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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第二十二讲 图形的旋转
知识点梳理
知识点1图形的旋转及其相关概念
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.
要点诠释：
（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。
（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。
（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。
知识点2、旋转的性质
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
要点诠释：
（1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.
（2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关 键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.
（3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。
题型1 判断生活中的旋转现象
【例1】．有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是 ．
针对训练1
1．对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　）
A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移
C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称
2．将4张扑克牌按图1的方式放在桌面上，将其中1张扑克牌旋转了后得到图2，则被旋转过的扑克牌是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称
C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象
4．以下生活现象中，属于旋转变换得是（　　）
A. 钟表的指针和钟摆的运动
B. 站在电梯上的人的运动
C. 坐在火车上睡觉
D. 地下水位线逐年下降
题型2 找旋转中心、旋转角、对应点
【例2】．如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（ ）
A．顺时针， B．逆时针，
C．顺时针， D．逆时针，
针对训练2
1．如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ．
2．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是 点
3．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是 ．
4．如图，在等边三角形和等边三角形中，点在同一条直线上，经过旋转后能与△ 重合，旋转中心是 ，旋转了 ．
题型3 根据旋转的性质求解
【例3】．如图，把△绕点按逆时针方向旋转得到，交于点，已知．
(1)求的大小；
(2)求的大小．
针对训练3
1．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．在边长为6的菱形中，，将菱形绕点旋转，得到菱形，其中点落在的延长线上，那么的面积是
3．如图，在菱形中，，对角线，交于点，是上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到，且，连接，．
（1）的度数为 ；
（2）若是直角三角形，则的长为 ．
4．如图，把绕着A点按逆时针方向旋转得到，与交于点D点，若，求的度数．
题型4 根据旋转性质证明
【例4】．如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
针对训练4
1．如图．在正方形中，点E在边上．
(1)以A为中心，把按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形．
(2)设旋转后点E的对应点为F，连接，是什么三角形？
(3)若四边形的面积为25，，求的长．
2．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F．试判断与的位置关系，并说明理由．
3．【问题背景】
同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：
【操作探究】
（）如图，为等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接，是的中点，连接，求证：；
【迁移探究】
（）如图，将（）中的等边绕点逆时针旋转，得到，连接，是的中点，连接，求出此时的度数及与的数量关系．
4．如图，在中，，点D在上，连接，将绕点C按顺时针旋转后得．
(1)补充完成图形；
(2)若，试说明．
题型5 画旋转图形
【例5】．如图在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出将向左平移5个单位后得到的图形；
(2)画出将绕点按顺时针方向旋转后得到的图形，并直接写出四边形的形状_____________；
(3)在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标______________．
针对训练5
1．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)将先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到，画出．
(2)将绕点顺时针旋转，得到，画出．
(3)在所给的网格图中画图说明（可作简要说明）．
2．如图，的顶点坐标分别为，，．将绕原点顺时针度（）后得到，且点的对应点是，点B、C的对应点分别是．
(1)______；
(2)请在图中画出．
3．如图所示，是设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作．
(1)作出关于直线的轴对称图形；
(2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转；
(3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽．
4．（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图：
①过点画
②过点画，垂足为
（2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离；
（3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．）
题型6 求绕某点旋转90°的点的坐标
【例6】．如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时点的坐标是 ．
针对训练6
1．如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕C逆时针旋转后，A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将菱形绕其对角线的交点顺时针旋转后，再向左平移3个单位，则两次变换后点对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，放在平面直角坐标系中，其中，，．将先向左平移4个单位得到，再绕点的对应点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
能力提升 创新拓展
1．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为， 且a是64的立方根， b是36的算术平方根，点B在第一象限内， 点P从原点出发， 以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动．
(1)求点B的坐标； 当点P移动3.5秒时，求点P的坐标．
(2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
(3)在移动过程中，当的面积是10时，求点P移动的时间．
2．在平面直角坐标系中，O为原点，有四边形，顶点．
(1)填空：的长是______，的长是______；
(2)点M，N分别为四边形边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动的时间为t秒，的面积为S．
①当时，求S的值；
②当点M在线段上，且点N在线段上时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
(3)若，请直接写出此时t的值．（直接写出结果即可）
3．如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值．
2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第二十二讲 图形的旋转 （解析版）
知识点梳理
知识点1图形的旋转及其相关概念
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.
