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第2课时　三角函数值的符号及公式一
[学习目标]　1．能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．(逻辑推理) 2．通过任意角的三角函数的定义，理解终边相同的角的同一三角函数值相等．(数学运算)
探究1　正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
问题1　根据三角函数的定义，猜测一下三角函数值在各个象限内的符号．
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[新知生成]
1．如图所示，三角函数值的符号
2．正弦函数一、二象限为正，三、四象限为负；余弦函数一、四象限为正，二、三象限为负；正切函数一、三象限为正，二、四象限为负．
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[典例讲评]　【链接教材P180例3】
1．(源自人教B版教材)确定下列各值的符号．
(1)cos 260°；(2)sin ；
(3)tan (－672°20′)；(4)tan ．
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
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　判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“______________________________”来判断．
[学以致用]　1．判断下列三角函数值的符号：
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin α·cos·tan (α为三角形的内角)．
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探究2　三角函数值符号的应用
[典例讲评]　2．(1)若sin θ>cos θ，且sin θ·cos θ<0，则θ在(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
(2)(多选)函数f (x)＝的值可能是(　　)
A．－3 　 B．－1
C．1 　 D．3
　由三角函数值的符号确定角α的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．
[学以致用]　【链接教材P182练习T4】
2．(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
(2)已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
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探究3　公式一
问题2　终边相同的角的三角函数值有何关系？
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[新知生成]
终边相同的角的同一三角函数的值____．
公式一：
[典例讲评]　【链接教材P181例4、例5】
3．计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin cos ＋tan cos ．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z．
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
[学以致用]　【链接教材P185习题5.2T5】
3．计算下列各式的值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sin．
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1．(教材P185习题5.2T10改编)已知sin θ<0，tan θ<0，则角θ的终边位于(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限　
C．第三象限 　 D．第四象限
2．sin (－315°)的值是(　　)
A．－ 　 B．－
C． 　 D．
3．(多选)下列各三角函数值符号为负的有(　　)
A．sin 10° 　 B．cos (－220°)
C．sin (－10) 　 D．cos π
4．计算：sin ＋cos ＋tan ＝________．
1．知识链：
2．方法链：转化与化归、公式法．
3．警示牌：误用三角函数值的符号法则．
三角函数在单位圆中的几何表示及应用
设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM，sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．过点A(1，0)作x轴的垂线与角α的终边(或其反向延长线)交于点T(或T′)，则tan α＝AT(或AT′)．
我们把有向线段OM，ON和AT(或AT′)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示．
第2课时　三角函数值的符号及公式一
[探究建构]　探究1
问题1　提示：正弦的符号取决于纵坐标y的符号；余弦的符号取决于横坐标x的符号；正切的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号为正，异号为负．
