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5.1.2　弧度制
[学习目标]　1．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．(数学抽象) 2．能对弧度和角度进行正确的转换，掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．(数学运算)
探究1　弧度制的概念
问题1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？
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问题2　在扇形OAB中，半径r，弧长l，与圆心角α之间具有怎样的关系？
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问题3　如图，在同心圆O中，α随r1，r2的变化而变化吗？
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[新知生成]
1．度量角的两种制度
角度制 定义 用__作为单位来度量角的单位制
1度的角 周角的为1度的角，记作1°
弧度制 定义 以____为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．1弧度记作1 ___
2．弧度数的计算
探究2　角度制与弧度制的相互转化
问题4　周角是多少度？多少弧度？角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
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[新知生成]
角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝__ rad 2π rad＝_____
180°＝_ rad π rad＝_____
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×＝度数
[典例讲评]　【链接教材P173例4、P174例5】
1．将下列角度与弧度进行互化：
(1)37°30′；(2)－300°；(3)；(4)2．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键．
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数＝度数．
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
[学以致用]　【链接教材P175练习T1、T2】
1．(1)(多选)下列转化结果正确的是(　　)
A．60°化成弧度是 rad
B．－π rad化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－π rad
D． rad化成角度是15°
(2)将下表中的角度与弧度互化．
角度 0° 45° 60° 90° 135° 150° 180°
弧度 2π
探究3　利用弧度表示角
[典例讲评]　2．(1)把角－570°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为(　　)
A．－3π－π 　 B．－4π＋150°
C．－3kπ－30° 　 D．－4π＋π
(2)用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　用弧度制表示终边相同的角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍．
(2)注意角度制与弧度制不能混用．
[学以致用]　【链接教材P175练习T3、P176习题5.1T3】
2．(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为________．
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探究4　弧度制下的扇形的弧长与面积公式
问题5　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？
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[新知生成]
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(0<α<2π)，则
(1)弧长公式：l＝__．
(2)扇形的面积公式：S＝αR2．
[典例讲评]　【链接教材P174例6】
3．已知扇形的周长为8 cm．
(1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积；
(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式．面积公式：S＝αR2，弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键．涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解．
[学以致用]　【链接教材P176习题5.1T12】
3．已知弧长为20π cm，扇形的面积是300π cm2，求：
(1)扇形的半径r；
(2)扇形圆心角θ的弧度数．
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1．将－315°化为弧度，正确的是(　　)
A．－ 　 B．－
C．－ 　 D．－
2．扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素．小明制作了一把如图所示的扇子，其半径为16 cm，圆心角为，则这把扇子的弧长为(　　)
A．6π cm 　 B．12π cm
C．18π cm 　 D．24π cm
3．(多选)下列各说法，正确的是(　　)
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．圆周角的大小等于2π
C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度
4．在[0，4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)
1．知识链：
2．方法链：转化化归．
3．警示牌：弧度与角度混用．
5.1.2　弧度制
[探究建构]　探究1
问题1　提示：1度的角等于周角的．圆心角是确定的．
问题2　提示：设α＝n°，则l，
∴n·．
问题3　提示：不变．设α＝n°，
因为n·，所以α不随r1，r2的变化而变化．
新知生成　1．度　　弧度　半径长　rad
2．正数　负数　0　
探究2
问题4　提示：周角是360°，2π弧度．根据2π rad＝360°进行换算．
新知生成　2π　360°　π　180°　°
典例讲评　1．解：(1)37°30′＝37.5°＝．
(2)－300°＝－300×．
(3)＝105°．
(4)2＝．
学以致用　1．(1)ABD　(2)角度：30°　75°　270°　360°　弧度：0　　π　[(1)对于A，60°＝60× rad；对于B，－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×π rad；对于D，×180°＝15°．故选ABD．]
探究3
典例讲评　2．(1)D　[因为－570°与π的终边相同，所以把角－570°化为2kπ＋α(0α<2π，k∈Z)的形式为－4π＋π．]
(2)解：①225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，
所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为．
②与①类似可写出终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
∪＝．
