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北师大版八上第一章《勾股定理》单元测试（提高）
一．选择题（共12小题）
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，则由下列条件：①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：3：4；③a2＝b2﹣c2；④，能判定△ABC为直角三角形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．如图，在3×3的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（　　）
A．AB B．AD C．AC D．AE
4．如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC位置如图所示，则点A到线段BC的距离为（　　）
A．3 B． C．2 D．
5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
6．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（　　）
A．14m B．15m C．16m D．17m
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，过点D作DE∥AC交AB于点E．若AB＝8，BD＝4，则点D到AB边上的距离是（　　）
A． B． C． D．3
8．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．5 D．
9．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若AC＝6，BC＝8，则阴影部分面积S1+S2是（　　）
A．9π B．12.5π C．14 D．24
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　）dm．
A．20 B．25 C．30 D．35
12．将一根24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为5cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（　　）
A．h≤19 B．11≤h≤19 C．12≤h≤19 D．13≤h≤19
二．填空题（共9小题）
13．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边．若a2+b2＝25，a2﹣b2＝7，c＝5，则最长边上的高是 　 　 ．
14．“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 　 　 ．
15．小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米．则这棵树的高度MN为 　 　 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，且AD＝BD，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，若AE＝6，，则BD的长为　 　 ．
17．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B，C，D的面积之和是100cm2，则最大的正方形的边长为 　 　 cm．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径分别画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC相交于点D，则CD的长为　 　 ．
19．如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　 　 ．
20．如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 　 　 cm．
21．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC＝6，CD＝2，则长方形的面积为 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
22．如图，某居民小区有一块四边形空地ABCD，小道AC和CE把这块空地分成了△ABC、△ACE和△CDE三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知∠B＝90°，∠CAD＝90°，AB＝12米，BC＝16米，AE＝15米，CE＝25 米．
（1）求四边形ABCE的面积；
（2）小明和小林同时以相同的速度同时从点E出发，分别沿E→A→C和E→D→C两条不同的路径散步，结果两人同时到达点C，求线段DE的长度．
23．如图，A，B两村庄相距3千米，C为供气站，AC＝2.4千米，BC＝1.8千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村；
方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从C铺设管道到点H处，再从点H处分别向A、B两村铺设．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明．
24．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．
（1）这个云梯的底端离墙多远？
（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
25．周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告：
活动课题 风筝离地面垂直高度探究
问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段AB）．小组成员测量了相关数据，并画如图示意图，测得水平距离BC的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？
问题解决 ……
请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程．
26．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度DE为0.7m，将秋千AD往前推送4m（即BC为4m），到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为2.7m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千的长度．
（2）如果想要踏板离地的垂直高度为1.7m时，需要将秋千AD往前推送　 　 m．
27．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC＝8dm，AB＝6dm，两轮中心的距离BC＝10dm，滚轮半径r＝1dm．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝13dm，AE＝5dm，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．
28．如图，圆柱底面圆的半径为cm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一母线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根棉线的长度最短是多少？中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版八上第一章《勾股定理》单元测试（提高）
一．选择题（共12小题）
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，则由下列条件：①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：3：4；③a2＝b2﹣c2；④，能判定△ABC为直角三角形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A＝∠C+∠B，
∴∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，正确，故①符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝1：3：4，
