资源简介

5.1.1　任意角
[学习目标]　1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．(数学抽象) 2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示．(数学抽象)
探究1　角
问题1　你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
1．角的概念及其表示
角可以看成一条____绕着它的端点旋转所成的____．如图，
(1)始边：射线的____位置OA；
终边：射线的____位置OB；
顶点：射线的端点O．
(2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．
2．任意角
我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角
零角 一条射线____做任何旋转形成的角
3．角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称____．
4．角的加法
设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是____．
5．相反角
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为______，角α的相反角记为___，α－β＝α＋(___)．
[典例讲评]　1．(1)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　)
A．60°，720° 　 B．－60°，－720°
C．－30°，－360° 　 D．－60°，720°
(2)下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________．
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
　确定任意角的方法
(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，顺时针方向旋转形成的角为负角．
(2)定大小：根据旋转角度的数量的绝对值确定角的大小．
[学以致用]　1．(1)把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(　　)
A．120° 　 B．－120°
C．240° 　 D．－240°
(2)图中角α＝__________，β＝__________．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2　象限角
问题2　若使角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边(除端点外)可能落在什么位置？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与____重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的____在第几象限，就说这个角是第几______；如果角的终边在________，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
[典例讲评]　2．(源自湘教版教材)在直角坐标系中作出下列各角，并指出它们是第几象限角：
(1)135°；(2)－120°；(3)855°；(4)－750°．
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
　在平面直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
[学以致用]　【链接教材P171练习T1、T3】
2．(1)下列角中，终边在y轴非负半轴上的是(　　)
A．45° 　 B．90°
C．180° 　 D．270°
(2)(多选)下列叙述不正确的是(　　)
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．钝角是第二象限角
C．第二象限角比第一象限角大
D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究3　终边相同的角
问题3　390°角的终边与30°角的终边有什么关系？两者之间相差了多少度？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
问题4　如何表示与30°角终边相同的角？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝_________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[典例讲评]　【链接教材P170例1、例2、P171例3】
3．(源自人教B版教材)分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
(1)60°；(2)－21°．
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
　终边相同的角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差_____的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差_____的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差____的整数倍．
[学以致用]　【链接教材P171练习T4、T5】
3．(1)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是(　　)
A．－37° 　 B．143°
C．379° 　 D．－143°
(2)与2 025°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究4　区域角及其表示
[典例讲评]　4．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
　表示区域角的三个步骤
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°(180°)的整数倍，即得区域角的集合．
[学以致用]　4．如图所示．
(1)分别写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．(教材P171练习T1改编)下列命题中正确的是(　　)
A．第一象限角一定不是负角
B．小于90°的角一定是锐角
C．终边相等的角必相等　
D．－270°的终边在y轴上
2．2 035°是(　　)
A．第一象限角 　 B．第二象限角
C．第三象限角 　 D．第四象限角
3．如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　)
A．
B．
C．{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
4．如图，射线OA(与x轴的非负半轴重合)绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝________．
1．知识链：
2．方法链：数形结合、分类讨论．
3．警示牌：(1)锐角与小于90°角的区别．
(2)终边相同的角的表示中漏掉k∈Z．
5.1.1　任意角
[探究建构]　探究1
问题1　提示：分针顺时针方向旋转了30°；分针逆时针方向旋转了450°．
新知生成　1．射线　图形　(1)起始　终止
2．逆时针　顺时针　没有　
3．α＝β
4．α＋β
5．相反角　－α　－β
典例讲评　1．(1)B　(2)①④　②③　[(1)钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°．
(2)在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β；