学以致用　2．(1)D　(2)　[(1)150°＝150×，故与150°角终边相同的角的集合为．
(2)终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＋2kπ，k∈Z．
终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－＋2kπ，k∈Z，
故终边落在阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为
．]
探究4
问题5　提示：半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l，S．
新知生成　(1)αR　
典例讲评　3．解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S．
(1)由题意得：2r＋l＝8，l＝2r，
解得r＝2，l＝4，
所以Slr＝4(cm2)．
(2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0，4)，
则S(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，
当r＝2(cm)时，Smax＝4(cm2)，此时l＝4(cm)，圆心角α2 rad．
学以致用　3．解：(1)因为弧长为20π cm，扇形的面积是300π cm2，
所以300π×20πr，
解得r＝30(cm)．
(2)由题意得扇形圆心角θ．
[应用迁移]
1．C　[－315°＝－315×．
故选C．]
2．B　[因为扇形半径为16 cm，圆心角为，
所以弧长为×16 cm＝12π cm．故选B．]
3．ABC　[由弧度的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误；根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确．故选ABC．]
4．π，π　[因为与72°角终边相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°π rad；
当k＝1时，θ＝432°π rad，
所以在[0，4π]中，与72°角终边相同的角有π，π．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.1　任意角和弧度制
5.1.2　弧度制
[学习目标]　1．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．(数学抽象) 2．能对弧度和角度进行正确的转换，掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．1弧度的角是如何定义的？
问题2．如何进行弧度与角度的换算？
问题3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1　弧度制的概念
问题1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？
提示：1度的角等于周角的．圆心角是确定的．
问题2　在扇形OAB中，半径r，弧长l，与圆心角α之间具有怎样的关系？
提示：设α＝n°，则l＝，
∴．
问题3　如图，在同心圆O中，α随r1，r2的变化而变化吗？
提示：不变．设α＝n°，
因为，所以α不随r1，r2的变化而变化．
[新知生成]
1．度量角的两种制度
角度制 定义 用__作为单位来度量角的单位制
1度的角 周角的____为1度的角，记作1°
弧度制 定义 以____为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．1弧度记作1 ___
度
弧度
半径长
rad
2．弧度数的计算
正数
负数
0
　
【教用·微提醒】　一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
√
【教用·备选题】
(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．角的弧度数与实数之间建立了一一对应的关系
B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D．无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径的大小有关
ABC　[无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径的大小无关，故D项错误．]
√
√
探究2　角度制与弧度制的相互转化
问题4　周角是多少度？多少弧度？角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
提示：周角是360°，2π弧度．根据2π rad＝360°进行换算．
[新知生成]
角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝___ rad 2π rad＝______
180°＝__ rad π rad＝______
1°＝_____rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57.30°
弧度数×______＝度数
2π
360°
π
180°
【教用·微提醒】　(1)弧度单位rad可以省略．
(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用．
[典例讲评]　【链接教材P173例4、P174例5】
1．将下列角度与弧度进行互化：
(1)37°30′；(2)－300°；(3)；(4)2．
[解]　(1)37°30′＝37.5°＝．
(2)－300°＝－300×．
(3)＝105°．
(4)2＝．
【教材原题·P173例4、P174例5】
例4　按照下列要求，把67°30′化成弧度：
(1)精确值；
(2)精确到0.001的近似值．
[解]　(1)因为67°30′＝°，
所以67°30′＝ rad＝π rad．
(2)利用计算器有
因此，67°30′≈1.178 rad．
例5　将3.14 rad换算成角度(用度数表示，精确到0.001)．
[解]　利用计算器有

因此，3.14 rad≈179.909°．
反思领悟　角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键．
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数＝度数．
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
[学以致用]　【链接教材P175练习T1、T2】
1．(1)(多选)下列转化结果正确的是(　　)
A．60°化成弧度是 rad
B．－π rad化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－π rad
D． rad化成角度是15°
√
√
√
(2)将下表中的角度与弧度互化．
角度 0° 45° 60° 90° 135° 150° 180°
弧度 2π
(1)ABD　(2)角度：30°　75°　270°　360°　弧度：0　　π　[(1)对于A，60°＝60× rad＝ rad；对于B，－π rad＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150× rad＝－π rad；对于D， rad＝×180°＝15°．故选ABD．]
1．【教材原题·P175练习T1】把下列角度化成弧度：
(1)22°30′；(2)－210°；(3)1 200°．
[解]　(1)由题意得，22°30′＝×22.5°＝．
(2)由题意得，－210°＝×(－210°)＝－．
(3)由题意得，1 200°＝×1 200°＝．
2．【教材原题·P175练习T2】把下列弧度化成角度：(1)；(2)－；
(3)．
[解]　(1)＝15°．
(2)－＝－240°．
(3)＝54°．
探究3　利用弧度表示角