典例讲评　1．解：(1)因为260°是第三象限角，所以cos 260°<0．
(2)因为－是第四象限角，所以sin <0．
(3)由－672°20'＝47°40'＋(－2)×360°，可知－672°20'是第一象限角，所以tan(－672°20')>0．
(4)由＋2π，可知是第三象限角，所以tan >0．
发现规律　(2)一全正，二正弦，三正切，四余弦
学以致用　1．解：(1)∵<5<2π，
∴3，4，5分别是第二、三、四象限角，
∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0．
(2)∵α为三角形的一个内角，
∴0<α<π，0<，
∴sin α>0，cos>0，tan >0，
∴sin α·cos·tan>0．
探究2
典例讲评　2．(1)B　(2)AC　[(1)由sin θ·cos θ<0，知sin θ和cos θ异号，所以θ在第二或第四象限，
又因为sin θ>cos θ，所以θ在第二象限．
(2)由函数f(x)，
当x为第一象限角时，可得f(x)＝1－1＋1＝1；
当x为第二象限角时，可得f(x)＝1＋1－1＝1；
当x为第三象限角时，可得f(x)＝－1＋1＋1＝1；
当x为第四象限角时，可得f(x)＝－1－1－1＝－3．
故选AC．]
学以致用　2．(1)C　(2)(－2，3]　[(1)因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α的终边在第三象限．故选C．
(2)因为cos α0，sin α>0，
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为角α的终边过(3a－9，a＋2)，
所以所以－2探究3
问题2　提示：由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等．
新知生成　相等　sin α　cos α　tan α　
典例讲评　3．解：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝．
(2)原式＝sin cos ＋tan cos
＝sin cos ＋tan cos
＝．
学以致用　3．解：(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋．
(2)原式＝sin
＝sin＋1．
[应用迁移]
1．D　[由sin θ<0，tan θ<0，根据三角函数值的符号与角的象限间的关系，可得角θ的终边位于第四象限．故选D．]
2．C　[sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°．故选C．]
3．BD　[选项A，因为10°角是第一象限角，
所以sin 10°>0，故选项A不满足题设条件；
选项B，因为－220°角是第二象限角，
所以cos(－220°)<0，故选项B满足题设条件；
选项C，因为－10∈，所以角－10是第二象限角，所以sin(－10)>0，故选项C不满足题设条件．
选项D，因为cos π＝－1<0，故选项D满足题设条件．
故选BD．]
4. 2　[原式＝sin ＋cos ＋tan ＝sin ＋cos ＋tan ＋1＝2．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.2　三角函数的概念
5.2.1　三角函数的概念
第2课时　三角函数值的符号及公式一
[学习目标]　1．能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．(逻辑推理) 2．通过任意角的三角函数的定义，理解终边相同的角的同一三角函数值相等．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何判断三角函数值在各象限内的符号？
问题2．诱导公式一的内容及其作用分别是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1　正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
问题1　根据三角函数的定义，猜测一下三角函数值在各个象限内的符号．
提示：正弦的符号取决于纵坐标y的符号；余弦的符号取决于横坐标x的符号；正切的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号为正，异号为负．
[新知生成]
1．如图所示，三角函数值的符号
2．正弦函数一、二象限为正，三、四象限为负；余弦函数一、四象限为正，二、三象限为负；正切函数一、三象限为正，二、四象限为负．
提示：口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
[典例讲评]　【链接教材P180例3】
1．(源自人教B版教材)确定下列各值的符号．
(1)cos 260°；(2)sin ；
(3)tan (－672°20′)；(4)tan ．
[解]　(1)因为260°是第三象限角，所以cos 260°<0．
(2)因为－是第四象限角，所以sin <0．
(3)由－672°20′＝47°40′＋(－2)×360°，可知－672°20′是第一象限角，所以tan (－672°20′)>0．
(4)由＋2π，可知是第三象限角，所以tan >0．
【教材原题·P180例3】
例3　求证：角θ为第三象限角的充要条件是
[证明]　先证充分性，即如果①②式都成立，那么θ为第三象限角．
因为①式sin θ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合；