在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β；
在③中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β；
在④中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β．
∴γ＝α＋β的是①④；γ＝α－β的是②③．]
学以致用　1．(1)D　(2)－150°　210°　[(1)一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D．
(2)由题图可知α＝－(180°－30°)＝－150°，β＝30°＋180°＝210°．]
探究2
问题2　提示：落在坐标轴上或四个象限内．
新知生成　原点　终边　象限角　坐标轴上
典例讲评　2．解：
(1)135°在直角坐标系中位置如图所示：
135°是第二象限角．
(2)－120°在直角坐标系中位置如图所示：
－120°是第三象限角．
(3)855°＝2×360°＋135°，在直角坐标系中位置如图所示：
855°是第二象限角．
(4)－750°＝－2×360°－30°在直角坐标系中位置如图所示：
－750°是第四象限角．
学以致用　2．(1)B　(2)ACD　[(1)根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．故选B．
(2)直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；零角和负角也小于180°，故D不正确．故选ACD．]
探究3
问题3　提示：相同；360°．
问题4　提示：30°＋k·360°(k∈Z)．
新知生成　α＋k·360°，k∈Z
典例讲评　3．解：(1)S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}．
解不等式－360°60°＋k·360°<720°，得－1－，所以k可取－1，0或1．因此S中满足－360°β<720°的元素是
60°＋(－1)×360°＝－300°，
60°＋0×360°＝60°，
60°＋1×360°＝420°．
(2)S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}．
解不等式－360°－21°＋k·360°<720°，得
－1＋，
所以k可取0，1或2．
因此S中满足－360°β<720°的元素是
－21°＋0×360°＝－21°，
－21°＋1×360°＝339°，
－21°＋2×360°＝699°．
发现规律　(1)360°　(2)180°　(3)90°
学以致用　3．(1)D　(2)225°　－135°　[(1)与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D．
(2)与2 025°角的终边相同的角为2 025°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝－5时，225°为最小正角；
当k＝－6时，－135°为绝对值最小的角．]
探究4
典例讲评　4．解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°α<105°＋k·180°，k∈Z}．
学以致用　4．解：(1)终边落在射线OA上的角的集合为{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合为{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合是{α|210°＋k·360°α300°＋k·360°，k∈Z}．
[应用迁移]
1．D　[A不正确，如－330°就是第一象限角．
B不正确，如－30°是小于90°的角，但－30°并不是锐角．
C不正确，终边相等的角可以相差360°的整数倍．
D正确，－270°的终边与90°终边相同．故选D．]
2．C　[因为2 035°＝5×360°＋235°，235°终边在第三象限，所以2 035°是第三象限角．故选C．]
3．C　[在－180°~180°间阴影部分区域中两条边界表示的角分别为－45°，120°．
所以阴影部分的区域在－180°~180°间的范围是－45°α120°．
所以终边在阴影部分区域的角的集合为{α|－45°＋k·360°α120°＋k·360°，k∈Z}．
故选C．]
4．－75°　[由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°．]
1 / 1(共82张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
[学习目标]　1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．(数学抽象) 2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示．(数学抽象)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．角的概念推广后，角是如何分类的？
问题2．象限角是如何定义的？
问题3．终边相同的角存在怎样的等量关系？如何表示终边相同的角？
探究建构 关键能力达成
探究1　角
问题1　你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？
提示：分针顺时针方向旋转了30°；分针逆时针方向旋转了450°．
[新知生成]
1．角的概念及其表示
角可以看成一条____绕着它的端点旋转所成的____．如图，
(1)始边：射线的____位置OA；
终边：射线的____位置OB；
顶点：射线的端点O．
(2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．
射线
图形
起始
终止
2．任意角
我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角
零角 一条射线____做任何旋转形成的角
逆时针　
顺时针　
没有　
3．角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称_____．
4．角的加法
设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是_____．
5．相反角
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为______，角α的相反角记为___，α－β＝α＋(___)．
α＝β
α＋β
相反角
－α　
－β
[典例讲评]　1．(1)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　)
A．60°，720° 　 B．－60°，－720°
C．－30°，－360° 　 D．－60°，720°
(2)下列所示图形中，γ＝α＋β的是_______；γ＝α－β的是_______．
√
①④　
②③　
(1)B　(2)①④　②③　[(1)钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°．
(2)在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β；
在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β；
在③中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β；
在④中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β．
∴γ＝α＋β的是①④；γ＝α－β的是②③．]
反思领悟　确定任意角的方法
(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，顺时针方向旋转形成的角为负角．
(2)定大小：根据旋转角度的数量的绝对值确定角的大小．
