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第2课时　换底公式
[学习目标]　1．掌握换底公式及其推论．(逻辑推理) 2．能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．(数学运算)
探究1　对数的换底公式
问题1　通过上一课时的学习，我们知道lg 15＝lg 3＋lg 5，即lg 15可以用lg 3，lg 5表示．能不能借助lg 3，lg 5的值算出log35的值呢？
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问题2　是否对任意的logab都可以表示成logab＝？说出你的理由．
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[新知生成]
1．对数换底公式：logab＝．
2．对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝．
logab(a>0，且a≠1，b>0，n≠0)．
(3)logab·logbc·logcd＝_____(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
特别地logab·logba＝1．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)计算：
(1)log4＋log23－log0.5；
(2)(log32＋log23)2－．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
[学以致用]　【链接教材P126练习T3】
1．求值：
(1)(log43)·；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
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探究2　对数运算中的条件求值问题
[典例讲评]　2．(1)若2a＝5b＝20，则＝(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．3
(2)已知log37＝a，2b＝3，试用a，b表示log1456．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式，可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
[学以致用]　2．(1)已知log23＝a，log27＝b，则用a，b表示log4256＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
(2)已知3a＝5b＝c，且＝2，则c＝________．
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探究3　实际问题中的对数运算
[典例讲评]　【链接教材P126例5】
3．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变信道带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．20% 　 B．23%
C．28% 　 D．50%
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
[学以致用]　【链接教材P127习题4.3T10】
3．某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次不少于10万粒的是(　　)
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A．第5代种子 　 B．第6代种子
C．第7代种子 　 D．第8代种子
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1．(多选)下列等式正确的有(　　)
A．log34＝ 　 B．log34＝
C．log34＝ 　 D．log34＝
2．(教材P127习题4.3T5改编)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
3．一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月(假设没有捕杀与其他损耗)．那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要(附：lg 2≈0.3)(　　)
A．23年 　 B．22年
C．21年 　 D．20年
4．求下列各式的值：
(1)log210×lg 4＝________；
(2)log23×8＝________；
(3)log34×log45×log56×log67×log78×log89＝________．
1．知识链：
2．方法链：换底公式、转化法．
3．警示牌：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆．
指数的换底公式
很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”“64片金片在3根金针上移动”)都涉及264这个数．
(1)你能用64个2相乘算出它的值吗？
(2)你会用计算器得出它的结果吗？
(3)如果恰好你手头没有计算器，又需要你马上估计出它的值，你有什么办法？
分析　(1)如果你愿意不厌其烦地计算，可以得出
264＝18 446 744 073 709 551 616．
(2)使用科学计算器，可以算出
264≈1.844 674 407×1019．
(3)若把264换成以10为底的幂，则便于估计它的值．怎么转换呢？
根据指数函数的性质，对于数2一定存在唯一的常数α，使得2＝10α(如图)．由对数的概念，得
α＝lg 2．
因而264＝1064α＝1064lg 2≈1064×0.301 0＝1019.264．
也就是说，264是1019和1020之间的数．