又因为②式tan θ>0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．
因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．
必要性请同学们自己证明．
发现规律　判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“__________________
_______________”来判断．
一全正，二正弦，
三正切，四余弦
[学以致用]　1．判断下列三角函数值的符号：
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin α·cos ·tan (α为三角形的内角)．
[解]　(1)∵<3<π<4<<5<2π，∴3，4，5分别是第二、三、四象限角，∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0．
(2)∵α为三角形的一个内角，∴0<α<π，0<<，
∴sin α>0，cos >0，tan >0，∴sin α·cos ·tan >0．
【教用·备选题】　判断下列各式的符号：
(1)sin 145°cos (－210°)；
(2)cos 6tan 6．
[解]　(1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0，
∴sin 145°cos (－210°)＜0．
(2)∵<6<2π，∴6弧度的角为第四象限角．
∴cos 6>0，tan 6<0，∴cos 6tan 6<0．
√
探究2　三角函数值符号的应用
[典例讲评]　2．(1)若sin θ>cos θ，且sin θ·cos θ<0，则θ在(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
(2)(多选)函数f (x)＝的值可能是(　　)
A．－3 　 B．－1
C．1 　 D．3
√
√
(1)B　(2)AC　[(1)由sin θ·cos θ<0，知sin θ和cos θ异号，所以θ在第二或第四象限，
又因为sin θ >cos θ，所以θ在第二象限．
(2)由函数 f (x)＝，
当x为第一象限角时，可得 f (x)＝1－1＋1＝1；
当x为第二象限角时，可得 f (x)＝1＋1－1＝1；
当x为第三象限角时，可得 f (x)＝－1＋1＋1＝1；
当x为第四象限角时，可得 f (x)＝－1－1－1＝－3．
故选AC．]
反思领悟　由三角函数值的符号确定角α的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．
[学以致用]　【链接教材P182练习T4】
2．(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
(2)已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是_________．
√
(－2，3]
(1)C　(2)(－2，3]　[(1)因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α的终边在第三象限．故选C．
(2)因为cos α≤0，sin α＞0，
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为角α的终边过(3a－9，a＋2)，
所以所以－2＜a≤3，即实数a的取值范围是(－2，3]．]
【教用·备选题】　若角α是第三象限角，则点P(2，sin α)所在象限为(　　)
A．第一象限　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
√
D　[由α是第三象限角知，sin α<0，因此P(2，sin α)在第四象限，故选D．]
【教材原题·P182练习T4】对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空：
(1)角θ为第一象限角的充要条件是___________________________；
(2)角θ为第二象限角的充要条件是___________________________；
(3)角θ为第三象限角的充要条件是___________________________；
(4)角θ为第四象限角的充要条件是___________________________．
①③或①⑤或③⑤或①③⑤
①④或①⑥或④⑥或①④⑥
②④或②⑤或④⑤或②④⑤
②③或②⑥或③⑥或②③⑥
(1)①③或①⑤或③⑤或①③⑤　(2)①④或①⑥或④⑥或①④⑥　(3)②④或②⑤或④⑤或②④⑤　(4)②③或②⑥或③⑥或②③⑥　[角θ为第一象限角的充要条件是①③或①⑤或③⑤或①③⑤；
角θ为第二象限角的充要条件是①④或①⑥或④⑥或①④⑥；
角θ为第三象限角的充要条件是②④或②⑤或④⑤或②④⑤；
角θ为第四象限角的充要条件是②③或②⑥或③⑥或②③⑥．]
探究3　公式一
问题2　终边相同的角的三角函数值有何关系？
提示：由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等．
[新知生成]
终边相同的角的同一三角函数的值____．
公式一：
相等
sin α
cos α
tan α
[典例讲评]　【链接教材P181例4、例5】
3．计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin cos ＋tan cos ．
[解]　(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋
cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝．