[学以致用]　1．(1)把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(　　)
A．120° 　 B．－120°
C．240° 　 D．－240°
(2)图中角α＝__________，β＝__________．
√
(1)D　(2)－150°　210°　[(1)一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D．
(2)由题图可知α＝－(180°－30°)＝－150°，β＝30°＋180°＝210°．]
－150°
210°
探究2　象限角
问题2　若使角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边(除端点外)可能落在什么位置？
提示：落在坐标轴上或四个象限内．
[新知生成]
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与____重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的____在第几象限，就说这个角是第几______；如果角的终边在________，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
原点
终边
象限角
坐标轴上
[典例讲评]　2．(源自湘教版教材)在直角坐标系中作出下列各角，并指出它们是第几象限角：
(1)135°；(2)－120°；(3)855°；(4)－750°．
[解]　(1)135°在直角坐标系中位置如图所示：
135°是第二象限角．
(2)－120°在直角坐标系中位置如图所示：
－120°是第三象限角．
(3)855°＝2×360°＋135°，在直角坐标系中位置如图所示：
855°是第二象限角．
(4)－750°＝－2×360°－30°在直角坐标系中位置如图所示：
－750°是第四象限角．
反思领悟　在平面直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
[学以致用]　【链接教材P171练习T1、T3】
2．(1)下列角中，终边在y轴非负半轴上的是(　　)
A．45° 　 B．90°
C．180° 　 D．270°
(2)(多选)下列叙述不正确的是(　　)
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．钝角是第二象限角
C．第二象限角比第一象限角大
D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
√
√
√
√
(1)B　(2)ACD　[(1)根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．故选B．
(2)直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；零角和负角也小于180°，故D不正确．故选ACD．]
【教用·备选题】　(多选)已知A＝{α|α是第一象限角}，B＝{α|α是锐角}，C＝{α|α是小于90°的角}，那么A，B，C的关系是(　　)
A．B＝A∩C　
B．B∪C＝C
C．B∩A＝B 　
D．A＝B＝C
√
√
BC　[因为A＝{α|α是第一象限角}，B＝{α|α是锐角}，C＝{α|α是小于90°的角}，所以A∩C除了包括锐角，还包括其他角，比如－330°角，故A选项错误；
锐角是大于0°且小于90°的角，故B选项正确；
锐角是第一象限角，故C选项正确；
A，B，C中角的范围不一样，所以D选项错误．故选BC．]
1．【教材原题·P171练习T1】锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题．
[解]　锐角0°＜α＜90°，是第一象限角，360°＜α＜450°是第一象限角，但不是锐角；
直角的终边在坐标轴上(不属于任何象限)，但终边在坐标轴上的角不一定为直角，如180°；
钝角90°＜α＜180°是第二象限角，450°＜α＜540°是第二象限角，但不是钝角，
所以锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角为终边在坐标轴上的角(不属于任何象限)，但终边在坐标轴上的角不一定为直角；钝角为第二象限角，但第二象限角不一定为钝角．
2．【教材原题·P171练习T3】已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：
(1)420°；(2)－75°；(3)855°；(4)－510°．
[解]　(1)如图①，是第一象限角；
(2)如图②，是第四象限角；
(3)如图③，是第二象限角；
(4)如图④，是第三象限角．
探究3　终边相同的角
问题3　390°角的终边与30°角的终边有什么关系？两者之间相差了多少度？
提示：相同；360°．
问题4　如何表示与30°角终边相同的角？
提示：30°＋k·360°(k∈Z)．
[新知生成]
终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝__________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
α＋k·360°，k∈Z
[典例讲评]　【链接教材P170例1、例2、P171例3】
3．(源自人教B版教材)分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
(1)60°；(2)－21°．
[解]　(1)S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}．
解不等式－360°≤60°＋k·360°<720°，得－1－≤k<2－，所以k可取－1，0或1．因此S中满足－360°≤β<720°的元素是
60°＋(－1)×360°＝－300°，
60°＋0×360°＝60°，
60°＋1×360°＝420°．
(2)S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}．
解不等式－360°≤－21°＋k·360°<720°，得－1＋≤k<2＋，所以k可取0，1或2．
因此S中满足－360°≤β<720°的元素是
－21°＋0×360°＝－21°，
－21°＋1×360°＝339°，
－21°＋2×360°＝699°．
【教材原题·P170例1、例2、P171例3】
例1　在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
[解]　－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角．
例2　写出终边在y轴上的角的集合．
[解]　在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角(图5.1-7)．因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}，而所有与270°角终边相同的角构成集合
S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}，
于是，终边在y轴上的角的集合
S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪
{β|β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)180°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}．
例3　写出终边在直线y＝x上的角的集合S．S中满足不等式－360°
≤β<720°的元素β有哪些？
[解]　如图5.1-8，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°．因此，终边在直线y＝x上的角的
集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°
＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．
