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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第二十三讲 中心对称
知识点梳理
知识点1 中心对称
把一个图形绕某一个点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
1）这个点叫做对称中心.
2）这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
要点诠释：
中心对称与旋转、轴对称的区别联系
（1）旋转和中心对称的联系与区别
轴对称和中心对称的联系与区别
知识点2 中心对称的性质
1)中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心所平分.
2)中心对称的两个图形是全等形.
要点诠释：
性质的关键
1.对称点连线 ：对称点连线经过对称中心且被平分。
2.对应线段 ：对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.图形全等 ：中心对称的两个图形是全等形
知识点3 画已知图形关于某一点的成中心对称的图形
作图的基本步骤：
1.作点的中心对称：先连接点和对称中心，然后延长一倍；
2.做图形的中心对称：先确定好图形的特殊点（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心等），再作特殊点的对称点，然后顺次连接.
要点诠释：
1.关键技巧
特殊点优先 ：通过顶点、边中点等特殊点快速定位对称关系，简化作图。
利用网格辅助 ：在方格纸中，通过等距离连线快速找到对称点，尤其适用于规则图形（如正方形、三角形）。
对称中心位置 ：对称中心不一定在图形内部，但对称点连线必过该点且被平分。
2.注意事项
确保所有对称点连线均通过对称中心且等长，避免遗漏或错误连接。
复杂图形可分解为简单图形（如多边形分割为三角形）分别处理，再组合对称结果。
题型1 成中心对称
例1．如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．

(1)E是线段的 ，点A与点F关于点 成中心对称；
(2)若，求证：是等腰三角形．
针对训练1
1．如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的4组图形中，成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，，点是上一点，点与点关于点成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点，证明：点与点关于点成中心对称．
题型2 画已知图形关于某点对称的图形
例2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出向左平移4格，向下平移1格后的；
(2)画出绕点O顺时针方向旋转后得到的；
(3)画出关于原点O成中心对称的．
针对训练2
1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都是格点．
(1)将绕点逆时针旋转得到；
(2)作关于点成中心对称的；
(3)四边形的面积为________．
2．作图题．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

(1)如图，在直线上找一点O修建加油站，使加油站到公路和公路的距离相等，请用尺规作图法确定这个加油站O的位置．
(2)如图，作出关于点A成中心对称的图形．
3．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)作出关于坐标原点成中心对称的．
(2)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则该旋转中心的坐标为_____．
(3)设为轴上的一个动点，当取得最小值时，点的坐标为_____．
题型3 画两个图形的对称中心
例3．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把 向上平移4个单位长度得到．
(1)画出和；
(2)与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是_______；
(3)已知点P在格点上，若，请问这样的点P有______个．（点P异于点C）
针对训练3
1．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．如图，有一矩形纸片，，点为边上一个动点，将纸片沿折叠，点的对应点为点．点关于点的对称点为，连接交于点，连接并延长交于点．
（1）若，则 ；
（2）点到的距离最小值为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．
(1)在图中作出关于y轴对称的图形；
(2)若与关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ；
(3)在y轴上找一点Q，使得最小，并写出Q点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
题型4 根据中心对称的性质求长度
例4．已知抛物线与轴交于点．
(1)求证：抛物线与轴有两个交点．
(2)设抛物线与轴交于点，，且点在点的左侧，点的坐标为．
①若，求的取值范围．
②抛物线与关于点中心对称，与轴的另一个交点为点，问是否存在，使为直角三角形？若存在，请求出所有可能的的值；若不存在，请说明理由．
针对训练4
1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的；
(2)画出关于原点对称的；
(3)观察图形可知，与关于点______中心对称．
(4)若是边上的任意一点，则其在边上的对应点的坐标为______．
2．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，求的度数和的长度．
3．如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，求证：四边形是菱形．
题型5 根据中心对称的性质求角度
例5．如图，与成中心对称，点O是它们的对称中心，若，，求的度数和的长度．
