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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第二十一讲 二次函数重难点整合
知识点整合
二次函数的核心知识点可归纳为以下五个方面，整理如下：
一、基本概念与表达式
定义 ：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数，其中a决定开口方向，a、b共同决定对称轴，c为与y轴交点。
结构特征 ：最高次数为2，a≠0，自变量取值范围为全体实数。
二、图像与性质
图像特征 ：抛物线，对称轴为直线x=，顶点坐标为（，）。
开口方向 ：a>0开口向上，a<0开口向下。
最值 ：顶点处取得最值，a>0时为最小值，a<0时为最大值。
三、解析式转换
1.三种形式 ：（1）一般式y=ax2+bx+c、（2）顶点式y=a（x-h）2+k、（3）交点式y=a（x-x1）（x-x2）（仅限与x轴有交点时使用）。
2.互化关系 ：通过配方将一般式转化为顶点式，或利用根与系数的关系转换交点式。
四、核心公式与计算
顶点坐标 ：对称轴直线x=，顶点纵坐标。
对称轴与零点 ：对称轴公式x=，零点由求根公式确定。
五、应用与易错点
1.与方程的关系 ：二次函数与一元二次方程的根对应抛物线与x轴交点，判别式b2-4ac判断根的情况。
2.易错点 ：忽略a≠0、混淆顶点坐标符号、忽视数形结合思想。
3.实际应用：
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
总结 ：二次函数重点在于理解图像特征、掌握三种表达式转换及核心公式应用，结合实例练习可提升解题能力。
题型1 二次函数的定义
【例1】．已知二次函数，求的值．
一个函数是二次函数满足条件：（1）最高次数是二次（2）化简后是整式（3）二次项系数不为0
针对训练1
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在圆的面积公式中，与的关系是（ ）
A．一次函数关系 B．正比例函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
3．如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
题型2 二次函数性质
【例2】．已知二次函数的图象经过点．
(1)若，，求此二次函数的解析式；
(2)若，，为正实数，设，试判断是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
掌握二次函数的性质是解题的核心，关键要点如下：
（1）对称轴与顶点
对称轴方程为 ，顶点坐标为()对称轴是抛物线的对称中心，顶点为极值点。
（2）开口方向与形状
由系数a 决定：a > 0 开口向上，函数下凹；a < 0 开口向下，函数上凸；
|a| 越大，开口越窄。
（3）根的判别
通过判别式判断根的情况： 两个不同实根；
一个重根；
无实数根。
（3）关键应用技巧
最值问题：:顶点纵坐标即为最值：
对称性与增减性 ：对称轴两侧函数单调性相反：
a > 0 时，对称轴左侧递减，右侧递增；
a < 0 时，对称轴左侧递增，右侧递减。
针对训练2
1．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）．
(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围．
题型3 抛物线与系数关系
【例3】．二次函数（）的对称轴为，且过点，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤．其中正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（1）当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
（2）当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时，-=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
（3）当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上
（4）b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
（5）由某一函数的图象确定其他函数图象的位置：①判断两个函数中系数的符号，再与图象对比，符号与图象一致的即为正确答案；②把握某一图象(通常为一次函数)，判断相关未知系数的正负性，再与另一图象对比，符合要求的即为正确答案．
针对训练3
1．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型4 抛物线与一元二次方程（不等式）的关系
【例4】．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ．
不等式ax2+bx+c>0的解集就是二次函数图象与x轴交点位于x轴上方所对应的自变量的取值范围
不等式ax2+bx+c<0的解集就是二次函数图象与x轴交点位于x轴下方所对应的自变量的取值范围。
针对训练4
1．已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值．
2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
3.96 4.25 4.56 4.89 5.24
根据表格，可以估计方程的近似解是（ ）
A．和2.55 B．1.45和2.55
C．1.25和2.75 D．和2.75
2．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论正确的是（ ）
A．
B．若点均在二次函数图象上，则
C．不等式的解集为
D．关于的一元二次方程有两个相等的实数根