∴，
∴△ABC为直角三角形，正确，故②符合题意；
∵a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC为直角三角形，正确，故③符合题意；
∵，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，正确，故④符合题意；
综上可知：①②③④能判定△ABC为直角三角形，共4个，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【思路点拔】设直角三角形的三边长为 a、b、c，c 为斜边，则由勾股定理得：a2+b2＝c2即可求解．
【解答】解：设直角三角形的三边长为 a、b、c，c 为斜边，则由勾股定理得：a2+b2＝c2．
∵一个直角三角形的三边长的平方和为200，
∴a2+b2+c2＝200，
∴2c2＝200，
∴c2＝100，
∴c ＝10，即斜边长为10．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．
3．如图，在3×3的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（　　）
A．AB B．AD C．AC D．AE
【思路点拔】根据勾股定理分别求出各个线段的长度即可得出结论．
【解答】解：由勾股定理得，AE，AD，AC，AB，
∴下列线段长度最长是AC，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
4．如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC位置如图所示，则点A到线段BC的距离为（　　）
A．3 B． C．2 D．
【思路点拔】根据勾股定理求出BC的长，再根据等面积法即可求解．
【解答】解：由勾股定理得，BC，
设A到线段BC的距离为h，
∵S，
∴h，
即A到线段BC的距离为，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【思路点拔】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2，
∴32+AE2＝（9﹣AE）2，
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
6．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（　　）
A．14m B．15m C．16m D．17m
【思路点拔】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x m，可得AC＝AD＝x m，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【解答】解：设旗杆高度为x m，过点C作CB⊥AD于B，
则AC＝AD＝x m，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17，
即旗杆的高度为17米．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，过点D作DE∥AC交AB于点E．若AB＝8，BD＝4，则点D到AB边上的距离是（　　）
A． B． C． D．3
【思路点拔】作DF⊥AB于点F，由AD平分∠CAB得∠CAD＝∠BAD，由DE∥AC得到∠CAD＝∠ADE，∠BDE＝∠C＝90°，得到∠EAD＝∠ADE，AE＝DE，根据勾股定理求出AE＝3，根据三角形面积公式得到，计算即可得到答案．
【解答】解：如图，作DF⊥AB于点F，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD∠CAB，
∵DE∥AC，∠C＝90°，
∴∠CAD＝∠ADE，∠BDE＝∠C＝90°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵BE2＝DE2+BD2，AB＝8，BD＝4，
∴（8﹣AE）2＝AE2+42，
整理得，16AE＝48，
解得，AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝8﹣3＝5，DE＝AE＝3，
∵，
∴5DF＝12，
解得，，
∴点D到AB边上的距离是，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．5 D．
【思路点拔】由勾股定理得S1+S2＝S3，再由S3+S2﹣S1＝18求出S2＝9，即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
即S1+S2＝S3，
∵S3+S2﹣S1＝18，
∴S2＝9，
由图形可知，阴影部分的面积S2，
∴阴影部分的面积，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由勾股定理得出S1+S2＝S3是解题的关键．
9．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【思路点拔】根据勾股定理求出另一条直角边，利用中间小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个全等的直角三角形的面积，求出即可．
【解答】解：直角三角形较短的直角边为6，
所以，正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的应用，解答时需要通过图形获取信息解题．
10．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若AC＝6，BC＝8，则阴影部分面积S1+S2是（　　）
A．9π B．12.5π C．14 D．24
【思路点拔】由勾股定理求出AB的长，再根据阴影部分面积S1+S2＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆代入数据求解即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB，
由图形可知，阴影部分面积S1+S2＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB
＝24，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，圆的面积，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　）dm．
A．20 B．25 C．30 D．35
【思路点拔】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得：x＝25（dm）．
故选：B．
【点评】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题
12．将一根24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为5cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（　　）
A．h≤19 B．11≤h≤19 C．12≤h≤19 D．13≤h≤19
【思路点拔】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后根据勾股定理求出AB的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
此时h＝24﹣5＝19（cm），
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝12cm，BD＝5cm，
∴AB13（cm），
此时h＝24﹣13＝11（cm），
所以h的取值范围是11≤h≤19．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．
二．填空题（共9小题）
13．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边．若a2+b2＝25，a2﹣b2＝7，c＝5，则最长边上的高是 　　 ．
【思路点拔】求出a、b的值，根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形，利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：由a2+b2＝25，a2﹣b2＝7建立方程组，解得，
