资源简介

4.4　对数函数
4.4.1　对数函数的概念
[学习目标]　1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型．(数学抽象) 2．会求简单的对数型函数的定义域．(数学运算)
探究1　对数函数的概念
问题　将y＝2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间(0，＋∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作是关于y的函数？
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[新知生成]
一般地，函数________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___________．
[典例讲评]　1．(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；
②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log；
④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；
⑥y＝lox．其中是对数函数的为(　　)
A．③④⑤ 　 B．②④⑥
C．①③⑤⑥ 　 D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　判断一个函数是对数函数的方法
[学以致用]　1．(1)若函数y＝(a2－4a＋4)·logax是对数函数，则实数a的值为________．
(2)已知函数f (x)是对数函数，且f ，则f (2)＝________．
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探究2　对数函数的定义域
[典例讲评]　【链接教材P130例1】
2．(源自湘教版教材)求下列函数的定义域：
(1)y＝log0.5(3－x)；
(2)y＝log(2x－3)(x2＋3)．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　求对数型函数的定义域时需注意：
(1)真数大于0；
(2)底数大于零且不等于1；
(3)对数作为分母时，真数除了大于0，还不能为1．
[学以致用]　【链接教材P131练习T1】
2．函数f (x)＝的定义域为________．
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探究3　对数函数模型的应用
[典例讲评]　【链接教材P131例2】
3．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位，求y与x的关系式．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　利用指数、对数函数解决应用问题的方法
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围．
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax．
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．
[学以致用]　【链接教材P135练习T3】
3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质的剩余质量是原来的(结果保留1位有效数字，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)？
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1．(多选)下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝x2 　 B．y＝
C．y＝log(x+1)x　 D．y＝logπx
2．函数y＝lg (1－x)的定义域是(　　)
A．(0，1) 　 B．[0，1]
C．(－∞，1) 　 D．(－∞，1]
3．(教材P127习题4.3T9改编)“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是(　　)
A．y＝log1.05x 　 B．y＝log1.005x
C．y＝log0.95x 　 D．y＝log0.995x
4．已知函数f (x)＝logax＋a2－2a－3为对数函数，则a＝________．
1．知识链：
2．方法链：待定系数法．
3．警示牌：易忽视对数函数的底数有限制条件．
4.4.1　对数函数的概念
[探究建构]　探究1
问题　提示：x＝log2y，对任意y∈(0，＋∞)，都有唯一的x与之对应，x是关于y的函数．
新知生成　y＝logax(a>0，且a≠1)　(0，＋∞)
典例讲评　1．(1)D　(2)4　[(1)由对数函数的定义知，③⑥是对数函数，故选D．
(2)因为函数y＝log(2a-1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
所以
解得a＝4．]
学以致用　1．(1)3　(2)　[(1)因为y＝(a2－4a＋4)·logax是对数函数，则a2－4a＋4＝1，得a＝1或a＝3．由于a>0，a≠1，则a＝1舍去，即a＝3．
(2)设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
因为f ，所以loga，
即，解得a＝2，
所以f(x)＝log2x，
所以f(2)＝log22．]
探究2
典例讲评　2．解：(1)要使函数有意义，需3－x>0，
即x<3．
所以函数y＝log0.5(3－x)的定义域是(－∞，3)．
(2)要使函数有意义，需2x－3>0且2x－3≠1，即x>且x≠2．
所以函数y＝log(2x－3)(x2＋3)的定义域是∪(2，＋∞)．
学以致用　2．(－1，0)∪(0，3]　[由题意得
解得－1所以函数f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，3]．]
探究3
典例讲评　3．解：由题意可知(1－20%)y＝x，0即y＝log0.8x，0y与x的关系式为y＝log0.8x，0学以致用　3．解：假设经过x年，该物质的剩余质量是原来的，根据题意得0.75x．
所以x＝log0.75≈4(年)．
故估计经过4年，该物质的剩余质量是原来的．
[应用迁移]
1．BD