要点诠释：
（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。
（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。
（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。
知识点2、旋转的性质
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
要点诠释：
（1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.
（2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关 键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.
（3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。
题型1 判断生活中的旋转现象
【例1】．有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，解决本题的关键是根据旋转的定义进行判断即可．
【详解】解：时针的转动属于旋转；
摩天轮的转动属于旋转；
地下水位逐年下降属于平移，不是旋转；
传送带上的机器人属于平移，不是旋转．
故答案为： ．
针对训练1
1．对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　）
A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移
C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称
【答案】A
【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息．
根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可．
【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转．
故选：A．
2．将4张扑克牌按图1的方式放在桌面上，将其中1张扑克牌旋转了后得到图2，则被旋转过的扑克牌是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是旋转的性质，根据图形旋转的性质解答即可．
【详解】解：由图可知，将图1其中1张扑克牌旋转了后得到图形与图2相同，只有当梅花3被旋转过时才能出现这种情况．
故选：B．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称
C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象
【答案】C
【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转．
【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意；
B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意；
C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意；
D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
4．以下生活现象中，属于旋转变换得是（　　）
A. 钟表的指针和钟摆的运动
B. 站在电梯上的人的运动
C. 坐在火车上睡觉
D. 地下水位线逐年下降
【答案】A
【解析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；
B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；
C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；
D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；
故选：A．
题型2 找旋转中心、旋转角、对应点
【例2】．如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（ ）
A．顺时针， B．逆时针，
C．顺时针， D．逆时针，
【答案】A
【分析】本题主要考查了求旋转角和旋转方向，根据平角的定义求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵，点B、C、D在同一条直线上，
∴，
∴旋转方向和旋转角可能是顺时针，，
故选；A．
针对训练2
1．如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，解决本题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心．根据旋转的性质可知对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可．
【详解】解：如下图所示，
连接，，
分别作，的垂直平分线，
两条垂直平分线交于点，点即为旋转中心，
由图可知点的坐标为，
故答案为：．
2．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是 点
【答案】
【分析】本题考查了旋转图形的性质，，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键．
根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求
【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线，
，的垂直平分线的交点为，
旋转中心是点，
故答案为：．
3．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是 ．
【答案】C点
【分析】分别连接两个三角形的对应点，再分别作它们的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点，即为旋转中心，据此进行作答即可，本题考查了旋转中心，旋转性质，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解，连接，分别作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点在点，如图所示：
故点C为旋转中心，
故答案为：C点
4．如图，在等边三角形和等边三角形中，点在同一条直线上，经过旋转后能与△ 重合，旋转中心是 ，旋转了 ．
【答案】 60
