+∠A＝25°+25°＝50°，∠BFD＝∠FBG+∠C＝20°+20°＝40°，
∴∠DBF＝180°﹣∠BDF﹣∠BFD＝180°﹣50°﹣40°＝90°，
∴BD2+BF2＝DF2，
∴22+（6﹣DF）2＝DF2，
解得DF，
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
16．小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.9m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.5m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
【思路点拔】（1）根据AAS证明△OBD与△COE全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2.5﹣1.8＝0.7（m），根据AE＝AD+DE＝1.6（m）求出结果即可．
【解答】解：（1）△OBD与△COE全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠COE＝∠OBD，
在△OBD和△COE中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS）；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.8m和2.5m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2.5﹣1.8＝0.7（m），
∵AD＝0.9m，
∴AE＝AD+DE＝1.6（m），
答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的．
17．某动物园商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用280元购进A种纪念品4件，B种纪念品4件；也可以用280元购进A种纪念品8件，B种纪念品1件．
（1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？
（2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利8元，该商店准备用不超过1920元购进A、B两种纪念品50件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于370元，问共有几种方案，并求出利润最大值．
【思路点拔】（1）设A，B进价分别为x，y元，件数×进价＝付款，可得到一个二元一次方程组，解即可．
（2）设购进A纪念品m件，则购进B纪念品（50﹣m）件，由题意可得到两个不等式，解不等式组即可．设总利润为w元，根据利润＝每件利润×数量建立W与a之间的关系式，由一次函数的性质求出其解即可．
【解答】解：（1）设A，B进价分别为x，y元，
则根据题意列方程组得，，
解得，
所以A，B的进价分别为30元，40元，
答：A，B的进价分别为30元，40元；
（2）设购进A纪念品m件，则购进B纪念品（50﹣m）件，利润为w元，
则根据题意列方程组得，，
∴8≤m≤10，
∵m为整数，
∴m＝8，9，10，
∴共有3种进货方案；
设总利润为w元，
∵总获利w＝5m+8（50﹣m）＝﹣3m+400，是m的一次函数，且w随m的增大而减小，
∴当m＝8时，w最大，最大值W最大＝﹣3×8+400＝376．
所以获得利润最大值是376元．
18．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若AD＝5，DE＝3，求CD的长．
【思路点拔】（1）由AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，得∠ADC＝∠E＝90°，由∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝∠ACB＝90°，得∠CAD＝∠BCE，而AC＝CB，即可根据（AAS）证明△ACD≌△CBE；
（2）根据全等三角形性质得AD＝CE＝5，而DE＝3，则CD＝CE﹣DE＝2．
【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠BCE+∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）．
（2）解：由（1）得△ACD≌△CBE，
∵AD＝5，DE＝3，
∴AD＝CE＝5，
∴CD＝CE﹣DE＝5﹣3＝2，
∴CD的长是2．
19．如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'．
（2）△ABC的面积为 　5　 ；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的值最小．
（在图形中标出点P，保留作图痕迹）
【思路点拔】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）连接CB′交直线l于点P，连接BP，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×42×32×21×4＝5，
故答案为：5；
（3）如图，点P即为所求．
20．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．
（1）若MN在△ABC外（如图1），求证：MN＝AM+BN；
（2）若MN与线段AB相交（如图2），且AM＝2.6，BN＝1.1，则MN＝　1.5　 ．
【思路点拔】（1）利用互余关系证∠MAC＝∠NCB，再证△AMC≌△CNB（AAS），得到AM＝CN，MC＝BN，即可得出结论；
（2）类似于（1）可证△ACM≌△CBN（AAS），得AM＝CN＝2.6，CM＝BN＝1.1，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°．
∵∠ACB＝90°，∠AMC＝90°，
∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB．
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM＝CN，MC＝NB．
∵MN＝NC+CM，
∴MN＝AM+BN．
（2）解：∵AM⊥MN于M，BN⊥MN，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC+∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
在△ACM和△CBN中，
，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM＝CN＝2.6，CM＝BN＝1.1，
∴MN＝CN﹣CM＝2.6﹣1.1＝1.5，
故答案为：1.5．
21．尺规作图：如图，某快递公司要在S区域修建一个快递中转站．要满足中转站到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等，中转站应修建在什么位置？在图上标出中转站的位置．（保留必要的作图痕迹）
【思路点拔】作OT平分EOF，作线段AB的垂直平分线MN，直线MN交OT于点P，点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求的点．

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