一般地，对于任意不为1的正数a和b，有a＝blogba，所以对任意的实数α，都有
aα＝．
这就是指数的换底公式．
例如，可以用上述公式把以3为底的幂转换为以10或以e为底的幂：
35＝105lg 3，35＝e5ln 3．
第2课时　换底公式
[探究建构]　探究1
问题1　提示：设log35＝x，则3x＝5， 两边取对数得
lg 3x＝lg 5，∴xlg 3＝lg 5，∴x．
问题2　提示：依据当a>0，且a≠1时，ax＝N logaN＝x推导得出．
令x，则logcb＝xlogca＝logcax，故b＝ax，
∴x＝logab，∴logab．
新知生成　2．(3)logad
典例讲评　1．解：根据对数的换底公式，得
(1)log4＋log23－log0.5
＝＋log23－
＝log2＋log23－log25
＝log2
＝log21
＝0．
(2)(log32＋log23)2－
＝
＝
＝2．
学以致用　1．解： (1)原式···．
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋lo5)·(lo22＋log52)log25·3log52×3＝13．
探究2
典例讲评　2．(1)B　[因为2a＝5b＝20，则a＝log220，b＝log520，故log204＋log205＝log2020＝1．故选B．]
(2)解：因为2b＝3，所以b＝log23，则log32．
所以log1456．
学以致用　2．(1)B　(2)　[(1)因为log23＝a，log27＝b，则log4256．故选B．
(2)∵3a＝5b＝c，∴c>0，
∴a＝log3c，b＝log5c，
∴logc3，logc5，
∴logc15．
由logc15＝2，得c2＝15，
即c(负值舍去)．]
探究3
典例讲评　3．B　[将信噪比从1 000提升至5 000，C大约增加了
≈≈0.233，
所以C大约增加了23%．故选B．]
学以致用　3．B　[设第x代种子的数量为15x-1，由题意得15x-1105，得xlog15105＋1．
因为log15105＋1＋1≈5.2，
故种子数量首次不少于10万粒的是第6代种子．故选B．]
[应用迁移]
1．ABC
2．B　[log36．]
3．A　[设兔子由一万只增长到一亿只需要x期，
则104·2x＝108，所以2x＝104，得x＝log2104≈13.3．13.3×21≈279(月)≈23(年)．故选A．]
4．(1)2　(2)6　(3)2　[(1)log210×lg 4×2lg 2＝2．
(2)log23×lo6．
(3)log34×log45×log56×log67×log78×log 892．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第四章
指数函数与对数函数
4.3　对数
4.3.2　对数的运算
第2课时　换底公式
[学习目标]　1．掌握换底公式及其推论．(逻辑推理) 2．能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．换底公式是如何表述的？
问题2．如何证明换底公式？
探究建构 关键能力达成
探究1　对数的换底公式
问题1　通过上一课时的学习，我们知道lg 15＝lg 3＋lg 5，即lg 15可以用lg 3，lg 5表示．能不能借助lg 3，lg 5的值算出log35的值呢？
提示：设log35＝x，则3x＝5, 两边取对数得
lg 3x＝lg 5，∴x lg 3＝lg 5，∴x＝．
问题2　是否对任意的logab都可以表示成logab＝？说出你的理由．
提示：依据当a>0，且a≠1时，ax＝N logaN＝x推导得出．
令＝x，则logcb＝xlogca＝logcax，故b＝ax，
∴x＝logab，
∴logab＝．
[新知生成]
1．对数换底公式：logab＝(
)．
2．对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝．
logab(a>0，且a≠1，b>0，n≠0)．
(3)logab·logbc·logcd＝_____(a>0，b>0，c>0，d >0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
特别地logab·logba＝1．
logad
【教用·微提醒】　(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义．
(2)将不同底对数转换为相同底对数，在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)计算：
(1)log4＋log23－log0.5；
(2)(log32＋log23)2－．
[解]　根据对数的换底公式，得
(1)log4＋log23－log0.5
＝＋log23－
＝log2 ＋log23－log25
＝log2
＝log21
＝0．
(2)(log32＋log23)2－
＝
＝
＝2．
反思领悟　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
[学以致用]　【链接教材P126练习T3】
1．求值：
(1)(log43)·；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
[解]　(1)原式＝．
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝＝log25·3log52＝×3＝13．
【教材原题·P126练习T3】化简下列各式：
(1)log23×log34×log45×log52；
(2)2(log43＋log83)(log32＋log92)．
[解]　(1)log23×log34×log45×log52
＝＝1．
(2)2(log43＋log83)(log32＋log92)
＝
＝2
＝2×log23×log32
＝log23×log32＝．
探究2　对数运算中的条件求值问题
[典例讲评]　2．(1)若2a＝5b＝20，则＝(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．3
