资源简介

5.2.1　三角函数的概念
第1课时　任意角三角函数的定义
[学习目标]　借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(数学抽象、直观想象)
探究1　三角函数的概念
问题　如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(x，y)，结合直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，用点P的坐标如何表示sin α，cos α，tan α？
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[新知生成]
任意角的三角函数的定义
条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)
定义 正弦 把点P的_______叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝_____
余弦 把点P的_______叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝_____
正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)
三角函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y＝sin x，x∈R； 余弦函数y＝cos x，x∈R； 正切函数y＝tan x，x∈
[典例讲评]　【链接教材P178例1】
1．(源自北师大版教材)在单位圆中，α＝－．
(1)画出角α；
(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解．
[学以致用]　【链接教材P180练习T2】
1．求的正弦、余弦和正切值．
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探究2　坐标法求三角函数值
　角的终边过定点
[典例讲评]　【链接教材P179例2】
2．若角α的终边经过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　角的终边在定直线上
[典例讲评]　3．(源自北师大版教材)已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α＋cos α的值．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　利用定义的推广形式求值的方法
(1)取点：在终边上取异于原点的任意一点P(x，y)；
(2)计算r：r＝|OP|＝；
(3)求值：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
[学以致用]　2．已知角α的终边落在直线y＝－x上，求sin α，cos α，tan α的值．
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1．(多选)已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则下列表示正确的是(　　)
A．sin α＝－ 　 B．cos α＝
C．tan α＝－ 　 D．tan α＝－
2．已知角α的终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　)
A．1 　 B．－1
C． 　 D．－
3．(教材P179练习T1改编)sin ＝________，cos π＝________．
4．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________．
1．知识链：
2．方法链：定义法、作图法．
3．警示牌：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为．
第1课时　任意角三角函数的定义
[探究建构]　探究1
问题　提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α(x≠0)．
新知生成　纵坐标y　sin α　横坐标x　cos α　
典例讲评　1．解：(1)
如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转，与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点M．于是α＝∠MOP＝－即为所作的角．
(2)设点P(u，v)，则u＝，sin ，cos ．
学以致用　1．解：
在直角坐标系中，作∠AOB(如图)．易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin ，cos ，
tan ．
探究2
典例讲评　2．解：因为r5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α，cos α，
所以2sin α＋cos α1．
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α，cos α，
所以2sin α＋cos α＝－－1．
故2sin α＋cos α的值为1或－1．
典例讲评　3．解：由题意可设角α的终边上任意一点A(x，x)(x≠0)，
则由三角函数的定义有
sin αcos α，
当x>0时，sin α＋cos α，
当x<0时，sin α＋cos α＝－＝－．
故sin α＋cos α的值为．
发现规律　(2)　(3)
学以致用　2．解：∵角α的终边落在直线y＝－x上，
∴在角α的终边上任取一点P(t，－t)(t≠0)．
则r2|t|．
当t>0时，r＝2t，sin α，cos α，tan α；
当t<0时，r＝－2t，sin α，cos α，tan α．
[应用迁移]
1．ABD
2．B　[由三角函数定义知tan α－1．故选B．]
3.1　－1　[∵单位圆与角，π的终边的交点坐标分别为(0，1)，(－1，0)，∴sin 1，cos π＝－1．]
4．－1　[由题意可知，角α的终边在第二象限，
在其终边上取任意一点P(x，－x)(x<0)，由三角函数的定义可知tan α－1．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.2　三角函数的概念
5.2.1　三角函数的概念
第1课时　任意角三角函数的定义
[学习目标]　借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(数学抽象、直观想象)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．任意角的三角函数的定义是什么？
问题2．结合教材例1、例2，你能总结一下计算三角函数值的方法吗？
探究建构 关键能力达成
探究1　三角函数的概念
问题　如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(x，y)，结合直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，用点P的坐标如何表示sin α，cos α，tan α？
提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
[新知生成]
任意角的三角函数的定义
条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)

定义 正弦 把点P的_______叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝_____