针对训练5
1．点O是矩形的对称中心，连接、，若，则的度数是 °．
2．如图，与关于点O成中心对称，若，，求的长度和的度数．
3．如图，四边形与四边形关于点O成中心对称，，，求的度数和的长度．
题型6 根据中心对称的性质求面积
例6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，点关于原点的对称点为．
(1)若以为一边向上作一个等边三角形，直接写出点的坐标．
(2)求（）中的三角形的周长和面积．
针对训练6
1．如图，在平而直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点O顺针旋转90°，得．
(1)某抛物线经过点、B、，求该抛物线的解析式；
(2)求的面积．
2．如图，矩形和矩形关于点D中心对称，已知，，求阴影部分的面积．
3．如图，长方形各顶点的坐标分别为、、、，长方形各顶点的坐标分别为、、、．平移长方形得到长方形，且点的坐标为．

(1)画出长方形．
(2)如果长方形沿的方向平移，至与重合停止，设平移过程中平移的距离为，长方形与长方形重叠的面积为S，请直接写出平移过程中S的最大值______；此时d的取值范围为______．
(3)画出一条直线把原图长方形与长方形组成的复合图形分成面积相等的两部分．
创新拓展能力提升
1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(1，1)．
(1)试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；
(2)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标____________；
(3)请在x轴上找一点D得到 ACDB，则点D的坐标为________，若直线y=x+b平分 ACDB的面积，则b=_______．
2．已知抛物线经过点．点在这个抛物线上，当点不在轴上时，过点作轴于点，作线段关于坐标原点成中心对称的线段，设点的横坐标为．
(1)求此抛物线对应的函数解析式；
(2)当线段与线段在同一条直线上时，求线段的长度；
(3)当点在轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求的取值范围；
(4)作平行四边形．当边与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点为顶点构造三角形的面积是面积的一半，直接写出的值．
3．在平面直角坐标系中，已知点，N；对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
(1)如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”．
①当N坐标为，在图中画出点Q，连接，交线段于点T，求的值；
②当N为线段延长线上任意一点，连接，交线段于点T，是否为定值？
(2)的半径为t，M是上一点，点N在线段上，若点N与点O重合，P为外一定点，点Q为点P的“对应点”．当点M在上运动时，直接写出点Q所构成的图形的面积（用含t的式子表示）．
2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第二十三讲 中心对称 （解析版）
知识点梳理
知识点1 中心对称
把一个图形绕某一个点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
1）这个点叫做对称中心.
2）这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
要点诠释：
中心对称与旋转、轴对称的区别联系
（1）旋转和中心对称的联系与区别
轴对称和中心对称的联系与区别
知识点2 中心对称的性质
1)中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心所平分.
2)中心对称的两个图形是全等形.
要点诠释：
性质的关键
1.对称点连线 ：对称点连线经过对称中心且被平分。
2.对应线段 ：对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.图形全等 ：中心对称的两个图形是全等形
知识点3 画已知图形关于某一点的成中心对称的图形
作图的基本步骤：
1.作点的中心对称：先连接点和对称中心，然后延长一倍；
2.做图形的中心对称：先确定好图形的特殊点（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心等），再作特殊点的对称点，然后顺次连接.
要点诠释：
1.关键技巧
特殊点优先 ：通过顶点、边中点等特殊点快速定位对称关系，简化作图。
利用网格辅助 ：在方格纸中，通过等距离连线快速找到对称点，尤其适用于规则图形（如正方形、三角形）。
对称中心位置 ：对称中心不一定在图形内部，但对称点连线必过该点且被平分。
2.注意事项
确保所有对称点连线均通过对称中心且等长，避免遗漏或错误连接。
复杂图形可分解为简单图形（如多边形分割为三角形）分别处理，再组合对称结果。
题型1 成中心对称
例1．如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．

(1)E是线段的 ，点A与点F关于点 成中心对称；
(2)若，求证：是等腰三角形．
【答案】(1)中点，E
(2)见解析
【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称．
（1）利用中心对称的性质回答即可，
（2）证得，利用等腰三角形的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段的中点，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
故答案为：中点，E；
（2）证明：∵，
∴，
∴是等腰三角形．
针对训练1
1．如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、绕点旋转后，能够与原图形重合，故成中心对称，符合题意；
B、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意；
C、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意；