[典例讲评]　2．(1)把角－570°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为(　　)
A．－3π－π 　B．－4π＋150°C．－3kπ－30° 　D．－4π＋π
(2)用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
√
(1)D　[因为－570°与π的终边相同，所以把角－570°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为－4π＋π．]
(2)[解]　①225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，
所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为．
②与①类似可写出终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
∪＝．
反思领悟　用弧度制表示终边相同的角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍．
(2)注意角度制与弧度制不能混用．
[学以致用]　【链接教材P175练习T3、P176习题5.1T3】
2．(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(包括
边界)的角θ的集合为_____________________________．
√
(1)D　(2)　[(1)150°＝150×，故与150°角终边相同的角的集合为．
(2)终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z．
终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－＋2kπ，k∈Z，故终边落在阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为．]
1．【教材原题·P175练习T3】用弧度表示：
(1)终边在x轴上的角的集合；
(2)终边在y轴上的角的集合．
[解]　(1){α|α＝2kπ，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}＝{α|α＝nπ，n∈Z}．
(2)．
2．【教材原题·P176习题5.1T3】分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合．
[解]　用角度制写出象限角的集合是：
第一象限角：{β|k·360°＜β＜k·360°＋90°，k∈Z}；
第二象限角：{β|k·360°＋90°＜β＜k·360°＋180°，k∈Z}；
第三象限角：{β|k·360°＋180°＜β＜k·360°＋270°，k∈Z}；
第四象限角：{β|k·360°－90°＜β＜k·360°，k∈Z}．
用弧度制写出象限角的集合是：
第一象限角：；
第二象限角：；
第三象限角：；
第四象限角：．
探究4　弧度制下的扇形的弧长与面积公式
问题5　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？
提示：半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝．
[新知生成]
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(0<α<2π)，则
(1)弧长公式：l＝___．
(2)扇形的面积公式：S＝αR2．
【教用·微提醒】　在应用扇形面积公式S＝时，要注意α的单位是“弧度”．
αR
[典例讲评]　【链接教材P174例6】
3．已知扇形的周长为8 cm．
(1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积；
(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．
[解]　设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S．
(1)由题意得：2r＋l＝8，l＝2r，
解得r＝2，l＝4，
所以S＝lr＝4(cm2)．
(2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0，4)，
则S＝(8－2r)r＝4r－r2
＝－(r－2)2＋4，
当r＝2(cm)时，Smax＝4(cm2)，此时l＝4(cm)，圆心角α＝＝2 rad．
【教材原题·P174例6】
例6　利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1)l＝αR；
(2)S＝αR2；
(3)S＝lR．
其中R是圆的半径，α(0<α<2π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
[证明]　由公式|α|＝可得l＝αR．
下面证明(2)(3)．
半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是l＝，
将n°转换为弧度，得α＝，
于是，S＝αR2．
将l＝αR代入上式，即得S＝lR．
反思领悟　扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式．面积公式：S＝αR2，弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键．涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解．
[学以致用]　【链接教材P176习题5.1T12】
3．已知弧长为20π cm，扇形的面积是300π cm2，求：
(1)扇形的半径r；
(2)扇形圆心角θ的弧度数．
[解]　(1)因为弧长为20π cm，扇形的面积是300π cm2，
所以300π＝×20πr，
解得r＝30(cm)．
(2)由题意得扇形圆心角θ＝．
【教用·备选题】　已知扇形的面积为4 cm2，则该扇形的周长的最小值为_____cm．
8　[设扇形所在圆的半径为r，弧所对的圆心角为α，弧长为l，面积为S，
则l＝αr，S＝αr2＝4，即αr2＝8，
所以扇形的周长C＝2r＋l＝2r＋αr≥2＝8，当且仅当α＝2时取等号，
所以扇形的周长的最小值为8 cm．]
8　
【教材原题·P176习题5.1T12】已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿．
(1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；
(2)如果大轮的转速为180 r/ min(转/分)，小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少？
[解]　(1)∵相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，
∴当大轮转动一周时，
大轮转动了48个齿，
∴小轮转动周，
即×360°＝864°．
(2)当大轮的转速为180 r/min时，
×180＝432 r/min．
∴小轮转速为432 r/min，
∴小轮周上一点每1 s转过的弧度数为432×2π÷60＝π．
又小轮的半径为10.5 cm，
∴小轮周上一点每1 s转过的弧长为π×＝151.2π cm．
应用迁移 随堂评估自测
1．将－315°化为弧度，正确的是(　　)
A．－ 　 B．－
C．－ 　 D．－
√
C　[．
故选C．]
√
2．扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素．小明制作了一把如图所示的扇子，其半径为16 cm，圆心角为，则这把扇子的弧长为(　　)
A．6π cm 　 B．12π cm
C．18π cm 　 D．24π cm
B　[因为扇形半径为16 cm，圆心角为，
所以弧长为×16 cm＝12π cm．故选B．]
3．(多选)下列各说法，正确的是(　　)