(2)原式＝sin cos ＋tan cos
＝sin cos ＋tan cos
＝．
【教材原题·P181例4、例5】
例4　确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
(1)cos 250°；(2)sin ；
(3)tan (－672°)；(4)tan 3π．
[解]　(1)因为250°是第三象限角，所以cos 250°<0；
(2)因为－是第四象限角，所以sin <0；
(3)因为tan (－672°)＝tan (48°－2×360°)＝tan 48°，而48°是第一象限角，所以tan (－672°)>0；
(4)因为tan 3π＝tan (π＋2π)＝tan π，
而π的终边在x轴上，所以tan π＝0．
请同学们自己完成用计算工具验证．
例5　求下列三角函数值：
(1)sin 1 480°10′(精确到0.001)；
(2)cos ；
(3)tan ．
[解]　(1)sin 1 480°10′＝sin (40°10′＋4×360°)＝sin 40°10′≈0.645；
(2)cos ＝cos ＝cos ；
(3)tan ＝tan ＝tan ．
反思领悟　利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z．
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
[学以致用]　【链接教材P185习题5.2T5】
3．计算下列各式的值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sin．
[解]　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋．
(2)原式＝sin
＝sin＋1．
【教材原题·P185习题5.2T5】确定下列三角函数值的符号：
(1)sin 186°；
(2)tan 505°；
(3)sin 7.6π；
(4)tan ；
(5)cos 940°；
(6)cos ．
[解]　(1)因为186°在第三象限，根据三角函数定义可知，sin 186°的值为负．
(2)因为505°＝360°＋145°，所以tan 505°＝tan 145°，而145°在第二象限，根据三角函数定义可知，tan 505°的值为负．
(3)因为7.6π＝6π＋1.6π，所以sin 7.6π＝sin 1.6π，而1.6π在第四象限，根据三角函数定义可知，sin 7.6π的值为负．
(4)因为－＝－6π＋，所以tan ＝tan ，而在第一象限，根据三角函数定义可知，tan 的值为正．
(5)因为940°＝2×360°＋220°，所以cos 940°＝cos 220°，而220°在第三象限，根据三角函数定义可知，cos 940°的值为负．
(6)因为－＝－4π＋，所以cos ＝cos ，而在第二象限，根据三角函数定义可知，cos 的值为负．
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P185习题5.2T10改编)已知sin θ<0，tan θ<0，则角θ的终边位于(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限　
C．第三象限 　 D．第四象限
√
D　[由sin θ<0，tan θ<0，根据三角函数值的符号与角的象限间的关系，可得角θ的终边位于第四象限．故选D．]
√
2．sin (－315°)的值是(　　)
A．－ 　 B．－
C． 　 D．
C　[sin (－315°)＝sin (－360°＋45°)＝sin 45°＝．故选C．]
√
3．(多选)下列各三角函数值符号为负的有(　　)
A．sin 10° 　
B．cos (－220°)
C．sin (－10) 　
D．cos π
√
BD　[选项A，因为10°角是第一象限角，
所以sin 10°>0，故选项A不满足题设条件；
选项B，因为－220°角是第二象限角，
所以cos(－220°)<0，故选项B满足题设条件；
选项C，因为－10∈，所以角－10是第二象限角，所以sin(－10)>0，故选项C不满足题设条件．
选项D，因为cos π＝－1<0，故选项D满足题设条件．
故选BD．]
4．计算：sin ＋cos ＋tan ＝________．
2　[原式＝sin ＋cos ＋tan ＝sin ＋cos ＋tan ＋1＝2．]
2　
1．知识链：
2．方法链：转化与化归、公式法．
3．警示牌：误用三角函数值的符号法则．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．三角函数值的符号有何规律？
[提示]　“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．
2．诱导公式一的实质、结构特征及作用是什么？
[提示]　(1)公式一的实质是终边相同的角的同一三角函数的值相等．
(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋2kπ，右边的角为α．
(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．
三角函数在单位圆中的几何表示及应用
设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM，sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．过点A(1，0)作x轴的垂线与角α的终边(或其反向延长线)交于点T(或T′)，则tan α＝AT(或AT′)．