(2)已知log37＝a，2b＝3，试用a，b表示log1456．
√
(1)B　[因为2a＝5b＝20，则a＝log220，b＝log520，故＝log204＋log205＝log2020＝1．故选B．]
(2)[解]　因为2b＝3，所以b＝log23，则log32＝．
所以log1456＝
＝．
反思领悟　利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式，可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
√
[学以致用]　2．(1)已知log23＝a，log27＝b，则用a，b表示log4256＝
(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
(2)已知3a＝5b＝c，且＝2，则c＝________．
　
(1)B　(2)　[(1)因为log23＝a，log27＝b，则log4256＝．故选B．
(2)∵3a＝5b＝c，∴c>0，
∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，
∴＝logc15．
由logc15＝2，得c2＝15，
即c＝(负值舍去)．]
【教用·备选题】　已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
[解]　∵18b＝5，∴b＝log185．
又∵log189＝a，
∴log3645＝
＝．
探究3　实际问题中的对数运算
[典例讲评]　【链接教材P126例5】
3．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变信道带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．20% 　B．23% C．28% 　D．50%
√
B　[将信噪比从1 000提升至5 000，C大约增加了
＝
≈≈0.233，
所以C大约增加了23%．故选B．]
【教材原题·P126例5】
例5　尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M．
2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)
[解]　设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2．
由lg E＝4.8＋1.5M，可得
lg E1＝4.8＋1.5×9.0，
lg E2＝4.8＋1.5×8.0．
于是，lg ＝lg E1－lg E2
＝(4.8＋1.5×9.0)－(4.8＋1.5×8.0)＝1.5．
利用计算工具可得，＝101.5≈32．
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍．
反思领悟　关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
[学以致用]　【链接教材P127习题4.3T10】
3．某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次不少于10万粒的是(　　)
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A．第5代种子 　 B．第6代种子
C．第7代种子 　 D．第8代种子
√
B　[设第x代种子的数量为15x-1，由题意得15x-1≥105，得x≥log15105＋1．
因为log15105＋1＝＋1≈5.2，
故种子数量首次不少于10万粒的是第6代种子．故选B．]
【教材原题·P127习题4.3T10】酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？
[解]　设经过x个小时才能驾驶，则100×(1－30%)x＜20，即0.7x＜0.2，
由于y＝0.7x在定义域上单调递减，
∴x＞log0.70.2＝≈5，∴他至少经过5小时才能驾驶．
应用迁移 随堂评估自测
1．(多选)下列等式正确的有(　　)
A．log34＝ 　 B．log34＝
C．log34＝ 　 D．log34＝
√
√
√
2．(教材P127习题4.3T5改编)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
B　[]
√
√
3．一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月(假设没有捕杀与其他损耗)．那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要(附：lg 2≈0.3)(　　)
A．23年 　 B．22年
C．21年 　 D．20年
A　[设兔子由一万只增长到一亿只需要x期，
则104·2x＝108，所以2x＝104，得x＝log2104＝≈13.3．
13.3×21≈279(月)≈23(年)．故选A．]
4．求下列各式的值：
(1)log210×lg 4＝________；
(2)log23×8＝________；
(3)log34×log45×log56×log67×log78×log89＝________．
2　
6　
2　
(1)2　(2)6　(3)2　[(1)log210×lg 4＝×2lg 2＝2．
(2)log23×8＝＝6．
(3)log34×log45×log56×log67×log78×log89＝
＝2．]
1．知识链：
2．方法链：换底公式、转化法．
3．警示牌：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你能用对数的换底公式证明吗？
[提示]　logNM(N＞0且N≠1，M＞0，n≠0)．
2．常见的换底公式变形有哪些？
[提示]　(1)logab＝
)．
(2)logab·logba＝1(其中a>0，且a≠1，b>0, 且b≠1)．
指数的换底公式
很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”“64片金片在3根金针上移动”)都涉及264这个数．