【分析】本题考查找旋转中心，旋转角，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键，根据等边三角形的性质，得到，证明，得到，进而得到经过旋转后能与重合，点为旋转中心，旋转角为，即可得出结果．
【详解】解：∵等边三角形和等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴经过旋转后能与重合，点为旋转中心，旋转角为；
故答案为：，，60
题型3 根据旋转的性质求解
【例3】．如图，把△绕点按逆时针方向旋转得到，交于点，已知．
(1)求的大小；
(2)求的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查旋转的性质．
（1）由旋转得，，则可得；
（2）由旋转得，，，根据，，可得．
【详解】（1）解：∵绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴；
（2）解：∵绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴的大小为．
针对训练3
1．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由旋转可得：，由垂直可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：由旋转可得：，
于点，
，
，
故选：C．
2．在边长为6的菱形中，，将菱形绕点旋转，得到菱形，其中点落在的延长线上，那么的面积是
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，连接交于O，设交于F，由菱形的性质可得，，，则可得到，，；由旋转的性质可得，，则可证明三点共线，得到；证明，得到，则，据此根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接交于O，设交于F，
∵在边长为6的菱形中，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
由旋转的性质可得，，
∴，
∴三点共线，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．如图，在菱形中，，对角线，交于点，是上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到，且，连接，．
（1）的度数为 ；
（2）若是直角三角形，则的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质．
（1）由菱形的性质可得，，证明为等边三角形，得出，从而可得，求出，由旋转的性质可得，证明，得出，从而得出；
（2）由（1）知，若是直角三角形，分两种情况：当时，当时，分别求解即可．
【详解】解：（1）四边形是菱形，
，
，
，
即是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
将线段绕点逆时针旋转到，
．
，
，
又，
，
，
，
故答案为：．
（2）由（1）知，若是直角三角形，可分以下两种情况：
①当时，，
则，
；
②当时，，
则，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
4．如图，把绕着A点按逆时针方向旋转得到，与交于点D点，若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，再由三角形内角和定理求出，即可得解．
【详解】解：由旋转的性质可得：，，
∵，
∴，
∴．
题型4 根据旋转性质证明
【例4】．如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（）由旋转得，，进而由余角性质得，再根据判定方法即可求证；
（）根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，再利用勾股定理计算即可求解．
【详解】（1）证明：由旋转可得，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（）知，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
针对训练4
1．如图．在正方形中，点E在边上．
(1)以A为中心，把按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形．
(2)设旋转后点E的对应点为F，连接，是什么三角形？
(3)若四边形的面积为25，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】此题考查了正方形的性质 与旋转的性质 ， 注意掌握旋转前后图形的对应关系，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）利用正方形的性质，可画出旋转后的图形；
（2）由旋转的性质， 可得， ，即是等腰直角三角形；
（3）由旋转得， 所以四边形的面积为的面积，求得正方形的边长，根据勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）解：如图，即是旋转后的图形；
（2）解：是等腰直角三角形，
理由：∵以为中心，把按顺时针方向旋转得到，
∴， ，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：由旋转得，
∴四边形的面积，
∴，
∵，
．
2．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F．试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．由旋转的性质得出，证出，则可得出．
【详解】解：，理由如下：
∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．【问题背景】
同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：
【操作探究】
（）如图，为等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接，是的中点，连接，求证：；
【迁移探究】
（）如图，将（）中的等边绕点逆时针旋转，得到，连接，是的中点，连接，求出此时的度数及与的数量关系．
【答案】（）证明见解析；（），
【分析】（）由旋转的性质可得，三点共线，进而由是的中点得为的中位线，即可求证；
（）由等边三角形和旋转的性质得，，，即得，得到是等腰直角三角形，得，进而得，再根据等腰直角三角的性质得，即得到，即可求解．
【详解】（）证明：∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
即三点共线，
∵是的中点，
∴为的中位线，
∴；
（）解：∵为等边三角形，
∴，，