阅读材料 拓展数学视野
我们把有向线段OM，ON和AT(或AT′)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(四十四)　三角函数值的符号及公式一
√
一、选择题
1．cos 1 470°＝(　　)
A．－ 　B．－C． 　D．
D　[由三角函数的诱导公式，可得cos 1 470°＝cos (4×360°＋30°)＝cos 30°＝．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．若角θ的终边经过点P(a，5)(a≠0)，则下列说法正确的是(　　)
A．sin θ＞0 　 B．sin θ＜0
C．cos θ＞0 　 D．cos θ＜0
A　[由角θ的终边经过点P(a，5)，
可得sin θ＝＞0，而cos θ＝的符号不确定．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．下列说法中，正确的是(　　)
A．终边相同的角的同名三角函数的值相等
B．终边不同的角的同名三角函数的值不等
C．若sin α＞0，则α是第一、二象限的角
D．若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－
A　[A正确；B错误，如sin ＝sin ；
C错误，如sin ＝1＞0；
D错误，cos α＝．故选A．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．点A(sin 2 025°，cos 2 025°)在直角坐标系内位于(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
C　[因为sin 2 025°＝sin (360°×6－135°)＝sin (－135°)＜0，cos 2 025°＝cos (360°×6－135°)＝cos (－135°)＜0，所以点A(sin 2 025°，cos 2 025°)在直角坐标系内位于第三象限．故选C．]
√
题号
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√
5．(多选)设△ABC的三个内角分别为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是(　　)
A．tan A与cos B 　
B．cos B与sin C
C．tan 与cos 　
D．tan 与sin C
题号
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CD　[对于A，当A＝时，tan A无意义，故A不满足题意；
对于B，当B为钝角时，cos B＜0，故B不满足题意；
对于C，因为B，C∈(0，π)，所以∈，
所以tan ＞0，cos ＞0，故C满足题意；
对于D，因为A，C∈(0，π)，所以∈，
所以tan ＞0，sin C＞0，故D满足题意．故选CD．]
题号
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二、填空题
6．“sin α>0”是“角α的终边落在第一、二象限”的___________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”选填)
必要不充分　[如α＝，则sin α>0，但角α的终边不落在第一、二象限，故由sin α>0得不到角α的终边落在第一、二象限；
若角α的终边落在第一、二象限，则sin α>0成立，故“sin α>0”是“角α的终边落在第一、二象限”的必要不充分条件．]
必要不充分　
题号
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7．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin (2kπ＋α)＝－，其中k∈Z，则t的值为________．
　[因为sin (2kπ＋α)＝－(k∈Z)，
所以sin α＝－．
又角α的终边过点P(3，－4t)，
故sin α＝，
解得t＝．]
　
题号
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8．如果cos x＝|cos x|，那么角x的取值范围是______________________．
，k∈Z　[因为cos x＝|cos x|，所以cos x≥0，所以角x的终边落在y轴或其右侧，从而角x的取值范围是，k∈Z．]
，k∈Z
题号
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三、解答题
9．(源自湘教版教材)确定下列各三角函数值的符号：
(1)sin ；(2)cos 3；
(3)tan 250°；(4)sin ·cos ．
题号
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[解]　(1)∵π<<，则为第三象限角，则sin <0．
(2)∵<3<π，则3为第二象限角，则cos 3<0．
(3)∵180°<250°<270°，则250°为第三象限角，
则tan 250°>0．
(4)∵<<2π，则为第四象限角，
则sin <0，cos >0，
故sin ·cos <0．
题号
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10．“点P(sin θ，tan θ)在第二象限”是“角θ为第三象限角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