(1)你能用64个2相乘算出它的值吗？
(2)你会用计算器得出它的结果吗？
(3)如果恰好你手头没有计算器，又需要你马上估计出它的值，你有什么办法？
阅读材料 拓展数学视野
分析　(1)如果你愿意不厌其烦地计算，可以得出
264＝18 446 744 073 709 551 616．
(2)使用科学计算器，可以算出
264≈1.844 674 407×1019．
(3)若把264换成以10为底的幂，则便于估计它的值．怎么转换呢？
根据指数函数的性质，对于数2一定存在唯一的常数α，使得2＝10α(如图)．由对数的概念，得
α＝lg 2．
因而264＝1064α＝1064lg 2≈1064×0.301 0＝1019.264．
也就是说，264是1019和1020之间的数．
一般地，对于任意不为1的正数a和b，有a＝blogba，所以对任意的实数α，都有
aα＝．
这就是指数的换底公式．
例如，可以用上述公式把以3为底的幂转换为以10或以e为底的幂：
35＝105lg 3，35＝e5ln 3．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(三十三)　换底公式
√
一、选择题
1．计算 的结果是(　　)
A． 　B．－ C． 　D．－
B　[＝log22＝－．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．若2x＝3，y＝log8，则x＋3y的值是(　　)
A．3 　 B．log34
C．2 　 D．－2
C　[由2x＝3，得x＝log23，又y＝log8log2，所以x＋3y＝log23＋log2＝log24＝2．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(　　)
A．1 　 B．2
C．4 　 D．6
B　[原式＝log23×log32＝2．故选B．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．若lg 2＝a，10b＝3，则log2415＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
C　[因为10b＝3，所以b＝lg 3，所以log2415＝．故选C．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
5．(多选)已知2a＝5b＝m，现有下面四个命题，其中正确的是(　　)
A．若a＝b，则m＝1
B．若m＝10，则＝1
C．若a＝b，则m＝10
D．若m＝10，则
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
AB　[当a＝b时，由2a＝5b＝m，可得＝1，则a＝0，此时m＝1，所以A正确；
当m＝10时，由2a＝5b＝m，可得a＝log210，b＝log510，
则＝lg 2＋lg 5＝1，所以B正确．故选AB．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．若logab·log3a＝4，则b＝________．
81　[∵logab·log3a＝4，∴＝4，即lg b＝4lg 3＝lg 34，∴b＝34＝81．]
81
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级LP＝20×lg ，其中常数P0(P0＞0)是听觉下限阈值，P是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车A 10 80
电动汽车B 10 40
题号
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已知在距离燃油汽车A、电动汽车B 10 m处测得实际声压分别为P1，P2，则＝ ________．
100　[由表中的数据可知，20×lg ＝80，即P1＝104P0，20×lg ＝40 ，P2＝102P0，故＝100．]
100　
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8．(2024·全国甲卷)已知a>1且，则a＝______．
64　[log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
则log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，
所以log2a＝6，故a＝26＝64．]
64　
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三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)2lg 2＋lg 25＋＋log89×log364；
(2) (log43＋log83)(log32＋log92)＋log3．
题号
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[解]　(1)原式＝2lg 2＋lg 52＋2＋＝2(lg 2＋lg 5)＋2＋＝2＋2＋4＝8．
(2)原式＝－5
＝－5＝－3．
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10．单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v满足公式：v＝v0·ln ．其中m1，m2分别为火箭结构质量和推进剂的质量．v0是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为10 km/s．则火箭发动机的喷气速度约为(　　)
(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 4≈1.4)
A．15 km/s 　 B．25 km/s
C．35 km/s 　 D．45 km/s
√
B　[由题意可得10＝v0ln ，其中m1＝2m2，