余弦 把点P的_______叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝_____
纵坐标y
sin α
横坐标x
cos α
定义 正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)
三角函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数y＝sin x，x∈R；
余弦函数y＝cos x，x∈R；
正切函数y＝tan x，x∈
【教用·微提醒】　(1)三角函数值是比值，是一个实数．
(2)三角函数值的大小只与角的大小有关．
[典例讲评]　【链接教材P178例1】
1．(源自北师大版教材)在单位圆中，α＝－．
(1)画出角α；
(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值．
[解]　(1)如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转，与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点M．于是α＝∠MOP＝－即为所作的角．
(2)设点P(u，v)，则u＝，sin
，cos ．
【教材原题·P178例1】
例1　求的正弦、余弦和正切值．
[解]　在直角坐标系中，作∠AOB＝(图5.2-3)．易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为．所以，sin ，cos ，tan ＝－．
反思领悟　首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解．
[学以致用]　【链接教材P180练习T2】
1．求的正弦、余弦和正切值．
[解]　在直角坐标系中，作∠AOB＝(如图)．易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin ，cos ，tan ．
【教材原题·P180练习T2】利用三角函数定义，求的三个三角函数值．
[解]　在直角坐标系中，作∠AOB＝(图略)，易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin ，cos ，tan ．
探究2　坐标法求三角函数值
角度1　角的终边过定点
[典例讲评]　【链接教材P179例2】
2．若角α的终边经过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
[解]　因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝，cos α＝，
所以2sin α＋cos α＝＝1．
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝，
cos α＝，
所以2sin α＋cos α＝－＝－1．
故2sin α＋cos α的值为1或－1．
【教材原题·P179例2】
例2　如图5.2-4，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．求证：
sin α＝，cos α＝，tan α＝．
分析：观察图5.2-5，由△OMP∽△OM0P0，根据三角函数的定义可以得到证明．
[证明]　如图5.2-5，设角α的终边与单位圆交于点P0(x0，y0)．分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则
P0M0＝|y0|，PM＝|y|，
OM0＝|x0|，OM＝|x|，
△OMP∽△OM0P0．
于是，
即|y0|＝．
因为y0与y同号，所以
y0＝，
即sin α＝．
同理可得
cos α＝，tan α＝．
角度2　角的终边在定直线上
[典例讲评]　3．(源自北师大版教材)已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α＋cos α的值．
[解]　由题意可设角α的终边上任意一点A(x，x)(x≠0)，
则由三角函数的定义有sin α＝＝cos α，
当x>0时，sin α＋cos α＝＝，
当x<0时，sin α＋cos α＝－＝－．
故sin α＋cos α的值为或－．
发现规律　利用定义的推广形式求值的方法
(1)取点：在终边上取异于原点的任意一点P(x，y)；
(2)计算r：r＝|OP|＝ _________；
(3)求值：sin α＝___，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
[学以致用]　2．已知角α的终边落在直线y＝－x上，求sin α，cos α，tan α的值．
[解]　∵角α的终边落在直线y＝－x上，
∴在角α的终边上任取一点P(t，－t)(t≠0)．
则r＝＝2|t|．
当t>0时，r＝2t，sin α＝，cos α＝，tan α＝＝－；
当t<0时，r＝－2t，sin α＝，cos α＝，tan α＝＝－．
应用迁移 随堂评估自测
1．(多选)已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则下列表示正确的是(　　)
A．sin α＝－ 　 B．cos α＝
C．tan α＝－ 　 D．tan α＝－
√
√
√
√
2．已知角α的终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　)
A．1 　 B．－1
C． 　 D．－
B　[由三角函数定义知tan α＝＝－1．故选B．]
3．(教材P179练习T1改编)sin ＝________，cos π＝________．
1　－1　[∵单位圆与角，π的终边的交点坐标分别为(0，1)，(－1，0)，
∴sin ＝1，cos π＝－1．]
1
－1
4．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________．
－1　[由题意可知，角α的终边在第二象限，
在其终边上取任意一点P(x，－x)(x<0)，由三角函数的定义可知tan α＝＝－1．]
－1　
1．知识链：
2．方法链：定义法、作图法．
3．警示牌：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α，cos α，tan α分别等于多少？
[提示]　sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
2．对角α的终边上任意一点P(x，y)，sin α，cos α，tan α分别等于多少？
[提示]　sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
3．若已知角α终边上的点的坐标含参数，求解时注意什么？
[提示]　若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
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课时分层作业(四十三)　任意角三角函数的定义
√
一、选择题
1．已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
D　[设交点坐标为P(x，y)，
根据三角函数的定义，可得x＝cos α＝－，y＝sin α＝，
所以角α的终边与单位圆的交点坐标是．故选D．]
题号
1
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题号
2
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√