2．C　[利用对数函数定义域求法可知1－x>0，易得x∈(－∞，1)，故选C．]
3．B　[由题意得x＝(1＋5‰)y＝1.005y，化为对数函数得y＝log1.005x．故选B．]
4.3　[依题意有 解得a＝3．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第四章
指数函数与对数函数
4.4　对数函数
4.4.1　对数函数的概念
[学习目标]　1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型．(数学抽象) 2．会求简单的对数型函数的定义域．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？
问题2．如何求对数函数的定义域？
探究建构 关键能力达成
探究1　对数函数的概念
问题　将y＝2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间(0，＋∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作是关于y的函数？
提示：x＝log2 y，对任意y∈(0，＋∞)，都有唯一的x与之对应，x是关于y的函数．
[新知生成]
一般地，函数______________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___________．
【教用·微提醒】　(1)对数函数的系数为1．
(2)真数只能是一个x．
(3)底数与指数函数的底数范围相同．
y＝logax(a>0，且a≠1)
(0，＋∞)
√
[典例讲评]　1．(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；
②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝lox；
④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；
⑥y＝lox．其中是对数函数的为(　　)
A．③④⑤ 　 B．②④⑥
C．①③⑤⑥ 　 D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1) x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝______．
4　
(1)D　(2)4　[(1)由对数函数的定义知，③⑥是对数函数，故选D．
(2)因为函数y＝log(2a－1) x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
所以
解得a＝4．]
反思领悟　判断一个函数是对数函数的方法
[学以致用]　1．(1)若函数y＝(a2－4a＋4)·loga x是对数函数，则实数a的值为________．
(2)已知函数 f (x)是对数函数，且 f ，则 f (2)＝____．
3
　
(1)3　(2)　[(1)因为y＝(a2－4a＋4)·loga x是对数函数，则a2－4a＋4＝1，得a＝1或a＝3．由于a>0，a≠1，则a＝1舍去，即a＝3．
(2)设 f (x)＝loga x(a>0，且a≠1)，
因为f ，所以loga，
即，解得a＝2，
所以f (x)＝log2x，
所以f (2)＝log22＝．]
探究2　对数函数的定义域
[典例讲评]　【链接教材P130例1】
2．(源自湘教版教材)求下列函数的定义域：
(1)y＝log0.5(3－x)；
(2)y＝log(2x－3)(x2＋3)．
[解]　(1)要使函数有意义，需3－x>0，
即x<3．
所以函数y＝log0.5(3－x)的定义域是(－∞，3)．
(2)要使函数有意义，需2x－3>0且2x－3≠1，即x>且x≠2．
所以函数y＝log(2x－3)(x2＋3)的定义域是∪(2，＋∞)．
【教材原题·P130例1】
例1　求下列函数的定义域：
(1)y＝log3x2；
(2)y＝loga(4－x)(a>0，且a≠1)．
[解]　(1)因为x2>0，即x≠0，
所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
(2)因为4－x>0，即x<4，
所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x<4}．
反思领悟　求对数型函数的定义域时需注意：
(1)真数大于0；
(2)底数大于零且不等于1；
(3)对数作为分母时，真数除了大于0，还不能为1．
[学以致用]　【链接教材P131练习T1】
2．函数 f (x)＝的定义域为__________________．
(－1，0)∪(0，3]　[由题意得
解得－1所以函数 f (x)＝的定义域为(－1，0)∪(0，3]．]
(－1，0)∪(0，3]
【教材原题·P131练习T1】求下列函数的定义域：
(1)y＝ln (1－x)；
(2)y＝；
(3)y＝log7；
(4)y＝loga|x|(a＞0，且a≠1)．
[解]　(1)∵1－x＞0，∴x＜1，∴定义域为(－∞，1)．
(2)∵ x>0且x≠1，
∴函数y＝的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．
(3)∵，
∴函数y＝log7的定义域为．
(4)∵|x|＞0 x≠0，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
探究3　对数函数模型的应用
[典例讲评]　【链接教材P131例2】
3．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位，求y与x的关系式．
[解]　由题意可知(1－20%)y＝x，0即y＝log0.8x，0y与x的关系式为y＝log0.8x，0【教材原题·P131例2】
例2　假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过t年后的物价为w．
(1)该地的物价经过几年后会翻一番？
(2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
物价w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数t 0
[解]　(1)由题意可知，经过t年后物价w为
w＝(1＋5%)t，即w＝1.05t(t∈[0，＋∞))．
由对数与指数间的关系，可得
t＝log1.05w，w∈[1，＋∞)．
由计算工具可得，当w＝2时，t≈14．
所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番．