3．在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
题型5 二次函数的应用
【例5】．某烘焙店销售一款蛋糕，经市场调查发现，这种蛋糕的周销量y（个）是售价x（元/个）的一次函数．现已知售价，周销量，周销售利润的部分数据如下表所示：
售价（元/个） … 15 16 17 …
周销量（个） … 500 480 b …
周销售利润（元） … 2500 a c …
(1) ， ， ；
(2)当周销售利润最大，求蛋糕的售价；【周销售利润(售价成本)销售量】
(3)由于受俄乌危机，导致原材料的价格大幅上升，从下周开始，蛋糕成本价每个上涨m元（），同时为了留住客源，蛋糕售价将不超过20元/件．若周销量与售价的函数关系不变，且下周总利润最高为3200元，求m的值．
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
针对训练5
1．综合与实践
问题情境：山西的窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图，图2是某装修公司承揽窑洞装修任务后设计出的窑洞内部墙面及顶部装修示意图．
数学建模：
如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点离地面，点离地面．
（1）在图3中画出以点为原点，平行于的直线为轴、竖直方向为轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的，处安装吊顶，若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）；
（3）小红想在装修完工后为窑洞增添一些装饰．她计划从点到点，从点到点各拉一条彩带，并在，两处悬挂彩灯，，（，在彩带上，，）．试计算小红需要购买彩灯的总长度（结果精确到））．
2．如图，某苗圃师傅用木制栅栏设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为（单位：），另一边长为（单位：），面积为（单位：）．
(1)直接写出与之间的函数关系式（写出的取值范围）．
(2)当的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积最大？最大面积是多少？
3．某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明．
题型6-1 二次函数中的数学思想—数形结合思想
【例6-1】．抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝．
A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④
思想1 数形结合思想：数形结合通过“以形助数”和“以数解形”实现数学问题的转化，利用几何图形直观化数量关系，同时通过数值分析揭示几何特征。
针对训练6-1
1．如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②
③对任意实数均成立
④若点，在抛物线上，则有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型6-2 二次函数中的数学思想—分类讨论思想
【例6-2】．已知抛物线的顶点坐标为．
(1)求b，c的值，并写出函数表达式；
(2)，在该抛物线上：
①当点M关于抛物线对称轴的对称点为N时，求M的坐标；
②若，当时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值．
思想2 分类讨论思想：二次函数中的分类讨论思想主要围绕函数参数、对称轴与自变量取值范围的关系展开，通过分情况讨论解决最值、增减性等问题
针对训练6-2
1．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
(1)当，时，求的值；
(2)当时，若对于，都有，求的取值范围．
2．已知二次函数（）．
(1)若函数经过，求二次函数的解析式；
(2)若点，点均在函数图象上，求的值；
(3)当时，函数最大值为7，求的值．
3．平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．
(1)若轴，求抛物线的对称轴；
(2)点为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有．
①求a的取值范围；
②若，点，在抛物线上，当时，都有，求a的值．
2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第二十一讲 二次函数重难点整合（解析版）
知识点整合
二次函数的核心知识点可归纳为以下五个方面，整理如下：
一、基本概念与表达式
定义 ：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数，其中a决定开口方向，a、b共同决定对称轴，c为与y轴交点。
结构特征 ：最高次数为2，a≠0，自变量取值范围为全体实数。
二、图像与性质
图像特征 ：抛物线，对称轴为直线x=，顶点坐标为（，）。
开口方向 ：a>0开口向上，a<0开口向下。
最值 ：顶点处取得最值，a>0时为最小值，a<0时为最大值。
三、解析式转换
1.三种形式 ：（1）一般式y=ax2+bx+c、（2）顶点式y=a（x-h）2+k、（3）交点式y=a（x-x1）（x-x2）（仅限与x轴有交点时使用）。
2.互化关系 ：通过配方将一般式转化为顶点式，或利用根与系数的关系转换交点式。
四、核心公式与计算
顶点坐标 ：对称轴直线x=，顶点纵坐标。
对称轴与零点 ：对称轴公式x=，零点由求根公式确定。
五、应用与易错点
1.与方程的关系 ：二次函数与一元二次方程的根对应抛物线与x轴交点，判别式b2-4ac判断根的情况。
2.易错点 ：忽略a≠0、混淆顶点坐标符号、忽视数形结合思想。
3.实际应用：