2．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，点P(1，－3)在角α的终边上，则sin α＝(　　)
A．－ 　 B．
C． 　 D．－
D　[因为角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，点P(1，－3)
在角α的终边上，所以sin α＝，故选D．]
题号
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√
3．若45°角的终边上有一点(4－a，a＋1)，则a＝(　　)
A．3 　 B．－
C．1 　 D．
D　[因为tan 45°＝＝1，所以a＝．故选D．]
√
题号
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4．若角α的终边在直线y＝－2x上，则cos α＝(　　)
A．± 　 B．±
C．± 　 D．±
B　[在角α的终边上取一点P(－1，2)，所以cos α＝；或角α的终边上取一点P′(1，－2)，所以cos α＝，综上可得，cos α＝±．故选B．]
√
题号
2
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5．点P从点(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
A　[由题意知α＝，则的终边与单位圆的交点坐标为，故选A．]
题号
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1
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二、填空题
6．已知点P(3，y0)(y0＜0)是角α终边上一点，若cos α＝，则tan α＝________．
－　[由于点P(3，y0)(y0＜0)是角α终边上一点，若cos α＝，
故，解得y0＝－4，故tan α＝－．]
－　
题号
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7．已知角α的终边与单位圆交于第三象限的点A，且点A的横坐标是－，则sin α＝________．
－　[设点A(y＜0)，则＋y2＝1，解得y＝－，则sin α＝y＝－．]
－　
题号
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8．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝a＝________，sin α＋cos α＝________．
－12　－　[根据三角函数的定义，tan α＝，
∴a＝－12，∴P(5，－12)．
∴r＝13，∴sin α＝－，cos α＝，
∴sin α＋cos α＝－．]
－12　
－　
题号
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三、解答题
9．已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝求sin θ，tan θ．
[解]　由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝，
又因为cos θ＝x，所以x．
因为x≠0，所以x＝±1．
题号
2
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当x＝1时，P(1，3)，
此时sin θ＝，tan θ＝＝3；
当x＝－1时，P(－1，3)，
此时sin θ＝，
tan θ＝＝－3．
题号
2
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10．(多选)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝则x的值为(　　)
A．－ 　B．－1 C．1 　D．
√
√
BC　[|OP|＝，
∵sin α＝，
解得x2＝1，∴x＝±1．]
题号
2
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11．对任意a＞0且a≠1，函数 f (x)＝ax+1＋1的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则tan θ＝(　　)
A．－ 　B．－2 C．－ 　D．
√
B　[对于函数 f (x)＝ax+1＋1，令x＋1＝0，∴x＝－1，
故 f (x)＝ax+1＋1的图象过定点P(－1，2)，
由于点P在角θ的终边上，则tan θ＝＝－2．故选B．]
√
题号
2
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12．(教材P180练习T4改编)如图，一质点在半径为1的圆O上以点P为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为 rad/s，5 s时到达点，则x0＝(　　)
A．－1 　 B．－
C．－ 　 D．
题号
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C　[因为P，
所以tan ∠POx＝，所以∠POx＝，
因为按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为 rad/s，
所以∠MOx＝，
所以x0＝cos ，故选C．]
题号
2
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13．已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)，在角θ终边上，且|OA|≤3，则tan θ的值可以是 ______________．(写一个即可)
2(答案不唯一)　[点A(1，a)(a∈Z)在角θ终边上，且|OA|≤3，
则1＋a2≤9，解得－2≤a≤2，a∈Z，
则a的值为－2，－1，0，1，2，tan θ＝＝a，
故tan θ的值可以是0或±1或±2．]
2(答案不唯一)　
题号
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14．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－x上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
[解]　当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，
所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sin α＝，
cos α＝，tan α＝．
所以sin α－3cos α＋tan α＝－．
题号
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当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4，3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，
所以sin α＝，cos α＝，
tan α＝．
所以sin α－3cos α＋tan α＝．
故sin α－3cos α＋tan α的值为－或．
题号