(2)根据函数t＝log1.05w，w∈[1，＋∞)，利用计算工具，可得下表：
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小．
物价w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数t 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
反思领悟　利用指数、对数函数解决应用问题的方法
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围．
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax．
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．
[学以致用]　【链接教材P135练习T3】
3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质的剩余质量是原来的(结果保留1位有效数字，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)？
[解]　假设经过x年，该物质的剩余质量是原来的，根据题意得0.75x＝．
所以x＝log0.75≈4(年)．
故估计经过4年，该物质的剩余质量是原来的．
【教材原题·P135练习T3】某地去年的GDP(国内生产总值)为3 000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%．
(1)设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函数解析式；
(2)经过几年该地GDP能达到3 900亿元人民币？
[解]　(1)由题意y＝3 000(1＋6.8%)x(0≤x≤5)．
(2)令y＝3 900，得3 900＝3 000×1.068x，1.068x＝1.3，x＝≈4．
∴约经过4年该地GDP能达到3 900亿元人民币．
应用迁移 随堂评估自测
1．(多选)下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝x2 　 B．y＝
C．y＝log(x+1)x　 D．y＝logπx
√
√
√
2．函数y＝lg (1－x)的定义域是(　　)
A．(0，1) 　 B．[0，1]
C．(－∞，1) 　 D．(－∞，1]
C　[利用对数函数定义域求法可知1－x>0，易得x∈(－∞，1)，故选C．]
√
3．(教材P127习题4.3T9改编)“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是(　　)
A．y＝log1.05x 　 B．y＝log1.005x
C．y＝log0.95x 　 D．y＝log0.995x
B　[由题意得x＝(1＋5‰)y＝1.005y，化为对数函数得y＝log1.005x．故选B．]
4．已知函数f (x)＝logax＋a2－2a－3为对数函数，则a＝________．
3　[依题意有 解得a＝3．]
3　
1．知识链：
2．方法链：待定系数法．
3．警示牌：易忽视对数函数的底数有限制条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何判断一个函数是不是对数函数？
[提示]　判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1．
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x．
2．解决对数函数定义域问题应从哪些方面考虑？
[提示]　除了要特别注意真数和底数外，还要遵循前面学习过的求函数定义域的方法，比如函数解析式为分式、根式等情形．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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课时分层作业(三十四)　对数函数的概念
√
一、选择题
1．下列函数中为对数函数的是(　　)
A．y＝lo(－x) B．y＝2log4(1－x)
C．y＝ln x D．y＝lox
C　[函数y＝lo(－x)，y＝2log4(1－x)的真数不是自变量x，它们不是对数函数，A，B错误；函数y＝ln x是对数函数，C正确；函数y＝lox的底数含有参数a，而a的值不能保证a2＋a是不等于1的正数，D错误．故选C．]
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√
2．函数y＝的定义域为(　　)
A．(0，1] 　 B．(0，1)
C．(1，＋∞) 　 D．(0，1)∪(1，＋∞)
B　[由得0＜x＜1，所以函数的定义域为(0，1)．故选B．]
题号
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√
3．若函数 f (x)＝(a2＋a－5)loga x是以a为底数的对数函数，则 f 等于(　　)
A．3 　 B．－3
C．－log36 　 D．－log38
题号
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B　[因为函数 f (x)为对数函数，
所以其系数为1，
即a2＋a－5＝1，即a＝2或a＝－3，
因为对数函数的底数大于0，
所以a＝2，f (x)＝log2x，所以f ＝－3．故选B．]
√
题号
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4．设函数 f (x)＝则 f ( f (10))的值为(　　)
A．lg 101 　 B．1
C．2 　 D．0
C　[ f ( f (10))＝f (lg 10)＝f (1)＝12＋1＝2．]
√
题号
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√
5．(多选)在函数y＝log(a－2)[(5－a)(x2＋1)]中，实数a的取值可能是
(　　)
A． 　B．3 C．4 　D．5
AC　[因为x2＋1＞0，
所以即所以2＜a＜3或3＜a＜5．故选AC．]
题号
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二、填空题
6．已知f (x)为对数函数，f ＝－2，则 f ()＝____．
1　[设f (x)＝logax(a>0，且a≠1)，
则loga＝－2，∴，即a＝，