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
总结 ：二次函数重点在于理解图像特征、掌握三种表达式转换及核心公式应用，结合实例练习可提升解题能力。
题型1 二次函数的定义
【例1】．已知二次函数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数．
【详解】解：由题意可知：，
解得，
又∵，即，
综上所述：
一个函数是二次函数满足条件：（1）最高次数是二次（2）化简后是整式（3）二次项系数不为0
针对训练1
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的概念：二次函数的一般形式为，其中，且a，b，c为常数；根据二次函数的概念即可判断．
【详解】解：A、当时，它不是二次函数，故不符合题意；
B、是一次函数，故不符合题意；
C、右边不是整式，故不符合题意；
D、由二次函数的概念知，是二次函数，故符合题意；
故选：D．
2．在圆的面积公式中，与的关系是（ ）
A．一次函数关系 B．正比例函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，解题的关键是正确理解：一般地形如（是常数，）的函数叫做二次函数．
【详解】解：圆的面积公式中，与的关系是二次函数关系，
故选：．
3．如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的定义，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，分别根据题意得，即可得与满足的函数关系．
【详解】解：矩形的面积为，线段的长为，的长为，
，
，
正方形的面积为，
，
与满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系，
故选：．
题型2 二次函数性质
【例2】．已知二次函数的图象经过点．
(1)若，，求此二次函数的解析式；
(2)若，，为正实数，设，试判断是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】本题考查二次函数性质与代数式最值求解．解题关键是将点代入二次函数得出等式，利用已知条件化简求解解析式；通过对N平方变形，结合均值不等式求N最小值．
（1）将点代入二次函数，得到． 把，代入，求出和的值．将、的值代入二次函数，得到解析式．
（2）对两边平方得到 ，由即，将其代入表达式．利用推出 ，对进行放缩，求出的最小值． 因为、、为正实数，从而得出的最小值．
【详解】（1）解：把点代入，
得，
，，
，
，
，
此二次函数的解析式为；
（2）存在，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，，为正实数，
为正实数，
，
的最小值为．
掌握二次函数的性质是解题的核心，关键要点如下：
（1）对称轴与顶点
对称轴方程为 ，顶点坐标为()对称轴是抛物线的对称中心，顶点为极值点。
（2）开口方向与形状
由系数a 决定：a > 0 开口向上，函数下凹；a < 0 开口向下，函数上凸；
|a| 越大，开口越窄。
（3）根的判别
通过判别式判断根的情况： 两个不同实根；
一个重根；
无实数根。
（3）关键应用技巧
最值问题：:顶点纵坐标即为最值：
对称性与增减性 ：对称轴两侧函数单调性相反：
a > 0 时，对称轴左侧递减，右侧递增；
a < 0 时，对称轴左侧递增，右侧递减。
针对训练2
1．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上点离对称轴越远，函数值越大，
∵点，，都在抛物线上，且，
∴；
故选A．
2．已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识．由题意可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，可得点，到对称轴的距离分别为，，结合，可得，即可求解．
【详解】解：二次函数（为常数），的对称轴为直线，开口向上，
点，到对称轴的距离分别为，，
，
，
解得：，
故选：C．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）．
(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）将抛物线的对称轴为求解即可；
（2）分为两种情况，，根据，结合抛物线的增减性建立不等式解答即可．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为
（2）∵，所以分为两种情况，
①当时，对称轴为，开口向上，
∵,,
∴此时、都在对称轴的右侧，
又∵当时，y随x的增大而增大，
结合图象，若对于，，都有
则：，
∴
②当时，对称轴为，开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵,,
∴此时在对称轴的右侧，在对称轴的左侧,
又∵抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴的对称点为，
结合图象，若对于，，都有．
∴
∴
∴
综上，a的取值范围是或．
题型3 抛物线与系数关系
【例3】．二次函数（）的对称轴为，且过点，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤．其中正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象和系数的关系的应用，本题熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据图象分别求出、、的符号，即可判断①，根据对称轴求出，代入即可判断②，把代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断③，求出点关于直线的对称点的坐标，根据对称轴即可判断④中和的大小，结合和代入二次函数的解析式即可判断⑤
【详解】解：二次函数的图象开口向上，