D、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意；
故选：A．
2．如图所示的4组图形中，成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了成轴对称图形和成中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握这两个概念，并加以区分．
利用成轴对称图形和成中心对称图形的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A.选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意；
B. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意；
C. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意；
D. 选项图形是成轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
3．如图，在四边形中，，点是上一点，点与点关于点成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点，证明：点与点关于点成中心对称．
【答案】见解析
【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
证明得，，即可得证．
【详解】证明：点与点关于点中心对称，
是线段的中点，即，
，
，
在与中，
，
，
，，
点与点关于点成中心对称．
题型2 画已知图形关于某点对称的图形
例2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出向左平移4格，向下平移1格后的；
(2)画出绕点O顺时针方向旋转后得到的；
(3)画出关于原点O成中心对称的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换、中心对称，熟练掌握平移、旋转、中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）将三个顶点向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）将点A，B，C绕点O顺时针旋转得到点、、，再首尾顺次连接得出图形，然后写出坐标即可．
（3）作出A、B、C关于原点对称的对应点，，，顺次连接即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图所示，即为所求；
针对训练2
1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都是格点．
(1)将绕点逆时针旋转得到；
(2)作关于点成中心对称的；
(3)四边形的面积为________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】本题考查了画旋转图形、画中心对称图形、平行四边形的性质与判定，根据题意正确作图是解题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据中心对称的性质作图即可；
（3）根据中心对称的性质证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，即为所求：
（3）解：如图，
由中心对称的性质可得，，，
四边形是平行四边形，
平行四边形的面积为．
故答案为：8．
2．作图题．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

(1)如图，在直线上找一点O修建加油站，使加油站到公路和公路的距离相等，请用尺规作图法确定这个加油站O的位置．
(2)如图，作出关于点A成中心对称的图形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了作图-角平分线以及旋转旋转，掌握角平分线的性质，中心旋转的性质是解决本题的关键．
（1）作的角平分线与交于点O，根据角平分线的性质可得点O到公路和公路的距离相等．
（2）根据中心对称变换的性质分别作出的对应点即可．
【详解】（1）解：如图，点O即为所求．
（2）如图，即为所求．
3．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)作出关于坐标原点成中心对称的．
(2)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则该旋转中心的坐标为_____．
(3)设为轴上的一个动点，当取得最小值时，点的坐标为_____．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查旋转变换，中心对称变换，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是掌握中心对称变换，旋转变换的性质，正确作出图形．
（1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点即可．
（2）两组对应点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，点即为旋转中心，
故答案为：；
（3）解：如图，点P的坐标为．
故答案为：．
题型3 画两个图形的对称中心
例3．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把 向上平移4个单位长度得到．
(1)画出和；
(2)与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是_______；
(3)已知点P在格点上，若，请问这样的点P有______个．（点P异于点C）
【答案】(1)图见解析
(2)
(3)6
【分析】本题考查坐标与图形变换—中心对称和平移，熟练掌握中心对称和平移的性质，是解题的关键：
（1）根据中心对称的性质，平移的性质，画出图形即可；
（2）根据成中心对称对称的特点，连接，交点即为对称中心；
（3）利用平移思想，画出满足题意的点，判断即可．
【详解】（1）解：如图，和即为所求；
（2）由图可知：对称中心的坐标是；