S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β有
45°－2×180°＝－315°，
45°－1×180°＝－135°，
45°＋0×180°＝45°，
45°＋1×180°＝225°，
45°＋2×180°＝405°，
45°＋3×180°＝585°．
发现规律　终边相同的角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差_____的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差_____的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差____的整数倍．
360°
180°
90°
[学以致用]　【链接教材P171练习T4、T5】
3．(1)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是(　　)
A．－37° 　 B．143°
C．379° 　 D．－143°
(2)与2 025°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．
√
225°　
－135°　
(1)D　(2)225°　－135°　[(1)与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D．
(2)与2 025°角的终边相同的角为2 025°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝－5时，225°为最小正角；
当k＝－6时，－135°为绝对值最小的角．]
【教用·备选题】　(1)角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝______________________．
(2)若角θ的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角为_____________________．
(1)150°＋k·360°，k∈Z　(2)20°，140°，260°　[(1)∵30°与150°的终边关于y轴对称，
∴β的终边与150°角的终边相同．
∴β＝150°＋k·360°，k∈Z．
150°＋k·360°，k∈Z　
20°，140°，260°
(2)由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，
则＝20°＋k·120°(k∈Z)，
则当k＝0，1，2时，＝20°，140°，260°．
故答案为：20°，140°，260°．]
1．【教材原题·P171练习T4】在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)－54°18′；
(2)395°8′；
(3)－1 190°30′．
[解]　(1)因为－54°18′＋360°＝305°42′，所以在0°～360°范围内，与角－54°18′终边相同的角为305°42′，是第四象限角．
(2)因为395°8′－360°＝35°8′，所以在0°～360°范围内，与角395°8′终边相同的角为35°8′，是第一象限角．
(3)因为－1 190°30′＝－4×360°＋249°30′，所以在0°～360°范围内，与角－1 190°30′终边相同的角为249°30′，是第三象限角．
2．【教材原题·P171练习T5】写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β：
(1)1 303°18′；
(2)－225°．
[解]　(1)根据题意可知1 303°18′＝223°18′＋3×360°，所以与
1 303°18′终边相同的角的集合为{β|β＝223°18′＋k·360°，k∈Z}，
易知当k＝0时，β＝223°18′；当k＝－1时，β＝－136°42′；当k＝－2时，β＝－496°42′；
所以适合不等式－720°≤β＜360°的元素β有223°18′，－136°42′，－496°42′．
(2)与－225°终边相同的角的集合为{β|β＝－225°＋k·360°，k∈Z}，
易知当k＝－1时，β＝－585°；当k＝0时，β＝－225°；当k＝1时，β＝135°；
所以适合不等式－720°≤β＜360°的元素β有－585°，－225°，135°．
探究4　区域角及其表示
[典例讲评]　4．已知角α的终边在图中阴影部分内，
试指出角α的取值范围．
[解]　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
反思领悟　表示区域角的三个步骤
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°(180°)的整数倍，即得区域角的集合．
[学以致用]　4．如图所示．

(1)分别写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合．
[解]　(1)终边落在射线OA上的角的集合为{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合为{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合是
{α|210°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P171练习T1改编)下列命题中正确的是(　　)
A．第一象限角一定不是负角
B．小于90°的角一定是锐角
C．终边相等的角必相等　
D．－270°的终边在y轴上
√
D　[A不正确，如－330°就是第一象限角．
B不正确，如－30°是小于90°的角，但－30°并不是锐角．
C不正确，终边相等的角可以相差360°的整数倍．
D正确，－270°的终边与90°终边相同．故选D．]
√
2．2 035°是(　　)
A．第一象限角 　 B．第二象限角
C．第三象限角 　 D．第四象限角
C　[因为2 035°＝5×360°＋235°，235°终边在第三象限，所以
2 035°是第三象限角．故选C．]
√
3．如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　)

A．
B．
C．{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
C　[在－180°～180°间阴影部分区域中两条边界表示的角分别为
－45°，120°．
所以阴影部分的区域在－180°～180°间的范围是－45°≤α≤120°．
所以终边在阴影部分区域的角的集合为{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．
故选C．]
4．如图，射线OA(与x轴的非负半轴重合)绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝________．
－75°　[由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°．]
－75°
1．知识链：
2．方法链：数形结合、分类讨论．
3．警示牌：(1)锐角与小于90°角的区别．
(2)终边相同的角的表示中漏掉k∈Z．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．任意角的分类有哪几种？
[提示]　按旋转方向分为正角、负角和零角；按角的终边所在位置可分为象限角和轴上角．
2．运用终边相同的角时应注意哪些问题？
[提示]　所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意k是整数，这个条件不能漏掉．
3．若角α与角β的终边在一条直线上，则α与β存在怎样的等量关系？
[提示]　若角α与角β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z)．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(四十一)　任意角