，
∵对称轴为，且过点，
∴二次函数的图象交轴的负半轴于一点，
，
对称轴是中线，
，
，
，
①正确；
，
，
②正确；
把代入得：，
从图象可知，当时，
即，
③错误；
关于直线的对称点的坐标是，
又当时，随的增大而增大，，
，
④正确；
∵，即，，
∴，即，
∴⑤正确；
综上所述：正确的有①②④⑤；
故选D．
（1）当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
（2）当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时，-=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
（3）当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上
（4）b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
（5）由某一函数的图象确定其他函数图象的位置：①判断两个函数中系数的符号，再与图象对比，符号与图象一致的即为正确答案；②把握某一图象(通常为一次函数)，判断相关未知系数的正负性，再与另一图象对比，符合要求的即为正确答案．
针对训练3
1．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由函数图象可得，，得出，即可判断A；根据对称轴得出，再结合当时，，即可判断B、C；当时，，即可判断D．
【详解】解：由图象可知，，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故选项A不符合题意；
当时，，
∵，
∴，
∴，即，故选项B不符合题意；
∵，
∴，故选项C不符合题意；
根据函数图象可知，当时，，即，故选项D符合题意；
故选：D．
2．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意；
由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧，
所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意；
函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意．
故选：B．
3．在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象的综合判断．分别判断各个选项中两个函数的、的符号，看是否一致，即可得解．
【详解】解：A、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，，
函数的图象开口向上，故，对称轴在轴右边，，即，故本选项符合题意；
B、由图可得，函数经过一、三、四象限，故，，
函数的图象开口向上，故，故本选项不符合题意；
C、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，，
函数的图象开口向下，故，故本选项不符合题意；
D、由图可得，函数经过一、三、四象限，故，，
函数的图象开口向下，故，对称轴在轴右边，，即，故本选项不符合题意；
故选：A．
题型4 抛物线与一元二次方程（不等式）的关系
【例4】．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
又∵该函数的图像与轴交于点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：，
由图象可知：当时，，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
不等式ax2+bx+c>0的解集就是二次函数图象与x轴交点位于x轴上方所对应的自变量的取值范围
不等式ax2+bx+c<0的解集就是二次函数图象与x轴交点位于x轴下方所对应的自变量的取值范围。
针对训练4
1．已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值．
2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
3.96 4.25 4.56 4.89 5.24
根据表格，可以估计方程的近似解是（ ）
A．和2.55 B．1.45和2.55
C．1.25和2.75 D．和2.75
【答案】D
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴观察表格可知，当时，在和之间，
根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间，
故选：D．
2．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论正确的是（ ）
A．
B．若点均在二次函数图象上，则
C．不等式的解集为
D．关于的一元二次方程有两个相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数对称轴公式、函数的增减性以及函数图象与方程、不等式的关系．
根据二次函数对称轴公式判断A；利用二次函数的增减性判断B；结合函数图象与已知点坐标判断C；依据函数图象与轴交点情况判断D．
【详解】A、已知对称轴为直线，则，可得，移项得到，所以A错误；
B、由对称轴为，且（二次函数图象开口向上），可知在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大．
点到对称轴的距离为；点到对
称轴的距离为．
因为，即点距离对称轴更近，所以，B错误；
C、已知函数图象经过点，且对称轴为，根据二次函数的对称性，可知与点关于对称的点的横坐标为，即函数图象也过点，
由图象可知，时，或，所以C错误；
D、由图象可知二次函数的图象与直线有一个交点，这意味着关于的一元二次方程有两个相等的实数根，D正确．