C　[若点P(sin θ，tan θ)在第二象限，则sin θ＜0，tan θ＞0，则角θ为第三象限角，故充分性成立；若角θ为第三象限角，则sin θ＜0，tan θ＞0，则点P(sin θ，tan θ)在第二象限，故必要性成立．
∴“点P(sin θ，tan θ)在第二象限”是“角θ为第三象限角”的充要条件．故选C．]
题号
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11．(多选)下列函数值中符号为正的是(　　)
A．sin (－1 000°) 　
B．cos
C．tan 2 　
D．
√
√
√
题号
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ABD　[对于A，sin (－1 000°)＝sin (－360°×3＋80°)＝sin 80°>0，所以选项A满足题意；
对于B，因为－是第四象限角，所以cos >0，所以选项B满足题意；
对于C，因为<2<π，
所以tan 2<0，所以选项C不满足题意；
题号
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对于D，，
因为是第二象限角，－是第四象限角，
所以－sin <0，tan <0，
即>0，所以选项D满足题意．
故选ABD．]
√
题号
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√
12．(多选)若α在第一象限，则下列选项中，一定为正数的是(　　)
A．sin 2α 　
B．cos 2α
C．tan 　
D．sin
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AC　[∵α在第一象限，∴2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，∴kπ<因而tan 一定为正，sin 可能为正，可能为负，故C正确，D错误；
又4kπ<2α<4kπ＋π，k∈Z，
∴2α是第一或第二象限角或终边在y轴正半轴上，故sin 2α恒正，
cos 2α可正、可负或为0，故A正确，B错误．故选AC．]
题号
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13．设角α是第三象限角，且＝－sin ，则角是第________象限角．
四　[角α是第三象限角，
则角是第二、四象限角，
∵＝－sin ，
∴角是第四象限角．]
四
题号
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14．化简下列各式：
(1)a2sin (－1 350°)＋b2tan 405°－2ab cos (－1 080°)；
(2)sin ＋cos π·tan 4π．
题号
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[解]　(1)原式＝a2sin (－4×360°＋90°)＋b2tan (360°＋45°)－2ab cos (－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2ab cos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．
(2)sin ＋cos ·tan 4π
＝sin ＋cos ·tan 0
＝sin ．
题号
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15．若＝0，判断sin (cos θ)·cos (sin θ)的值的符号．
[解]　＝0 sin θ，cos θ异号 θ为第二或第四象限角．
①若θ是第二象限角，则00．
所以sin (cos θ)·cos (sin θ)<0．
②若θ是第四象限角，则－100，cos (sin θ)>0，
所以sin (cos θ)·cos (sin θ)>0．
[点评]　－1≤cos θ≤1，－1≤sin θ≤1，对于sin (cos θ)而言，cos θ的值相当于角．
题号
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谢 谢！课时分层作业(四十四)　三角函数值的符号及公式一
一、选择题
1．cos 1 470°＝(　　)
A．－ 　 B．－
C． 　 D．
2．若角θ的终边经过点P(a，5)(a≠0)，则下列说法正确的是(　　)
A．sin θ＞0 　 B．sin θ＜0
C．cos θ＞0 　 D．cos θ＜0
3．下列说法中，正确的是(　　)
A．终边相同的角的同名三角函数的值相等
B．终边不同的角的同名三角函数的值不等
C．若sin α＞0，则α是第一、二象限的角
D．若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－
4．点A(sin 2 025°，cos 2 025°)在直角坐标系内位于(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
5．(多选)设△ABC的三个内角分别为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是(　　)
A．tan A与cos B 　 B．cos B与sin C
C．tan 与cos 　 D．tan 与sin C
二、填空题
6．“sin α>0”是“角α的终边落在第一、二象限”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”选填)
7．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin (2kπ＋α)＝－，其中k∈Z，则t的值为________．