∴f (x)＝lox，
∴f ()＝lo＝1．]
1　
题号
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7．已知 f (x)＝log2(ax＋1)(a≠0)的定义域为(－∞，1)，则a的值是________．
－1　[因为f (x)的定义域为(－∞，1)，
所以ax＋1>0的解集为(－∞，1)．
所以x＝1是方程ax＋1＝0的根，
所以a＋1＝0，即a＝－1．]
－1
题号
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8．某投资公司准备在2025年年底将1 000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，若市场预期不变，大约在________年的年底总资产(利润＋本金)可以翻一番．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
2029　
题号
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2029　[假设n年后总资产可以翻一番，依题意得
1 000×(1＋20%)n＝2 000，即1.2n＝2，
两边同时取对数得，n＝≈3.8．
所以大约经过4年，即在2029年的年底总资产可以翻一番．]
题号
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三、解答题
9．已知 f (x)＝loga x(a>0，且a≠1)满足 f 的值．
题号
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[解]　由已知 f (x)＝loga x(a>0，且a≠1)满足＋f (4)＝1，
可得loga＋loga4＝1，即－loga2＋2loga2＝1，
则loga2＝1，所以a＝2，得f (x)＝log2x，
则 f (1)＋f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (210)
＝log21＋log22＋log24＋log28＋…＋log2210＝log22(1+2+3+…+10)
＝1＋2＋3＋…＋10＝55．
题号
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10．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f (xy)＝f (x)＋f ( y)”的函数 f (x)可以是(　　)
A．f (x)＝x2 　 B．f (x)＝2x
C．f (x)＝log2x 　 D．f (x)＝eln x
√
C　[∵对数运算性质中有logaM＋logaN＝loga(MN)，∴f (x)＝log2x满足题目要求．故选C．]
题号
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11．下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　)
A．y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)
B．y＝2ln x与y＝ln x2
C．y＝lg x与y＝lg
D．y＝x2与y＝lg x2
√
题号
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C　[y＝ax的定义域为R，y＝logax的定义域为(0，＋∞)，故A错误；
y＝2ln x的定义域为(0，＋∞)，y＝ln x2的定义域为{x|x≠0}，故B错误；
y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，y＝lg 的定义域为(0，＋∞)，故C正确；
y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域为{x|x≠0}，故D错误．故选C．]
题号
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12．设函数 f (x)＝loga x(a>0，且a≠1)，若 f (x1x2…x2 025)＝8，则＋＋…＋的值等于________．
16　[＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝loga(x1x2x3…x2 025)2
＝2loga(x1x2x3…x2 025)＝2×8＝16．]
16　
题号
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13．函数 f (x)＝的定义域为___________________．
(0，1)∪(1，＋∞)　[∵f (x)＝，
∴解得x>0且x≠1，
∴函数f (x)＝的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．]
(0，1)∪(1，＋∞)
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14．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
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[解]　(1)由题意知y＝
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34．
∴老江的销售利润是34万元．
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15．设函数 f (x)＝ln (ax2＋2x＋a)的定义域为M．
(1)若1 M，2∈M，求实数a的取值范围；
(2)若M＝R，求实数a的取值范围．
[解]　(1)由题意M＝{x|ax2＋2x＋a>0}．
由1 M，2∈M可得
化简得
解得
所以a的取值范围为 ．
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(2)由M＝R可得ax2＋2x＋a>0恒成立．
当a＝0时，不等式可化为2x>0，解得x>0，显然不合题意；
当a≠0时，由二次函数的图象可知Δ＝22－4×a×a<0，且a>0，即化简得
解得a>1．
所以实数a的取值范围为(1，＋∞)．
[点评]　M＝R，即真数ax2＋2x＋a＞0恒成立，注意讨论a是否为0．
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谢 谢！课时分层作业(三十四)　对数函数的概念