（3）如图，由图可知，符合条件的点共有6个；
针对训练3
1．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可．
【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点，
∴若与关于某个点对称，则这个点是点，
故选：A．
2．如图，有一矩形纸片，，点为边上一个动点，将纸片沿折叠，点的对应点为点．点关于点的对称点为，连接交于点，连接并延长交于点．
（1）若，则 ；
（2）点到的距离最小值为 ．
【答案】 17 /
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，得到，进而得到，角的和差关系求出的度数，连接，推出为等腰直角三角形，三线合一结合勾股定理求出的长，折叠得到点在以点为圆心，以为半径的弧上运动，进而得到点到的距离最小值为，即可．
【详解】解：（1）在矩形中，，，
∵点，关于点对称，
，，
，
，
，
，
；
故答案为：17；
（2）连接，如图．
由（1）得
为等腰直角三角形，
又由知，
，
，
，
由折叠知，
∴点在以点为圆心，以为半径的弧上运动，
点到的距离最小值为．
故答案为：．
3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．
(1)在图中作出关于y轴对称的图形；
(2)若与关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ；
(3)在y轴上找一点Q，使得最小，并写出Q点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)点Q即为所求，
【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）由题意确定点，，的位置，再连线即可；
（2）根据中心对称的性质求解即可；
（3）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴的交点即为所求的点Q．
【详解】（1）解：如图所示：
∴即为所求；
（2）解：由与关于点P成中心对称，如图所示，则B与E是对称点，
∵，，
∴P点的横坐标为，纵坐标为，即点P的坐标为，
故答案为：；
（3）如图所示：
∴点Q即为所求，．
题型4 根据中心对称的性质求长度
例4．已知抛物线与轴交于点．
(1)求证：抛物线与轴有两个交点．
(2)设抛物线与轴交于点，，且点在点的左侧，点的坐标为．
①若，求的取值范围．
②抛物线与关于点中心对称，与轴的另一个交点为点，问是否存在，使为直角三角形？若存在，请求出所有可能的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①或；②存在，使为直角三角形，的值为2或或6
【分析】（1）令，求得值，利用即可得出结论；
（2）①令，解方程即可得到点A，B的坐标，由，利用勾股定理求得点A的大致位置，列出关于a的不等式求得a的取值范围即可；
②利用分类讨论的思想方法，依据勾股定理列出a的方程解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：令，则，
，
抛物线与轴有两个交点；
（2）解：①令，
则，
整理，得，
解得，，
与轴交于，，且点在点的左侧，
，，
即，，
，
点的坐标为，
，
当时，，
此时点的坐标为或，
，
点在点和它的右侧或在和它的左侧，
或，
或，
或，
，
，
即或；
②存在，使为直角三角形，的值为2或或6，
由①知，，，
抛物线与关于点中心对称，与轴的另一个交点为点，
点与点关于点对称，
，
，
点的坐标为，
，
，，
分以下三种情况：
当时，则，
，
，
；
当时，则点与原点重合，
，
；
当时，则点与原点重合，
，
，
综上，存在，使为直角三角形，的值为2或或6．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的联系，抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式，轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理，抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键
针对训练4
1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的；
(2)画出关于原点对称的；
(3)观察图形可知，与关于点______中心对称．
(4)若是边上的任意一点，则其在边上的对应点的坐标为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】此题考查了平移和中心对称的作图，中点坐标公式，准确作图是关键．
（1）找到向左平移4个单位后得到对应点，顺次连接即可；
（2）找到关于原点对称的，顺次连接即可；
（3）根据图形得到答案即可．
（4）结合由（3）得出与关于点中心对称，且运用中点坐标公式进行列式化简，即可作答．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）观察图形可知，与关于点中心对称．
故答案为：
（4）解：由（3）得出与关于点中心对称．
当是边上的任意一点，设则其在边上的对应点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
即其在边上的对应点的坐标为．
故答案为：．
2．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，求的度数和的长度．
【答案】
【分析】本题主要考查了中心对称的性质，根据成中心对称的性质：成中心对称的两个图形对应边相等，对应角相等求解即可．
【详解】解：四边形ABCD与四边形关于点成中心对称，
．
3．如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定．
（1）根据中心对称图形的性质得到，，推出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）连接．先证得四边形是平行四边形，求得，得到，推出四边形是菱形．推出，即可证明四边形是菱形．
【详解】（1）证明：和关于点O成中心对称，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，