8．如果cos x＝|cos x|，那么角x的取值范围是________．
三、解答题
9．(源自湘教版教材)确定下列各三角函数值的符号：
(1)sin ；(2)cos 3；
(3)tan 250°；(4)sin ·cos ．
10．“点P(sin θ，tan θ)在第二象限”是“角θ为第三象限角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．(多选)下列函数值中符号为正的是(　　)
A．sin (－1 000°) 　 B．cos
C．tan 2 　 D．
12．(多选)若α在第一象限，则下列选项中，一定为正数的是(　　)
A．sin 2α 　 B．cos 2α
C．tan 　 D．sin
13．设角α是第三象限角，且＝－sin ，则角是第________象限角．
14．化简下列各式：
(1)a2sin (－1 350°)＋b2tan 405°－2ab cos (－1 080°)；
(2)sin ＋cos π·tan 4π．
15．若＝0，判断sin (cos θ)·cos (sin θ)的值的符号．
课时分层作业(四十四)
1．D　[由三角函数的诱导公式，可得cos 1 470°＝cos(4×360°＋30°)＝cos 30°＝．故选D．]
2．A　[由角θ的终边经过点P(a，5)，
可得sin θ＝>0，而cos θ＝的符号不确定．故选A．]
3．A　[A正确；B错误，如sin ；
C错误，如sin ＝1>0；
D错误，cos α＝．故选A．]
4．C　[因为sin 2 025°＝sin(360°×6－135°)＝sin(－135°)<0，cos 2 025°＝cos(360°×6－135°)＝cos(－135°)<0，
所以点A(sin 2 025°，cos 2 025°)在直角坐标系内位于第三象限．故选C．]
5．CD　[对于A，当A＝时，tan A无意义，故A不满足题意；
对于B，当B为钝角时，cos B<0，故B不满足题意；
对于C，因为B，C∈(0，π)，所以∈(0，，
所以tan >0，cos >0，故C满足题意；
对于D，因为A，C∈(0，π)，所以∈(0，，
所以tan >0，sin C>0，故D满足题意．故选CD．]
6．必要不充分　[如α＝，则sin α>0，但角α的终边不落在第一、二象限，故由sin α>0得不到角α的终边落在第一、二象限；
若角α的终边落在第一、二象限，则sin α>0成立，
故“sin α>0”是“角α的终边落在第一、二象限”的必要不充分条件．]
7．　[因为sin(2kπ＋α)＝－(k∈Z)，
所以sin α＝－．
又角α的终边过点P(3，－4t)，
故sin α＝，
解得t＝舍去)．]
8．[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z　[因为cos x＝|cos x|，所以cos x≥0，所以角x的终边落在y轴或其右侧，从而角x的取值范围是[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z．]
9．解：(1)∵π<，则为第三象限角，则sin<0．
(2)∵<3<π，则3为第二象限角，则cos 3<0．
(3)∵180°<250°<270°，则250°为第三象限角，
则tan 250°>0．
(4)∵<2π，则为第四象限角，
则sin<0，cos>0，故sin·cos<0．
10．C　[若点P(sin θ，tan θ)在第二象限，则sin θ<0，tan θ>0，则角θ为第三象限角，故充分性成立；若角θ为第三象限角，则sin θ<0，tan θ>0，则点P(sin θ，tan θ)在第二象限，故必要性成立．
∴“点P(sin θ，tan θ)在第二象限”是“角θ为第三象限角”的充要条件．故选C．]
11．ABD　[对于A，sin(－1 000°)＝sin(－360°×3＋80°)＝sin 80°>0，所以选项A满足题意；
对于B，因为－是第四象限角，所以cos(－>0，所以选项B满足题意；
对于C，因为<2<π，
所以tan 2<0，所以选项C不满足题意；
对于D，，
因为是第二象限角，－是第四象限角，
所以－sin<0，tan(－<0，即>0，
所以选项D满足题意．
故选ABD．]
12．AC　[∵α在第一象限，∴2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，∴kπ<，k∈Z，故是第一或第三象限角，
因而tan一定为正，sin可能为正，可能为负，故C正确，D错误；
又4kπ<2α<4kπ＋π，k∈Z，
∴2α是第一或第二象限角或终边在y轴正半轴上，故sin 2α恒正，cos 2α可正、可负或为0，故A正确，B错误．故选AC．]
13．四　[角α是第三象限角，则角是第二、四象限角，
∵，
∴角是第四象限角．]
14．解：(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．
(2)sin·tan 4π＝sin·tan 0
＝sin．
15．解：＝0 sin θ，cos θ异号 θ为第二或第四象限角．
①若θ是第二象限角，则00．
所以sin(cos θ)·cos(sin θ)<0．
②若θ是第四象限角，则－10，cos(sin θ)>0，
所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0．
[点评]　－1≤cos θ≤1，－1≤sin θ≤1，对于sin(cos θ)而言，cos θ的值相当于角．
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