由旋转可得，，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
4．如图，在中，，点D在上，连接，将绕点C按顺时针旋转后得．
(1)补充完成图形；
(2)若，试说明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键；
（1）画出旋转后的即可；
（2）由平行线的性质可得出，根据旋转的性质可知，，结合即可得出，再根据三角形内角和定理即可求出结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：因为，
∴．
由旋转的性质可知：，，
∵，
∴，
∴．
题型5 画旋转图形
【例5】．如图在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出将向左平移5个单位后得到的图形；
(2)画出将绕点按顺时针方向旋转后得到的图形，并直接写出四边形的形状_____________；
(3)在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标______________．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析；平行四边形
(3)
【分析】本题考查了平移作图，画旋转图形，平行四边形的性质与判定，熟练掌握平移与旋转的性质以及平行四边形的性质是解题的关键；
（1）根据平移的性质找到对应点，顺次连接即可求解；
（2）根据旋转的性质，找到对应点，并顺次连接，得出，根据旋转的性质得，即可得出四边形是平行四边形，即可求解；
（3）根据平行四边形的性质，分为对角线，结合坐标系找到点，并写出点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
根据旋转的性质可得：
∴四边形是平行四边形
故答案为：平行四边形．
（3）如图，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为
故答案为： ．
针对训练5
1．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)将先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到，画出．
(2)将绕点顺时针旋转，得到，画出．
(3)在所给的网格图中画图说明（可作简要说明）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握平移性质，旋转性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．
（1）把A，B，C向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到，顺次连接各点即得，
（2）把A，B，C绕点顺时针旋转，得到，顺次连接各点即得；
（3）把点A绕点B逆时针旋转，得到点D，连接，则．
【详解】（1）解：如图，即所求．
（2）如图，即所求．
（3）如图把点A绕点B逆时针旋转，得到点D，连接，
则是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴．（答案不唯一）
2．如图，的顶点坐标分别为，，．将绕原点顺时针度（）后得到，且点的对应点是，点B、C的对应点分别是．
(1)______；
(2)请在图中画出．
【答案】(1)90
(2)见解析
【分析】本题考查了两点之间的距离公式，勾股定理的逆定理，旋转的性质．
（1）利用两点之间的距离公式求得三边的长，利用勾股定理的逆定理即可判断是等腰直角三角形，求得；
（2）根据旋转的性质作出图形即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
故答案为：90；
（2）解：如图，即为所求．
3．如图所示，是设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作．
(1)作出关于直线的轴对称图形；
(2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转；
(3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了画轴对称图形，画旋转图形；
（1）根据轴对称的性质找出对应点位置，顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质找出对应点位置，顺次连接即可；
（3）根据图形适当涂色即可．
【详解】（1）解：如图1所示：
（2）如图2所示：
（3）如图3所示：
4．（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图：
①过点画
②过点画，垂足为
（2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离；
（3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．）
【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）；（3）作图见解析
【分析】（1）①利用方格纸，取格点，连接即可，②利用方格纸，取格点，连接，与交于点，则即为所求；
（2）根据点到直线的距离和线段的定义即可求解；
（3）在射线的上方作即可．
【详解】解：（1）①如图，取格点，连接，
∵所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，
∴点向上平移3格，再向右平移2格与点重合，同时点向上平移3格，再向右平移2格与点重合，
即线段向上平移3格，再向右平移2格与线段重合，
∴，
则即为所作；
②如图，取格点，连接，与交于点，
在和中，
，，，
，，
即绕点顺时针旋转与重合，
∴绕点顺时针旋转与重合，
∴，
由①知：，
∴，即，
则即为所作．
（2）∵，
∴，
∴线段的长度表示点到的距离．
故答案为：．
（3）如图，在射线的上方作，
又∵，
∴
，
∴，
则射线即为所作．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，尺规作图，平移和旋转，点到直线的距离，角的计算，垂直的判定．解题的关键是掌握基本的作图方法和相关定义及性质．
题型6 求绕某点旋转90°的点的坐标
【例6】．如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，点的坐标旋转规律，正确找到规律是解题的关键．
先利用勾股定理求出点的坐标，再根据题意得到规律每秒为一个循环，点回到起始位置，则第秒点的位置与第秒点的位置相同，即相当于把点绕点逆时针旋，由此求解即可．
【详解】解：设点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴（正值舍去），
∴，
∵将绕点逆时针旋转，每秒旋转，
∴每秒为一个循环，点回到起始位置，
∵，