∵32+42＝52，
∴△ABC为直角三角形，c为斜边，
设c上的高为h，由面积公式Schab，
∴3×4＝5h，
∴h，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式的应用，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
14．“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 　x2+（x﹣6.8）2＝102　 ．
【思路点拔】设长方形门高x尺，则宽是（x﹣6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．
【解答】解：设长方形门高x尺，则宽是（x﹣6.8）尺，
根据题意得x2+（x﹣6.8）2＝102，
故答案为：x2+（x﹣6.8）2＝102．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键．
15．小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米．则这棵树的高度MN为 　　 ．
【思路点拔】根据勾股定理求解即可．
【解答】解：根据题意得，∠MNB＝90°，BM＝8米，AM＝8﹣4＝4（米），AB＝6米，
∴MN2+AN2＝AM2，MN2+BN2＝BM2，
∴MN2+AN2＝16，MN2+（AN+6）2＝64，
∴AN＝1，
∴MN或MN（舍去），
故答案为：．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，且AD＝BD，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，若AE＝6，，则BD的长为　　 ．
【思路点拔】过B作BH⊥AC于H，得到∠E＝∠BHD＝90°，根据全等三角形的性质得到BH＝AE＝6，DE＝CH，根据勾股定理得到CH2，求得AH＝AC﹣2，根据勾股定理得到AH＝8，再根据勾股定理得到结论．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，
∴∠E＝∠BHD＝90°，
在△ADE与△BDH中，
，
∴△ADE≌△BDH（AAS），
∴BH＝AE＝6，
∵BC＝2，
∴CH2，
∴AH＝AC﹣2，
∵AH2+BH2＝AB2，AB＝AC，
∴（AC﹣2）2+62＝AC2，
∴AC＝10，
∴AH＝8，
∵BD2＝BH2+DH2，
∴BD2＝62+（8﹣BD）2，
∴BD．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．
17．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B，C，D的面积之和是100cm2，则最大的正方形的边长为 　10　 cm．
【思路点拔】设正方形A、B、C、D、E、F、G的边长分别为a、b、c、d、e、f，g，由勾股定理得e2＝a2+b2，f2＝c2+d2，g2＝e2+f2，则正方形E、F的面积和＝正方形A、B、C、D面积的和，最大正方形G的面积＝正方形E、F的面积和，再推出最大正方形G的面积＝正方形A、B、C、D的面积之和＝100cm2，即可解决问题．
【解答】解：如图，设正方形A、B、C、D、E、F、G的边长分别为a、b、c、d、e、f，g，
∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
∴e2＝a2+b2，f2＝c2+d2，g2＝e2+f2，
∴正方形E、F的面积和＝正方形A、B、C、D面积的和，最大正方形G的面积＝正方形E、F的面积和，
∴最大正方形G的面积＝正方形A、B、C、D的面积之和＝100cm2，
∴最大的正方形G的边长10（cm），
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径分别画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC相交于点D，则CD的长为　　 ．
【思路点拔】先由勾股定理求得AC＝4，再根据线段的垂直平分线性质得到BD＝AD，AC＝18，BC＝12，再设CD＝x，然后在Rt△BCD中利用勾股定理即可求得CD的长．
【解答】解：连接BD．
∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC4，
由作图可知，点D在线段AB的垂直平分线上，则AD＝BD．
设CD＝x，则BD＝CD＝AC﹣CD＝4﹣x．
在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2，
即（4﹣x）2＝32+x2．
解得．
所以CD的长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质，作图﹣基本作图，关键是线段垂直平分线性质的熟练掌握．
19．如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　139　 ．
【思路点拔】根据勾股定理求得BC的长度，然后结合图形得到：阴影部分的面积＝正方形的面积﹣直角三角形ACB的面积．
【解答】解：根据题意知，AB2＝25，AC2＝144，
所以AB＝5，AC＝12，BC13，
所以S阴影＝BC2132139．
故答案为：139．
【点评】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
20．如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 　25　 cm．
【思路点拔】先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可．
【解答】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内，
由题意，得PA＝6+6+6+6＝24（cm），QA＝7cm．
在Rt△PQA中，由勾股定理得：PQ2＝PA2+QA2＝242+72＝625，
解得：PQ＝25（负值已舍去）；
故答案为：25．
【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．
21．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC＝6，CD＝2，则长方形的面积为 　48　 ．
【思路点拔】设BD＝x，根据勾股定理得到BC＝8，根据矩形的面积公式得到长方形的面积＝6×8＝48．
【解答】解：设BD＝x，
∵AC＝6，CD＝2，
∴AB＝x+（6﹣2）＝4+x，BC＝x+2，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴（4+x）2＝（x+2）2+62，
∴x＝6，
∴BC＝8，
∴长方形的面积＝6×8＝48，
故答案为：48．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
22．如图，某居民小区有一块四边形空地ABCD，小道AC和CE把这块空地分成了△ABC、△ACE和△CDE三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知∠B＝90°，∠CAD＝90°，AB＝12米，BC＝16米，AE＝15米，CE＝25 米．
（1）求四边形ABCE的面积；
（2）小明和小林同时以相同的速度同时从点E出发，分别沿E→A→C和E→D→C两条不同的路径散步，结果两人同时到达点C，求线段DE的长度．
【思路点拔】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝12米，BC＝16米，
∴AC20（米），
∴四边形ABCE的面积＝△ABC的面积+△ACE的面积AB BCAC AE12×1620×15＝246（平方米），
答：四边形ABCE的面积为246平方米；
（2）∵CD（米），
根据题意得，CD+DE＝AC+AE，
∴DE＝20+15，
解得DE＝6，
故线段DE的长度为6米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．如图，A，B两村庄相距3千米，C为供气站，AC＝2.4千米，BC＝1.8千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村；
方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从C铺设管道到点H处，再从点H处分别向A、B两村铺设．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明．