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．圆周角的大小等于2π
C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度
ABC　[由弧度的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误；根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确．故选ABC．]
√
√
√
4．在[0，4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)
π，π　[因为与72°角终边相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°＝π rad；
当k＝1时，θ＝432°＝π rad，
所以在[0，4π]中，与72°角终边相同的角有π，π．]
π，π　
1．知识链：
2．方法链：转化化归．
3．警示牌：弧度与角度混用．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．角度制与弧度制怎样转化？
[提示]　1°＝ rad，1 rad＝°．
2．角度制和弧度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？
[提示]　
角度制 弧度制
弧长 l＝αR
面积
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
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课时分层作业(四十二)　弧度制
√
一、选择题
1．与30°角终边相同的角的集合是(　　)
A． B．
C． D．
C　[与30°角终边相同的角的集合是．故选C．]
题号
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√
2．在半径为10 cm的圆上，有一条弧的长是5 cm，则该弧所对的圆心角(正角)的弧度数为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．2
A　[该弧所对的圆心角(正角)的弧度数为．故选A．]
题号
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√
3．若α＝6，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
D　[]
√
题号
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4．某场考试需要2小时，在该场考试中，钟表的时针转过的弧度数为(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
B　[钟表的时针按顺时针旋转，
转过的弧度数为－2π×．故选B．]
√
题号
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5．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，那么该弧所对的圆心角是原来的(　　)
A． 　B．2倍 C． 　D．3倍
D　[设圆原来的半径为r，弧长为l，则圆心角的弧度数为，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为，即弧度数变为原来的3倍．故选D．]
题号
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二、填空题
6．已知一扇形的圆心角为，弧长为7，则该扇形的面积为_____．
7π　[设扇形的半径为R，则R＝7，所以R＝2π，
所以该扇形的面积为R2＝7π．]
7π
题号
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7．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车用
30 km/h的速度通过，10 s间转过________rad．
　[10 s间列车转过的弧长为，转过的角α＝ rad．]
　
题号
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8．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．若一幅扇面的尺寸如图所示，则该扇面的面积为_______ cm2．
704　
题号
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704　[如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，
由题意可得
解得r＝．
所以S扇面＝S扇面OCD－S扇面OAB
＝＝704(cm2)．]
题号
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三、解答题
9．已知角α＝2 040°．
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
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[解]　(1)α＝2 040°＝2 040×，
又＋5×2π，
所以α＝＋5×2π，
所以α与的终边相同，
又π<<，
因此α是第三象限的角．
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(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ，k∈Z，又γ∈[－5π，0)，
所以当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π．
所以在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－π，－π．
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10．如图所示，在平面直角坐标系中，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上的点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细线的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为(　　)
A． 　 B．
C．2 　 D．
√
D　[设圆O的半径为R，由已知得R＝1，当φ＝2 rad时，BM＝＝φ·R＝2，又BO＝1，所以MO＝＝．故选D．]
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11．(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)
A． 　B． C． 　D．
√
√
AD　[设这条弦所对的圆周角为α，
则其圆心角为2α或2π－2α，由于弦长等于半径，
所以可得2α＝或2π－2α＝，
解得α＝或α＝．故选AD．]
√
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√
12．(多选)某日，分针长为6 cm的时钟从20：10走到20：35，分针转动的弧度为α，分针的针尖走过的弧长为l，则(　　)
A．α＝－ 　 B．α＝
C．l＝5π cm 　 D．l＝6π cm
AC　[因为分针是按照顺时针旋转的，所以转动的弧度为负数，可得α＝－×2π＝－，由分针长为6 cm可得，弧长l＝r|α|＝5π cm．故选AC．]
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13．“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是