则10＝v0ln ＝v0(ln 3－ln 2)≈0.4v0，解得v0≈25．故选B．]
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11．(多选)研究表明，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M，则(　　)
A．震级为2级的地震释放的能量为106.8焦耳
B．释放的能量为109.3焦耳的地震震级为3级
C．9级地震释放的能量是8级地震释放的能量的10倍
D．释放的能量之比为1 000∶1的两场地震的震级相差2级
√
√
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BD　[对于A，当M＝2时，lg E＝4.8＋1.5×2＝7.8，解得E＝107.8，A错误；
对于B，当E＝109.3时，9.3＝4.8＋1.5M，解得M＝3，B正确；
对于C，令9级地震释放的能量为E1，8级地震释放的能量为E2，
则lg ＝lg E1－lg E2＝(4.8＋1.5×9)－(4.8＋1.5×8)＝1.5，于是＝101.5>10，C错误；
对于D，释放的能量为E0，对应的震级为M0，释放的能量为1 000E0，对应的震级为M′，
则lg E0＝4.8＋1.5M0，且lg 1 000E0＝4.8＋1.5M′，两式相减得1.5(M′－M0)＝3，解得M′－M0＝2，D正确．故选BD．]
√
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√
12．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　)
A．ab＋bc＝2ac 　
B．ab＋bc＝ac
C． 　
D．
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AD　[由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k>0，且k≠1)，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，
对于A，由ab＋bc＝2ac，可得＝2，因为＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确，B错误；
对于C，＝2logk4＋logk6＝logk96，＝2logk9＝logk81，故≠，故C错误；对于D，＝2logk6－logk4＝logk9，＝logk9，故，故D正确．故选AD．]
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13．若实数a＞b＞1，且logab＋logba＝，则＝ ________．
1　[由logab＋logba＝logab＋，a＞b＞1，得0＜logab＜1，解得logab＝或logab＝2(舍去)，所以＝b，即a＝b2，所以＝1．]
1　
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14．某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%．若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤多少次？(附：lg 2≈0.301 0，lg 3
≈0.477 1)
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[解]　设至少需要过滤n次，
令0.02×＝0.001，即．
所以n lg ＝lg ，
即n(lg 2－lg 3)＝－lg 20，
即n＝≈7.4．
所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求．
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15．已知loga x＋3logxa－logx y＝3(a>1)．
(1)若设x＝at，试用a，t表示y；
(2)在(1)的条件下，若当0[解]　(1)由换底公式，
得loga x＋＝3(a>1)，
所以loga y＝(loga x)2－3loga x＋3．
当x＝at时，loga x＝logaat＝t，
所以loga y＝t2－3t＋3．
所以y＝(t≠0)．
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(2)由(1)可知y＝，
因为01，
所以当t＝时，ymin＝＝8．
所以a＝16，此时x＝＝64．
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谢 谢！课时分层作业(三十三)　换底公式
一、选择题
1．计算 的结果是(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
2．若2x＝3，y＝log8，则x＋3y的值是(　　)
A．3 　 B．log34
C．2 　 D．－2
3．化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(　　)
A．1 　 B．2
C．4 　 D．6
4．若lg 2＝a，10b＝3，则log2415＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
5．(多选)已知2a＝5b＝m，现有下面四个命题，其中正确的是(　　)
A．若a＝b，则m＝1
B．若m＝10，则＝1
C．若a＝b，则m＝10
D．若m＝10，则
二、填空题
6．若logab·log3a＝4，则b＝________．
7．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级LP＝20×lg ，其中常数P0(P0＞0)是听觉下限阈值，P是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车A 10 80
电动汽车B 10 40