【思路点拔】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AB，即可得出结果．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵AC2+BC2＝2.42+1.82＝9，AB2＝32＝9，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC的面积，
∴（米）；
∵AC+BC＝2.4+1.8＝4.2（米），
CH+AB＝1.44+3＝4.44（米），
4.2米＜4.44米，
∴方案一所修的管道较短．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算，熟记以上知识是解题的关键．
24．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．
（1）这个云梯的底端离墙多远？
（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
【思路点拔】（1）由题意得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，根据勾股定理OA2+OB2＝AB2，可求出梯子底端离墙有多远；
（2）由题意得此时CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理可得出此时的OD，继而能和（1）的OB进行比较．
【解答】解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，
由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2
解得：OB＝20，
答：这个云梯的底端离墙20米远；
（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，
根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，
由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：，
∴BD＝24﹣20＝4米，
答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
25．周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告：
活动课题 风筝离地面垂直高度探究
问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段AB）．小组成员测量了相关数据，并画如图示意图，测得水平距离BC的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？
问题解决 ……
请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程．
【思路点拔】（1）由勾股定理求出AC60（米），得到AD＝AC+DC＝61.5（米），即可得到答案；
（2）如图，风筝上升到了M的位置，由勾股定理求出MN80（米），得到MN﹣AC＝20（米），即可得到风筝上升的高度．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝100米，BC＝80米，
∴AC60（米），
∴AD＝AC+DC＝60+1.5＝61.5（米），
答：风筝离地面的垂直高度是61.5米；
（2）如图，风筝上升到了M的位置，
由题意知：BN＝BC﹣CN＝80﹣20＝60（米），
∵∠MNB＝90°，MB＝100米，
∴MN80（米），
∴MN﹣AC＝80﹣60＝20（米），
答：此时风筝上升了20米．
【点评】本题考查勾股定理的应用，关键是应用勾股定理来解决问题．
26．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度DE为0.7m，将秋千AD往前推送4m（即BC为4m），到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为2.7m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千的长度．
（2）如果想要踏板离地的垂直高度为1.7m时，需要将秋千AD往前推送　3　 m．
【思路点拔】（1）设AB＝x米，则AC＝（x﹣2）米，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程求解即可；
（2）由题意得出AC的长，再根据勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：（1）由题意知，DE＝0.7米，BF＝2.7米，CE＝BF＝2.7米，
∴CD＝CE﹣DE＝2.7﹣0.7＝2（米），
设AB＝x米，则AC＝（x﹣2）米，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC2+BC2＝AB2，
即（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝5，
即秋千的长度为5米；
（2）∵踏板离地的垂直高度BF为2.7米，
∴CD＝1.7﹣0.7＝1（米）
∴AC＝5﹣1＝4（米），
∴BC3（米），
即需要将秋千AD往前推送3米，
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
27．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC＝8dm，AB＝6dm，两轮中心的距离BC＝10dm，滚轮半径r＝1dm．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝13dm，AE＝5dm，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．
【思路点拔】（1）运用勾股定理逆定理判定即可；
（2）运用勾股定理可得DE＝12dm，运用等面积法可得AG＝4.8dm，由此即可求解．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：
购物车侧面简化示意图中，支架AC＝8dm，AB＝6dm，两轮中心的距离BC＝10dm，
又∵82+62＝102，即AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）AD＝13dm，AE＝5dm，AE⊥DE，
在直角三角形ADE中，由勾股定理得：，
如图2，过点A作AG⊥BC于点G，
由（1）得，△ABC是直角三角形，
∴S△ABCAB ACBC AG，
∴AG4.8（dm），
∴物车上篮子的左边缘D到地面的距离为DE+AG+r＝12+4.8+1＝17.8（dm）．
【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
28．如图，圆柱底面圆的半径为cm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一母线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根棉线的长度最短是多少？
【思路点拔】求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：
用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→C'D'→DB，
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短，
∵圆柱底面半径为cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长＝2π4cm，
又∵圆柱高为9cm，
∴小长方形的一条边长是3cm，
根据勾股定理求得AC＝C'D'＝DB＝5cm，
∴AC+C'D'+DB＝15cm，
答：这根棉线的长度最短是15cm．
【点评】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开﹣路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．解题的关键就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

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