6 000密位制，即将一个圆周角分6 000等份，每一等份是一个密位，则350密位的对应角的弧度数为________．
　[一个圆周角分6 000等份，每一等份是一个密位，则350密位的对应角的弧度数为×2π＝．]
　
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14．已知扇形的圆心角是α，半径为r，弧长为l．
(1)若α＝135°，r＝10，求扇形的弧长l；
(2)若扇形AOB的周长为22，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值．
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[解]　(1)∵α＝135°＝，∴扇形的弧长l＝αr＝．
(2)∵扇形AOB的周长L＝2r＋l＝2r＋αr＝(α＋2)r＝22，∴α＝－2，
∴扇形AOB的面积S＝r2＝－r2＋11r，
则当r＝，Smax＝，
即当α＝2时，扇形面积最大值Smax＝．
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15．如图，已知长为 dm，宽为1 dm的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为，求点A走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．
[解]　由题意可得，第一段弧长AA1＝×2＝π，扇形面积π×4＝π；
第二段弧长A1A2＝，扇形面积π×1＝，
第三段弧长A2A3＝×＝，扇形面积，
∴点A走过的弧的总长为 dm，走过的弧所对应的扇形的总面积为 dm2．
[点评]　求解本题的关键是明确动点A的轨迹图形，然后借助弧长公式及面积公式求解．
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谢 谢！课时分层作业(四十二)　弧度制
一、选择题
1．与30°角终边相同的角的集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
2．在半径为10 cm的圆上，有一条弧的长是5 cm，则该弧所对的圆心角(正角)的弧度数为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．2
3．若α＝6，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
4．某场考试需要2小时，在该场考试中，钟表的时针转过的弧度数为(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
5．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，那么该弧所对的圆心角是原来的(　　)
A． 　 B．2倍
C． 　 D．3倍
二、填空题
6．已知一扇形的圆心角为，弧长为7，则该扇形的面积为________．
7．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车用30 km/h的速度通过，10 s间转过________rad．
8．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．若一幅扇面的尺寸如图所示，则该扇面的面积为________ cm2．
三、解答题
9．已知角α＝2 040°．
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
10．如图所示，在平面直角坐标系中，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上的点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细线的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为(　　)
A． 　 B．
C．2 　 D．
11．(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
12．(多选)某日，分针长为6 cm的时钟从20：10走到20：35，分针转动的弧度为α，分针的针尖走过的弧长为l，则(　　)
A．α＝－ 　 B．α＝
C．l＝5π cm 　 D．l＝6π cm
13．“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周角分6 000等份，每一等份是一个密位，则350密位的对应角的弧度数为________．
14．已知扇形的圆心角是α，半径为r，弧长为l．
(1)若α＝135°，r＝10，求扇形的弧长l；
(2)若扇形AOB的周长为22，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值．
15．如图，已知长为 dm，宽为1 dm的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为，求点A走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．
课时分层作业(四十二)
1．C　[与30°角终边相同的角的集合是．故选C．]
2．A　[该弧所对的圆心角(正角)的弧度数为．故选A．]
3．D　[α－2π＝6－2π∈(－，0)，故角α的终边在第四象限．故选D．]
4．B　[钟表的时针按顺时针旋转，
转过的弧度数为－2π×．故选B．]
5．D　[设圆原来的半径为r，弧长为l，则圆心角的弧度数为，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为，即弧度数变为原来的3倍．故选D．]
6．7π　[设扇形的半径为R，则R＝7，所以R＝2π，
所以该扇形的面积为R2＝7π．]
7．　[10 s间列车转过的弧长为(km)，转过的角α＝ rad．]
8．704　[如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，
由题意可得
解得r＝．
所以S扇面＝S扇面OCD－S扇面OAB
＝＝704(cm2)．]
9．解：(1)α＝2 040°＝2 040×，
又＋5×2π，
所以α＝＋5×2π，
所以α与的终边相同，
又π<，
因此α是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ，k∈Z，
又γ∈[－5π，0)，
所以当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π．
所以在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－π，－π，－π．
10．D　[设圆O的半径为R，由已知得R＝1，当φ＝2 rad时，BM＝＝φ·R＝2，又BO＝1，所以MO＝．故选D．]
11．AD　[设这条弦所对的圆周角为α，
则其圆心角为2α或2π－2α，由于弦长等于半径，
所以可得2α＝，
解得α＝．故选AD．]
12．AC　[因为分针是按照顺时针旋转的，所以转动的弧度为负数，可得α＝－，由分针长为6 cm可得，弧长l＝r|α|＝5π cm．故选AC．]
13．　[一个圆周角分6 000等份，每一等份是一个密位，则350密位的对应角的弧度数为．]
14．解：(1)∵α＝135°＝，∴扇形的弧长l＝αr＝．
(2)∵扇形AOB的周长L＝2r＋l＝2r＋αr＝(α＋2)r＝22，
∴α＝－2，
∴扇形AOB的面积S＝－1)r2＝－r2＋11r，
则当r＝，Smax＝，
即当α＝2时，扇形面积最大值Smax＝．
15．解：由题意可得，第一段弧长AA1＝×2＝π，扇形面积π×4＝π；
第二段弧长A1A2＝，扇形面积，
第三段弧长A2A3＝，扇形面积，
∴点A走过的弧的总长为 dm，走过的弧所对应的扇形的总面积为 dm2．
[点评]　求解本题的关键是明确动点A的轨迹图形，然后借助弧长公式及面积公式求解．
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