一、选择题
1．下列函数中为对数函数的是(　　)
A．y＝lo(－x) B．y＝2log4(1－x)
C．y＝ln x D．y＝lox
2．函数y＝的定义域为(　　)
A．(0，1] 　 B．(0，1)
C．(1，＋∞) 　 D．(0，1)∪(1，＋∞)
3．若函数f (x)＝(a2＋a－5)logax是以a为底数的对数函数，则f 等于(　　)
A．3 　 B．－3
C．－log36 　 D．－log38
4．设函数f (x)＝则f ( f (10))的值为(　　)
A．lg 101 　 B．1
C．2 　 D．0
5．(多选)在函数y＝log(a－2)[(5－a)(x2＋1)]中，实数a的取值可能是(　　)
A． 　 B．3
C．4 　 D．5
二、填空题
6．已知f (x)为对数函数，f ＝－2，则f ()＝________．
7．已知f (x)＝log2(ax＋1)(a≠0)的定义域为(－∞，1)，则a的值是________．
8．某投资公司准备在2025年年底将1 000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，若市场预期不变，大约在________年的年底总资产(利润＋本金)可以翻一番．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
三、解答题
9．已知f (x)＝logax(a>0，且a≠1)满足f 的值．
10．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f (xy)＝f (x)＋f (y)”的函数f (x)可以是(　　)
A．f (x)＝x2 　 B．f (x)＝2x
C．f (x)＝log2x 　 D．f (x)＝eln x
11．下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　)
A．y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)
B．y＝2ln x与y＝ln x2
C．y＝lg x与y＝lg
D．y＝x2与y＝lg x2
12．设函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f (x1x2…x2 025)＝8，则＋＋…＋的值等于________．
13．函数f (x)＝的定义域为________．
14．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
15．设函数f (x)＝ln (ax2＋2x＋a)的定义域为M．
(1)若1 M，2∈M，求实数a的取值范围；
(2)若M＝R，求实数a的取值范围．
课时分层作业(三十四)
1．C　[函数y＝lo(－x)，y＝2log4(1－x)的真数不是自变量x，它们不是对数函数，A，B错误；函数y＝ln x是对数函数，C正确；函数y＝lox的底数含有参数a，而a的值不能保证a2＋a是不等于1的正数，D错误．故选C．]
2．B　[由得03．B　[因为函数f(x)为对数函数，
所以其系数为1，
即a2＋a－5＝1，即a＝2或a＝－3，
因为对数函数的底数大于0，
所以a＝2，f(x)＝log2x，所以f(＝－3．故选B．]
4．C　[f(f(10))＝f(lg 10)＝f(1)＝12＋1＝2．]
5．AC　[因为x2＋1>0，
所以所以26．1　[设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
则loga＝－2，∴，即a＝，
∴f(x)＝lox，
∴f()＝lo＝1．]
7．－1　[因为f(x)的定义域为(－∞，1)，
所以ax＋1>0的解集为(－∞，1)．
所以x＝1是方程ax＋1＝0的根，
所以a＋1＝0，即a＝－1．]
8．2029　[假设n年后总资产可以翻一番，依题意得
1 000×(1＋20%)n＝2 000，即1.2n＝2，
两边同时取对数得，n＝≈3.8．
所以大约经过4年，即在2029年的年底总资产可以翻一番．]
9．解：由已知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)满足f(＋f(4)＝1，
可得loga＋loga4＝1，即－loga2＋2loga2＝1，
则loga2＝1，所以a＝2，得f(x)＝log2x，
则f(1)＋f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(210)
＝log21＋log22＋log24＋log28＋…＋log2210＝log22(1+2+3+…+10)
＝1＋2＋3＋…＋10＝55．
10．C　[∵对数运算性质中有logaM＋logaN＝loga(MN)，∴f(x)＝log2x满足题目要求．故选C．]
11．C　[y＝ax的定义域为R，y＝logax的定义域为(0，＋∞)，故A错误；
y＝2ln x的定义域为(0，＋∞)，y＝ln x2的定义域为{x|x≠0}，故B错误；
y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，y＝lg 的定义域为(0，＋∞)，故C正确；
y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域为{x|x≠0}，故D错误．故选C．]
12．16　[f()＋f()＋f()＋…＋f()
＝loga＋…＋loga
＝loga(x1x2x3…x2 025)2
＝2loga(x1x2x3…x2 025)＝2×8＝16．]
13．(0，1)∪(1，＋∞)　[∵f(x)＝，
∴解得x>0且x≠1，
∴函数f(x)＝的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．]
14．解：(1)由题意知y＝
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34．
∴老江的销售利润是34万元．
15．解：(1)由题意M＝{x|ax2＋2x＋a>0}．
由1 M，2∈M可得
化简得
所以a的取值范围为 ．
(2)由M＝R可得ax2＋2x＋a>0恒成立．
当a＝0时，不等式可化为2x>0，解得x>0，显然不合题意；
当a≠0时，由二次函数的图象可知Δ＝22－4×a×a<0，且a>0，即
解得a>1．
所以实数a的取值范围为(1，＋∞)．
[点评]　M＝R，即真数ax2＋2x＋a>0恒成立，注意讨论a是否为0．
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