√
一、选择题
1．在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是(　　)
A．① 　 B．①②
C．①②③ 　 D．①②③④
C　[①160°很显然是第二象限角；
②480°＝120°＋360°是第二象限角；
③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是(　　)
A．30° 　B．－30° C．60° 　D．－60°
D　[∵分针是顺时针走的，∴形成的角度是负角，
又分针走过了10分钟，
∴走过的角度大小为×360°＝60°，
综上，分针走过的角度是－60°．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为(　　)
A．逆时针，270° 　 B．顺时针，270°
C．逆时针，30° 　 D．顺时针，30°
B　[由题意可得∠AOB＝120°，设∠BOC＝θ，则∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，
解得θ＝－270°，所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°，故选B．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．若α是第四象限角，则180°＋α一定是(　　)
A．第一象限角 　 B．第二象限角
C．第三象限角 　 D．第四象限角
B　[∵α是第四象限角，
∴k·360°－90°<α∴k·360°＋90°<180°＋α∴180°＋α在第二象限，故选B．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
5．(多选)若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
AC　[当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角．故选AC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．如图，角α的终边为OB，则α＝__________________________．
125°＋k·360°，k∈Z
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝_____________________．
k·360°＋60°(k∈Z)　[在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]
k·360°＋60°(k∈Z)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．与－660°角终边相同的最小正角是____；最大负角是_______．
60°　－300°　[因为与－660°角终边相同的角是－660°＋k·360°(k∈Z)，
所以当k＝2时，与－660°角终边相同的最小正角是60°．
当k＝1时，与－660°角终边相同的最大负角是－300°．]
60°
－300°
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9．已知α＝－1 910°．
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
当n＝－1时，θ＝250°－360°＝－110°；
当n＝－2时，θ＝250°－720°＝－470°．
故θ＝－110°或θ＝－470°．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10．集合M＝{x|x＝k·90°±45°，k∈Z}与集合P＝{x|x＝m·45°，m∈Z}之间的关系为(　　)
A．M P 　 B．P M
C．M＝P 　 D．M∩P＝
√
A　[对于集合M，x＝45°(2k±1)，k∈Z，表示45°的奇数倍，对于集合P，x＝m·45°，m∈Z，表示45°的整数倍，所以M P．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
11．(多选)如果角α与角(γ＋45°)的终边重合，角β与角(γ－45°)的终边重合，那么α－β的可能值为(　　)
A．90° 　
B．360°
C．450° 　
D．3 330°
√
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
ACD　[由条件知α＝γ＋45°＋k1·360°(k1∈Z)，β＝γ－45°＋k2·360°(k2∈Z)，
将以上两式相减消去γ，得α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k1，k2∈Z，k1－k2＝k)，
当k＝0时，α－β＝90°；当k＝1时，α－β＝450°；
当k＝9时，α－β＝3 330°，故选ACD．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
12．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)
A．第一象限角 　
B．第二象限角　
C．第三象限角 　
D．第四象限角
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
AC　[因为角2α的终边在x轴的上方，
所以k·360°<2α故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．自行车大链轮有36齿，小链轮有n齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度的绝对值是540度，则n＝________．
24　[由题意可知： n＝24．]
24　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
14．写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角？
[解]　(1){α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}，－950°12′＝－3×360°＋129°48′，不是该集合中的角．
(2){α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}，－950°12′＝－3×360°＋129°48′，是该集合中的角．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15．(教材P176习题5.1T7改编)若α是第二象限角，试分别确定2α，的终边所在位置．
[解]　∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，
∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上．
法一：∵45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)，
当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
∴的终边位于第一或第三象限．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
∵30°＋k·120°<<60°＋k·120°(k∈Z)，
当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°(n∈Z)，
∴的终边位于第一、第二或第四象限．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
法二：将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域．自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示．