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数图象与x轴交点问题，根据的大小与抛物线与x轴交点个数的关系求解．
【详解】解：抛物线（是常数）与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
题型5 二次函数的应用
【例5】．某烘焙店销售一款蛋糕，经市场调查发现，这种蛋糕的周销量y（个）是售价x（元/个）的一次函数．现已知售价，周销量，周销售利润的部分数据如下表所示：
售价（元/个） … 15 16 17 …
周销量（个） … 500 480 b …
周销售利润（元） … 2500 a c …
(1) ， ， ；
(2)当周销售利润最大，求蛋糕的售价；【周销售利润(售价成本)销售量】
(3)由于受俄乌危机，导致原材料的价格大幅上升，从下周开始，蛋糕成本价每个上涨m元（），同时为了留住客源，蛋糕售价将不超过20元/件．若周销量与售价的函数关系不变，且下周总利润最高为3200元，求m的值．
【答案】(1)2880，460，3220；
(2)当周销售量最大时，面包的售价为25元；
(3)2
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）先由待定系数法求出关于的函数解析式，然后求出每件的成本，求出，再根据周销售利润(售价成本)销售量求出，；
（2）设周销售利润为w（元），根据周销售利润(售价成本)销售量，建立关于的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解；
（3）设周销售利润为w（元），此时新成本为，根据周销售利润(售价成本)销售量，建立关于的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解．
【详解】（1）解：由题意设，
由表格得：，
解得：，
∴，
则每个成本为：（元），
∴，
，
，
故答案为：2880，460，3220；
（2）解：设周销售利润为w（元），则，
∴当时， w有最大值4500元，
答：当周销售量最大时，面包的售价为25元；
（3）解：设周销售利润为w（元），
则，
对称轴，而由题意，
∴当时，w有最大值，
∴．
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
针对训练5
1．综合与实践
问题情境：山西的窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图，图2是某装修公司承揽窑洞装修任务后设计出的窑洞内部墙面及顶部装修示意图．
数学建模：
如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点离地面，点离地面．
（1）在图3中画出以点为原点，平行于的直线为轴、竖直方向为轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的，处安装吊顶，若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）；
（3）小红想在装修完工后为窑洞增添一些装饰．她计划从点到点，从点到点各拉一条彩带，并在，两处悬挂彩灯，，（，在彩带上，，）．试计算小红需要购买彩灯的总长度（结果精确到））．
【答案】（1）（2）吊顶所需材料的面积约为（3）小红需要购买彩灯的总长度约为
【分析】本题考查二次函数的应用∶用到的知识点为∶待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系．理解题意选择恰当的方法是正确解答此题的关键．
（1）根据题意画出平面直角坐标系，找到点的坐标为，点的坐标为．设抛物线的函数表达式为．代入坐标即可求解；
（2）根据题意求得点的坐标为，点的坐标为．进而可求．即可求出吊顶所需材料的面积；
（3）过点作，交的延长线于点．由题意，得，．证明∽．得，求得．进而可求答案．
【详解】解：（1）建立如图1所示的平面直角坐标系．
∵窑洞顶部最高点离地面，点离地面，
∴．
∴点，的纵坐标为．
∵，
∴点的坐标为，点的坐标为．
∵点为抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为．
∵在抛物线上，
∴．
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）∵离地面，
∴．
∴点，的纵坐标为．
∵点，在抛物线上，
∴将代入，得．
解得，．
∴点的坐标为，点的坐标为．
∴．
∴吊顶所需材料的面积为．
答：吊顶所需材料的面积约为．
（3）如图2，过点作，交的延长线于点．
由题意，得，．
∵，，
∴．
∴∽．
∴，则．
∴．
∴
答：小红需要购买彩灯的总长度约为．
2．如图，某苗圃师傅用木制栅栏设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为（单位：），另一边长为（单位：），面积为（单位：）．
(1)直接写出与之间的函数关系式（写出的取值范围）．
(2)当的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)（）
(2)；
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据矩形的面积公式，列出函数关系式，根据矩形的边长大于0，围墙的长度为21米，求出的取值范围即可；
（2）利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：，
．
，
，
∵，
∴．
（2），
当时，有最大值，最大值为，
即当时，该矩形育苗试验田的面积最大，最大面积是．
3．某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明．
【答案】(1)
(2)能，见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题．
（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可；