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15．将如图①所示的摩天轮抽象成如图②所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系．设O到地面的高OT为l m，点P为转轮上任意一点，转轮半径OP为r m．记以OP为终边的角为α rad，点P离地面的高度为h m，试用l，r与α表示h．
①　　　　　②
[解]　过点P作x轴的垂线，垂足为M(图略)，则：
当α的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时，h＝OT＋MP＝l＋r sin α；
当α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上时，
因为MP＝－r sin α，此时h＝OT－MP＝l＋r sin α；
当α的终边在x轴上时，sin α＝0，此时h＝OT＝l＋r sin α．
所以不管α的终边在何处，
都有h＝l＋r sin α．
题号
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谢 谢！课时分层作业(四十三)　任意角三角函数的定义
一、选择题
1．已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
2．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，点P(1，－3)在角α的终边上，则sin α＝(　　)
A．－ 　 B．
C． 　 D．－
3．若45°角的终边上有一点(4－a，a＋1)，则a＝(　　)
A．3 　 B．－
C．1 　 D．
4．若角α的终边在直线y＝－2x上，则cos α＝(　　)
A．± 　 B．±
C．± 　 D．±
5．点P从点(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
二、填空题
6．已知点P(3，y0)(y0＜0)是角α终边上一点，若cos α＝，则tan α＝ ________．
7．已知角α的终边与单位圆交于第三象限的点A，且点A的横坐标是－，则sin α＝________．
8．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝a＝________，sin α＋cos α＝________．
三、解答题
9．已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝求sin θ，tan θ．
10．(多选)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝则x的值为(　　)
A．－ 　 B．－1
C．1 　 D．
11．对任意a＞0且a≠1，函数f (x)＝ax+1＋1的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则tan θ＝(　　)
A．－ 　 B．－2
C．－ 　 D．
12．(教材P180练习T4改编)如图，一质点在半径为1的圆O上以点P为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为 rad/s，5 s时到达点，则x0＝(　　)
A．－1 　 B．－
C．－ 　 D．
13．已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)，在角θ终边上，且|OA|≤3，则tan θ的值可以是 ________．(写一个即可)
14．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－x上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
15．将如图①所示的摩天轮抽象成如图②所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系．设O到地面的高OT为 l m，点P为转轮上任意一点，转轮半径OP为r m．记以OP为终边的角为α rad，点P离地面的高度为h m，试用l，r与α表示h．
①　　　　　　　　②
课时分层作业(四十三)
1．D　[设交点坐标为P(x，y)，
根据三角函数的定义，可得x＝cos α＝－，y＝sin α＝，
所以角α的终边与单位圆的交点坐标是．故选D．]
2．D　[因为角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，点P(1，－3)在角α的终边上，所以sin α＝，故选D．]
3．D　[因为tan 45°＝＝1，所以a＝．故选D．]
4．B　[在角α的终边上取一点P(－1，2)，所以cos α＝；
或角α的终边上取一点P'(1，－2)，所以cos α＝，
综上可得，cos α＝±．故选B．]
5．A　[由题意知α＝，则，故选A．]
6．－　[由于点P(3，y0)(y0<0)是角α终边上一点，若cos α＝，
故，解得y0＝－4，故tan α＝－．]
7．－　[设点A(－，y)(y<0)，则(－2＋y2＝1，解得y＝－，则sin α＝y＝－．]
8．－12　－　[根据三角函数的定义，tan α＝，
∴a＝－12，∴P(5，－12)．
∴r＝13，∴sin α＝－，cos α＝，
∴sin α＋cos α＝－．]
9．解：由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝，
又因为cos θ＝x，所以x．
因为x≠0，所以x＝±1．
当x＝1时，P(1，3)，
此时sin θ＝，tan θ＝＝3；
当x＝－1时，P(－1，3)，
此时sin θ＝，
tan θ＝＝－3．
10．BC　[|OP|＝，
∵sin α＝，
解得x2＝1，∴x＝±1．]
11．B　[对于函数f(x)＝ax+1＋1，令x＋1＝0，∴x＝－1，
故f(x)＝ax+1＋1的图象过定点P(－1，2)，
由于点P在角θ的终边上，则tan θ＝＝－2．故选B．]
12．C　[因为P(，
所以tan∠POx＝，所以∠POx＝，
因为按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为 rad/s，
所以∠MOx＝，
所以x0＝cos(－，故选C．]
13．2(答案不唯一)　[点A(1，a)(a∈Z)在角θ终边上，且|OA|≤3，
则1＋a2≤9，解得－2，a∈Z，
则a的值为－2，－1，0，1，2，tan θ＝＝a，
故tan θ的值可以是0或±1或±2．]
14．解：当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sin α＝，
cos α＝，tan α＝．
所以sin α－3cos α＋tan α＝－．
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P'(－4，3)，
所以点P'到坐标原点的距离r＝|OP'|＝5，
所以sin α＝，cos α＝，
tan α＝．
所以sin α－3cos α＋tan α＝．
故sin α－3cos α＋tan α的值为－．
15．解：过点P作x轴的垂线，垂足为M(图略)，则：
当α的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时，h＝OT＋MP＝l＋rsin α；
当α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上时，
因为MP＝－rsin α，此时h＝OT－MP＝l＋rsin α；
当α的终边在x轴上时，sin α＝0，此时h＝OT＝l＋rsin α．
所以不管α的终边在何处，都有h＝l＋rsin α．
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