∴第秒点的位置与第秒点的位置相同，即相当于把点绕点逆时针旋转，
如下图，
∴此时点的对应点坐标为，
故答案为：．
针对训练6
1．如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕C逆时针旋转后，A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可．
【详解】解：由题意，画图如下：
由图可知：A的对应点的坐标为；
故选：D．
2．如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，求平面直角坐标系内点的坐标，
先作轴，轴，根据题意可知，可得，再证明，可得，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
过点A，B作轴，轴，交x轴于点D，E，
∵点，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点．
故选：A．
3．如图，将菱形绕其对角线的交点顺时针旋转后，再向左平移3个单位，则两次变换后点对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形变化—旋转和平移，先求出菱形绕其对角线的交点为，旋转得到点的对应点为，再根据点的平移：左减右加，上加下减即可得出结果．
【详解】解：由图和题意可知，，
设菱形的对角线的交点为，则：为点的中点，
∴，
∴，
设旋转后点的对应点为，则：，
∴，
将再向左平移3个单位，得到，即：；
故选C．
4．如图，放在平面直角坐标系中，其中，，．将先向左平移4个单位得到，再绕点的对应点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键，根据平移变换，旋转变换的性质画出图像即可解决问题．
【详解】解：如图所示：
观察图像可知：
故选：D．
能力提升 创新拓展
1．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为， 且a是64的立方根， b是36的算术平方根，点B在第一象限内， 点P从原点出发， 以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动．
(1)求点B的坐标； 当点P移动3.5秒时，求点P的坐标．
(2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
(3)在移动过程中，当的面积是10时，求点P移动的时间．
【答案】(1)点B的坐标为，点P的坐标为
(2)P移动时间为2秒或6秒
(3)点P移动时间为秒，秒，秒或秒
【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义可求出a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点b的坐标，根据题意点p从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动3.5秒时，点P的位置和点P的坐标；
（2）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可；
（3）分为点P在上分类计算即可．
【详解】（1）解：a是64的立方根， b是36的算术平方根，
，，
，
点B的坐标为，
当点P移动3.5秒时，点P运动的路程为，
根据题意可知，，
此时P在上运动，且，
此时点P的坐标为；
（2）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时存在两种情况，
若点P在边上时，运动时间为；
若点P在边上时，运动时间为，
P移动时间为2秒或6秒；
（3）
如图所示，，
，
，
；
如图所示，，
，
，
；
如图所示，，
，
，
；
如图所示，，
，
，
；
综上所述，点P移动时间为秒，秒，秒或秒．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
2．在平面直角坐标系中，O为原点，有四边形，顶点．
(1)填空：的长是______，的长是______；
(2)点M，N分别为四边形边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动的时间为t秒，的面积为S．
①当时，求S的值；
②当点M在线段上，且点N在线段上时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
(3)若，请直接写出此时t的值．（直接写出结果即可）
【答案】(1)10，6
(2)①；②
(3)或8或
【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）①如图中， 作轴于，连接，当时，点与重合，求的面积；
②如图中， 当时，点在线段上，，作于， 于，则，由， 推出 即，可得，由此即可解决问题；
（3）分三种情形①当点在边长上，点在上时；②如图中，当、在线段上相遇之前，作于， 则，列出方程即可解决问题；③同法当、在线段上相遇之后，列出方程即可；
【详解】（1）解：在中， ，
，
∴，
故答案为： ， ；
（2）①解：如图， 作轴于，连接，
，
，
在中，，
当时，点与重合，，
，即，
②如图中，设点的纵坐标为，当点在线段上，，作于， 于，则，
，
，
∵，
，
，
∵点在线段上，
，
；
（3）解：①当点在边上， 点在上时， ，
解得(负根已经舍弃)；
②如图3中，当、在线段上，相遇之前，
作于E， 则，
由题意得，
解得
同法当、在线段上，相遇之后，
由题意得，
解得 ，
综上所述，若，此时的值或或
【点睛】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.
3．如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值．
【答案】(1)，
(2)是等腰直角三角形
(3)
【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，；
（2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立；
（3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：是等腰直角三角形．
理由如下：由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接，
∵，
∴当点三点共线时，最大，
如图：
最大时，的面积最大，
最大，
在中，，，
∴由勾股定理得：，
∵点M为中点，
，
在中，，同上可求，
，
同上可得：，
∴，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
典例精讲1
典例精讲2
典例精讲3
典例精讲4
典例精讲5
典例精讲6
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