已知在距离燃油汽车A、电动汽车B 10 m处测得实际声压分别为P1，P2，则＝ ________．
8．(2024·全国甲卷)已知a>1且，则a＝________．
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)2lg 2＋lg 25＋3log32＋log89×log364；
(2) (log43＋log83)(log32＋log92)＋log3．
10．单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v满足公式：v＝v0·ln ．其中m1，m2分别为火箭结构质量和推进剂的质量．v0是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为10 km/s．则火箭发动机的喷气速度约为(　　)
(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 4≈1.4)
A．15 km/s 　 B．25 km/s
C．35 km/s 　 D．45 km/s
11．(多选)研究表明，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M，则(　　)
A．震级为2级的地震释放的能量为106.8焦耳
B．释放的能量为109.3焦耳的地震震级为3级
C．9级地震释放的能量是8级地震释放的能量的10倍
D．释放的能量之比为1 000∶1的两场地震的震级相差2级
12．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　)
A．ab＋bc＝2ac 　 B．ab＋bc＝ac
C． 　 D．
13．若实数a＞b＞1，且logab＋logba＝，则＝ ________．
14．某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%．若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤多少次？(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
15．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)．
(1)若设x＝at，试用a，t表示y；
(2)在(1)的条件下，若当0课时分层作业(三十三)
1．B　[lo．故选B．]
2．C　[由2x＝3，得x＝log23，又y＝log8，所以x＋3y＝log23＋log2＝log24＝2．故选C．]
3．B　[原式＝(2×log32＝2．故选B．]
4．C　[因为10b＝3，所以b＝lg 3，所以log2415＝．故选C．]
5．AB　[当a＝b时，由2a＝5b＝m，可得(a＝1，则a＝0，此时m＝1，所以A正确；
当m＝10时，由2a＝5b＝m，可得a＝log210，b＝log510，
则＝lg 2＋lg 5＝1，所以B正确．故选AB．]
6．81　[∵logab·log3a＝4，∴·＝4，即lg b＝4lg 3＝lg 34，∴b＝34＝81．]
7．100　[由表中的数据可知，20×lg ＝80，即P1＝104P0，20×lg ＝40 ，P2＝102P0，故＝100．]
8．64　[，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
则log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，
所以log2a＝6，故a＝26＝64．]
9．解：(1)原式＝2lg 2＋lg 52＋2＋＝2(lg 2＋lg 5)＋2＋＝2＋2＋4＝8．
(2)原式＝(－5＝－3．
10．B　[由题意可得10＝v0ln，其中m1＝2m2，
则10＝v0ln＝v0(ln 3－ln 2)≈0.4v0，解得v0≈25．故选B．]
11．BD　[对于A，当M＝2时，lg E＝4.8＋1.5×2＝7.8，解得E＝107.8，A错误；
对于B，当E＝109.3时，9.3＝4.8＋1.5M，解得M＝3，B正确；
对于C，令9级地震释放的能量为E1，8级地震释放的能量为E2，
则lg＝lg E1－lg E2＝(4.8＋1.5×9)－(4.8＋1.5×8)＝1.5，于是＝101.5>10，C错误；
对于D，释放的能量为E0，对应的震级为M0，释放的能量为1 000E0，对应的震级为M'，
则lg E0＝4.8＋1.5M0，且lg 1 000E0＝4.8＋1.5M'，两式相减得1.5(M'－M0)＝3，解得M'－M0＝2，D正确．故选BD．]
12．AD　[由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k>0，且k≠1)，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，
对于A，由ab＋bc＝2ac，可得＝2，因为＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确，B错误；
对于C，＝2logk4＋logk6＝logk96，＝2logk9＝logk81，故，故C错误；对于D，＝2logk6－logk4＝logk9，＝logk9，故，故D正确．故选AD．]
13．1　[由logab＋logba＝logab＋，a>b>1，得014．解：设至少需要过滤n次，
令0.02×(1－n＝0.001，即(．
所以nlg ，即n(lg 2－lg 3)＝－lg 20，
即n＝≈7.4．
所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求．
15．解：(1)由换底公式，
得logax＋＝3(a>1)，
所以logay＝(logax)2－3logax＋3．
当x＝at时，logax＝logaat＝t，
所以logay＝t2－3t＋3．
所以y＝( t≠0)．
(2)由(1)可知y＝，
因为01，
所以当t＝时，ymin＝＝8．
所以a＝16，此时x＝1＝64．
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