和关于点O成中心对称，
B，O，F三点共线，，
四边形是平行四边形，
，
，
即，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
又四边形是平行四边形，
是菱形．
题型5 根据中心对称的性质求角度
例5．如图，与成中心对称，点O是它们的对称中心，若，，求的度数和的长度．
【答案】，
【分析】本题主要考查了中心对称的性质．解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质．中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对称线段共线或平行．根据中心对称的性质求解即可．
【详解】∵与成中心对称，点O是它们的对称中心，
∴，．
针对训练5
1．点O是矩形的对称中心，连接、，若，则的度数是 °．
【答案】70
【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解．
【详解】解：如图，
∵点O是矩形的对称中心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为70．
2．如图，与关于点O成中心对称，若，，求的长度和的度数．
【答案】2，．
【分析】本题主要考查了中心对称的性质．解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质．中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对称线段共线或平行．根据中心对称的性质求解即可．
【详解】解：∵与关于点O成中心对称，
∴，
∴，．
3．如图，四边形与四边形关于点O成中心对称，，，求的度数和的长度．
【答案】，
【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形与四边形关于点O成中心对称，
∴，．
题型6 根据中心对称的性质求面积
例6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，点关于原点的对称点为．
(1)若以为一边向上作一个等边三角形，直接写出点的坐标．
(2)求（）中的三角形的周长和面积．
【答案】(1)；
(2)的周长为，面积为．
【分析】（）由对称可得，得到，由等边三角形的性质可得点在轴的正半轴上，，利用勾股定理求出即可得到点的坐标；
（）根据（）中所求即可求解．
【详解】（1）解：∵点的坐标，点关于原点的对称点为，
∴，
∴，
∵是以为一边向上作的一个等边三角形，
∴点在轴的正半轴上，，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：∵，
∴的周长为，
．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，正确求出点坐标是解题的关键．
针对训练6
1．如图，在平而直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点O顺针旋转90°，得．
(1)某抛物线经过点、B、，求该抛物线的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形、待定系数法求函数解析式、三角形面积等知识点，掌握运用待定系数法求函数解析式成为解题的关键．
（1）根据坐标与图形以及旋转的性质可得，即，然后再运用待定系数法求解即可；
（2）先求得，然后再运用三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵将三角板绕原点O顺针旋转90°得得，
∴，，
∴，
设抛物线的解析式为：，
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
2．如图，矩形和矩形关于点D中心对称，已知，，求阴影部分的面积．
【答案】24
【分析】本题考查了中心对称的性质、矩形的性质，熟练掌握中心对称的性质、矩形的性质是解题的关键．
利用中心对称图形和矩形的性质得出，，且，进而计算求解即可．
【详解】解：∵矩形和矩形关于点D中心对称，
∴，，且，
∴，
∴．
3．如图，长方形各顶点的坐标分别为、、、，长方形各顶点的坐标分别为、、、．平移长方形得到长方形，且点的坐标为．

(1)画出长方形．
(2)如果长方形沿的方向平移，至与重合停止，设平移过程中平移的距离为，长方形与长方形重叠的面积为S，请直接写出平移过程中S的最大值______；此时d的取值范围为______．
(3)画出一条直线把原图长方形与长方形组成的复合图形分成面积相等的两部分．
【答案】(1)见解析
(2)4；
(3)见解析
【分析】（1）通过点和点的坐标，明确长方形平移的方式，从而可画出长方形．
（2）通过分析可知当长方形完全在长方形中时，面积取到最大值，即可求出最大和的取值范围．
（3）根据中心对称图形的性质，矩形是中心对称图形，对称中心在对角线的交点上，过它的对称中心的直线可将它的面积分为相等的两部分，连接两个矩形的对称中心，即可作出图形．
【详解】（1）解：由题意知，长方形向右平移了四个单位长度，向上平移了四个单位长度得到长方形，作图如下：
．
（2）由题意知，，，
当长方形完全在长方形中时，重合面积最大，为；
当时，长方形完全进入长方形；
当时，长方形开始离开长方形，
所以当时，取最大值为4．
故答案为：4；．
（3）画图如下：
【点睛】本题主要考查了图象的平移，中心对称图形的性质．解题的关键是明确平移的方式．另外，应区别开平移点和平移图形的规律．
创新拓展能力提升
1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(1，1)．
(1)试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；
(2)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标____________；
(3)请在x轴上找一点D得到 ACDB，则点D的坐标为________，若直线y=x+b平分 ACDB的面积，则b=_______．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析，B2(－5，－2)
(3)(3，0)，6