（2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可；
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，即
（2）解：能，理由如下：
当时，，
当时，，
解得（舍去），，
∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处，
∴小明抛出的乒乓球能投入箱子；
题型6-1 二次函数中的数学思想—数形结合思想
【例6-1】．抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝．
A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④
【答案】A
【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解．
【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，
如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，
∴AM=BM，AN=CN，
∴，
∵BC=10，
∴MN=5，
∴h+3=5，
∴h=2，
∵点B（3，3），
∴3＝（3-2）2＋k，解得： ，
∴，
∵BC∥x轴，
∴点A、C的纵坐标为3，
令，则，
解得：，
∴点A（1，3），
把点A（1，3）代入，得：
，解得： ，故①错误；
∵，且对称轴为直线x=2，
∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小，
∵，
∴，
∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为，
∴p＜n＜m，故②正确；
∵，
∴，
∵y1≥y2，
∴，
整理得：，
解得：或，故③错误；
∵，，
当x=0时，，，
∴点，
∴，故④正确；
∴正确的有②④．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
思想1 数形结合思想：数形结合通过“以形助数”和“以数解形”实现数学问题的转化，利用几何图形直观化数量关系，同时通过数值分析揭示几何特征。
针对训练6-1
1．如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②
③对任意实数均成立
④若点，在抛物线上，则有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解．
【详解】解：抛物线与轴相交于点，，
对称轴是直线．
．
．
又图象可得，，，
．
，故①错误．
在抛物线上，
．
又，
．
，故②错误．
对称轴是直线，且抛物线开口向上，
当时，取最小值为．
对应任意的，当时，函数值．
，故③正确．
抛物线开口向上，
抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又，
，故④错误．
综上，正确的有1个．
故选：A．
2．如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．①：根据二次函数的对称轴，，即可判断出；②：结合图象发现，当时，函数值大于0，代入即可判断；③：结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于0，因此将代入得，，即，故②错误；
∵，
∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0，
∴，
∴，故③正确；
∵二次函数的顶点坐标为，
∴设二次函数的解析式为，将代入得，，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴当或时，；
∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确；
综上所述，①③④均正确，故有3个正确结论，
故选B．
3．二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，分和两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解．熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，对称轴在轴左侧，
A和B选项不正确；
时，抛物线开口向下，一次函数经过第二、三、四象限，与轴正半轴的交于点，
C选项不正确；
时，抛物线开口向上，一次函数经过第一、二、三象限，与轴正半轴的交于点，
D选项正确．
故选：D．
题型6-2 二次函数中的数学思想—分类讨论思想
【例6-2】．已知抛物线的顶点坐标为．
(1)求b，c的值，并写出函数表达式；
(2)，在该抛物线上：
①当点M关于抛物线对称轴的对称点为N时，求M的坐标；
②若，当时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值．
【答案】(1)，，
(2)①；②或
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性质及二次函数的最值，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）利用顶点坐标公式代入求解即可；
（2）①利用对称性质求解即可；②先求出． 再分为（ⅰ）当时，
（ⅱ）当时，两种情况进行求解，进而解决问题．
【详解】（1）解：由题意得，，，
∴
∴二次函数为或．
（2）解：①由题意得，解得．
∴，
∴．
②∵，
∴，
∴．
（ⅰ）当时，当时函数取到最大值，最小值是9，
∴，
得，
（ⅱ）当时，当时函数取到最大值，时函数取到最小值，
∴，
∴，
∴
综上所述，m的值为或．
思想2 分类讨论思想：二次函数中的分类讨论思想主要围绕函数参数、对称轴与自变量取值范围的关系展开，通过分情况讨论解决最值、增减性等问题.