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域即为的终边所在的象限，∴的终边位于第一或第三象限．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域．自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域即为的终边所在的象限，∴的终边位于第一、第二或第四象限．
[易错提醒]　本题在求解中易忽略终边相同的角导致漏解．
谢 谢！课时分层作业(四十一)　任意角
一、选择题
1．在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是(　　)
A．① 　 B．①②
C．①②③ 　 D．①②③④
2．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是(　　)
A．30° 　 B．－30°
C．60° 　 D．－60°
3．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为(　　)
A．逆时针，270° 　 B．顺时针，270°
C．逆时针，30° 　 D．顺时针，30°
4．若α是第四象限角，则180°＋α一定是(　　)
A．第一象限角 　 B．第二象限角
C．第三象限角 　 D．第四象限角
5．(多选)若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
二、填空题
6．如图，角α的终边为OB，则α＝________．
7．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________．
8．与－660°角终边相同的最小正角是________；最大负角是________．
三、解答题
9．已知α＝－1 910°．
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°．
10．集合M＝{x|x＝k·90°±45°，k∈Z}与集合P＝{x|x＝m·45°，m∈Z}之间的关系为(　　)
A．M P 　 B．P M
C．M＝P 　 D．M∩P＝
11．(多选)如果角α与角(γ＋45°)的终边重合，角β与角(γ－45°)的终边重合，那么α－β的可能值为(　　)
A．90° 　 B．360°
C．450° 　 D．3 330°
12．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)
A．第一象限角 　 B．第二象限角　
C．第三象限角 　 D．第四象限角
13．自行车大链轮有36齿，小链轮有n齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度的绝对值是540度，则n＝________．
14．写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角？
15．(教材P176习题5.1T7改编)若α是第二象限角，试分别确定2α，的终边所在位置．
课时分层作业(四十一)
1．C　[①160°很显然是第二象限角；
②480°＝120°＋360°是第二象限角；
③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．]
2．D　[∵分针是顺时针走的，∴形成的角度是负角，
又分针走过了10分钟，
∴走过的角度大小为×360°＝60°，
综上，分针走过的角度是－60°．故选D．]
3．B　[由题意可得∠AOB＝120°，设∠BOC＝θ，则∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，
解得θ＝－270°，所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°，故选B．]
4．B　[∵α是第四象限角，
∴k·360°－90°<α∴k·360°＋90°<180°＋α∴180°＋α在第二象限，故选B．]
5．AC　[当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角．故选AC．]
6．125°＋k·360°，k∈Z
7．k·360°＋60°(k∈Z)　[在0°~360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]
8．60°　－300°　[因为与－660°角终边相同的角是－660°＋k·360°(k∈Z)，
所以当k＝2时，与－660°角终边相同的最小正角是60°．
当k＝1时，与－660°角终边相同的最大负角是－300°．]
9．解：(1)α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
当n＝－1时，θ＝250°－360°＝－110°；
当n＝－2时，θ＝250°－720°＝－470°．
故θ＝－110°或θ＝－470°．
10．A　[对于集合M，x＝45°(2k±1)，k∈Z，表示45°的奇数倍，对于集合P，x＝m·45°，m∈Z，表示45°的整数倍，所以M P．故选A．]
11．ACD　[由条件知α＝γ＋45°＋k1·360°(k1∈Z)，β＝γ－45°＋k2·360°(k2∈Z)，
将以上两式相减消去γ，得α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k1，k2∈Z，k1－k2＝k)，
当k＝0时，α－β＝90°；当k＝1时，α－β＝450°；
当k＝9时，α－β＝3 330°，故选ACD．]
12．AC　[因为角2α的终边在x轴的上方，
所以k·360°<2α故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α13．24　[由题意可知： n＝24．]
14．解：(1){α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}，－950°12'＝－3×360°＋129°48'，不是该集合中的角．
(2){α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}，－950°12'＝－3×360°＋129°48'，是该集合中的角．
15．解：∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，
∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上．
法一：∵45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)，
当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
∴的终边位于第一或第三象限．
∵30°＋k·120°<<60°＋k·120°(k∈Z)，
当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°(n∈Z)，
∴的终边位于第一、第二或第四象限．
法二：将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域．自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示．
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域即为的终边所在的象限，
∴的终边位于第一或第三象限．
将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域．自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示．
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域即为的终边所在的象限，
∴的终边位于第一、第二或第四象限．
[易错提醒]　本题在求解中易忽略终边相同的角导致漏解．
1 / 1

展开更多......

收起↑