【分析】（1）分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1即可解答；
（2）根据中心对称的坐标特征：横纵坐标互为相反数；求得A2、B2、C2的坐标即可；
（3）C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，即可得到点D（3，0）；求出平行四边形ACDB的中心坐标，根据中心对称图形的性质可得直线y经过中心坐标，进而求得b；
【详解】（1）解：如图，分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1，
连接相应顶点得△A1B1C即为所求；
（2）解：∵A（3，3），B（5，2），C（1，1），
∴A、B、C关于原点的对称点坐标为：A2（-3，-3），B2（-5，-2），C2（-1，-1），
如图，△A2B2C2即为所求，
（3）解：如图，C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点D（3，0），连接相应顶点，四边形ACDB为平行四边形；
∵A点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点B，
∴BD可由AB平移得到，即BD∥AB，BD=AB，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∵C（1，1），B（5，2），平行四边形是中心对称图形，
∴平行四边形ACDB的中心坐标为（3，），
如图所示，当直线y经过平行四边形中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等，
∴（3，）代入直线y=x+b，可得b=6；
【点睛】本题考查了图形旋转，中心对称图形的性质，坐标的平移和对称变换，平行四边形的判定和性质；掌握中心对称图形的性质是解题关键．
2．已知抛物线经过点．点在这个抛物线上，当点不在轴上时，过点作轴于点，作线段关于坐标原点成中心对称的线段，设点的横坐标为．
(1)求此抛物线对应的函数解析式；
(2)当线段与线段在同一条直线上时，求线段的长度；
(3)当点在轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求的取值范围；
(4)作平行四边形．当边与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点为顶点构造三角形的面积是面积的一半，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或；
(4)或．
【分析】（1）直接把点代入抛物线中，求出，再代回即可；
（2）由线段与线段关于原点对称且在同一条直线上可得和在轴上，且关于原点对称，将代入表达式中即可求出；
（3）用含有的式子表示点，根据与原点对称表示点，根据作图的三种情况求出的取值范围；
（4）由题意可知，若以这两个公共点和点为顶点构造三角形的面积是面积的一半，则两个交点的距离恰好是这条边的一半，所以点为的中点，即点恰好是抛物线与轴的交点，则，解出的值即可．
【详解】（1）解：将点代入抛物线中得：
，解得：，
此抛物线对应的函数解析式是；
（2）线段与线段在同一条直线上，
和在轴上，
点的坐标为，
将代入中得：，
解得，，
或，
线段的长度为或；
（3）由题意可知，，抛物线与轴交点坐标为，顶点坐标为，
点在轴左侧，
，
如图一，此时线段与抛物线恰有一个公共点，则，解得：（舍去），；
当向下移动到如图二所示位置时，线段与抛物线恰有2个公共点，则，解得：（舍去），；
当经过抛物线顶点时，如图三，此时与抛物线恰有一个公共点，则，解得：（舍去），，
线段与此抛物线有且只有一个公共点时，的取值范围为或；
（4）由题意可知，若以这两个公共点和点为顶点构造三角形的面积是面积的一半，则两个交点的距离恰好是这条边的一半，
如图四：点为的中点，即点恰好是抛物线与轴的交点，
，
解得，，
点为的中点，
，
或，
即或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，正确的求出函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，已知点，N；对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
(1)如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”．
①当N坐标为，在图中画出点Q，连接，交线段于点T，求的值；
②当N为线段延长线上任意一点，连接，交线段于点T，是否为定值？
(2)的半径为t，M是上一点，点N在线段上，若点N与点O重合，P为外一定点，点Q为点P的“对应点”．当点M在上运动时，直接写出点Q所构成的图形的面积（用含t的式子表示）．
【答案】(1)①图见解析，，②是定值
(2)
【分析】（1）①根据定义求出点，点Q的坐标，画出图形，连接，证明四边形是平行四边形，可得结论；
②设，求出点坐标，进而求出直线的解析式，进而求出的坐标，求出的值即可；
（2）连接并延长至点，使，连接 ，推出点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，可得结论．
【详解】（1）①解：
是由点向右平移 个单位长度，再向上平移个单位长度得到的；
，
，
的横坐标为： ；纵坐标为：，，
，
图形如图1所示：
连接，交线段于点，
连接．
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
②∵，则：直线的解析式为：，
设，
∵，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，
∴，
∴，
联立，解得：，
∴，
∴，
∴为定值；
（2）解：连接并延长至点，使，连接 ，如图：
由的定义可知：
关于点 对称
点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆
点的轨迹构成的图形的面积为：
【点睛】本题坐标与图形，中心对称，一次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平移与中心对称的性质是解题的关键．
典例精讲1
典例精讲2
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