针对训练6-2
1．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
(1)当，时，求的值；
(2)当时，若对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
（1）当时，点的坐标为，根据抛物线上点的坐标特征得出，，根据题意求得，根据抛物线的性质即可求出；
（2）分为抛物线的对称轴在点的左侧和右侧两种情况进行分析，当抛物线的对称轴在点的左侧时，即时，根据抛物线的对称性求出点关于对称的点为，结合抛物线的性质得出点在的左侧，即，结合题意列出不等式，即可求出的取值范围是；当抛物线的对称轴在点的右侧时，即时，结合抛物线的性质得出点在的左侧，点在的左侧，结合题意列出不等式，即可求出的取值范围是；即可求解．
【详解】（1）解：当时，点的坐标为，
∵点，在抛物线上，
∴，．
又∵，
∴．
即，
∵抛物线的对称轴为，
故．
（2）解：分两种情况：
情况1：当抛物线的对称轴在点的左侧时，即时，
点关于对称的点为，
根据抛物线的对称性可得点也在抛物线上，
则；
∵，
∴抛物线开口向上，
故当时，随的增大而减小．
∵，
∴点在的左侧，
即，
∵时，都有成立，
∴，
解得；
又∵，
故的取值范围是；
情况2：当抛物线的对称轴在点的右侧时，即时，
，
∴抛物线开口向上，
故当时，随的增大而减小，
∵，
∴点在的左侧，
即，
∵时，都有成立，
∴，
解得，
又∵，
故的取值范围是．
综上，的取值范围是．
2．已知二次函数（）．
(1)若函数经过，求二次函数的解析式；
(2)若点，点均在函数图象上，求的值；
(3)当时，函数最大值为7，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的对称性和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；
（1）把点代入，求出m即可得解；
（2）由题意可得A、B两点关于抛物线的对称轴对称，求出抛物线的对称轴，进而求解；
（3）分与两种情况，根据抛物线的性质得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：把点代入，得
，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点，点均在函数图象上，
∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得：；
（3）解：当时，∵时，函数最大值为7，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，，
∴当时，函数取到最大值7，
即，
解得：；
当时，∵时，函数最大值为7，且抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，，
∴当时，函数取到最大值7，
即，
解得：；
综上：或．
3．平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．
(1)若轴，求抛物线的对称轴；
(2)点为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有．
①求a的取值范围；
②若，点，在抛物线上，当时，都有，求a的值．
【答案】(1)直线
(2)① 或②．
【分析】本题考查二次函数图象和性质、增减性，熟练掌握二次函数图象性质和利用不等式求参数的范围是解题的关键．
（1）根据轴，可得，由此得出点，点是关于抛物线的对称轴的对称，即可求出对称轴，
（2）①分和两种情况，根据二次增减性结合图象即可判断；②根据点到对称轴的距离小于到对称轴的距离，列不等式即可解得．
【详解】（1）解：∵轴，
∴的纵坐标与相同，即，
∴点，点是关于抛物线的对称轴的对称，
∴抛物线的对称轴为直线
（2）解：①∵抛物线经过点，
∴，
∴函数解析式为，
∴，
∴对称轴为，
I．当 时，开口向上，抛物线在A、B之间的部分图象位于对称轴右侧，随增大而增大，
最低点出现在端点时，，如图：
故当时，都有．
II．当时，开口向下，顶点为最高点，最低点出现在端点或，如图：
∴当时，，即：，解得：，
综上， 的取值范围为 或 ．
②当时，开口向下，点 和 在抛物线上，当时，都有，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
由①得 ．
∴时，当时，都有．
综上所述：当时，都有，．
典例精讲1
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典例精讲2
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典例精讲3
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典例精讲4
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典例精讲5
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典例精讲6
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