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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第二十四讲 中心对称图形
知识点梳理
知识点1 中心对称图形
如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对称点。
要点诠释：中心对称与中心对称图形的关系
知识点2 中心对称图形的性质
中心对称图形上每一对对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
要点诠释：
1.对称中心性质
对称中心平分图形内任意通过该点的线段，并将图形面积二等分。
对称点连线均经过对称中心，且被对称中心平分。
2.全等与对应关系
中心对称的两个图形全等（形状与大小完全相同）。
对应线段平行（或在同一直线上）且长度相等。
3.图形特征
图形绕对称中心旋转180°后与原图重合。
中心对称图形是单一图形自身具有的对称性，而非两个图形间的位置关系。
知识点3 中心对称图形的作图
作图的基本步骤：
1.作点的中心对称：先连接点和对称中心，然后延长一倍；
2.做图形的中心对称：先确定好图形的特殊点（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心等），再作特殊点的对称点，然后顺次连接.
要点诠释：
旋转角度固定为180°，避免混淆轴对称与中心对称；
复杂图形可结合代数法（坐标变换）或几何法（全等三角形）辅助作图
题型1 中心对称图形的识别
例1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
针对训练1
1．春节期间，人工智能温情相伴，智能语音助手化身为贴心伙伴，播放喜庆的春节歌谣，讲述有趣的年俗故事．下列软件图标是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
题型2 判断中心对称图形的对称中心
例2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
(1)作出绕点顺时针旋转后的图形；
(2)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为___________．
针对训练2
1．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点 ．
2．图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的；
(2)画出关于原点对称的；
(3)观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标）
题型3 中心对称图形性质的应用
例3．如图所示，在的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：
(1)图①中所画的三角形与组成的图形是轴对称图形．
(2)图②中所画的三角形与组成的图形是中心对称图形．
(3)图③中所画的三角形与的面积相等，但不全等．
针对训练3
1．如图所示，在的正方形网格中，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形．
2．如图，已知的顶点A，B，C在格点上，在网格中按下列要求作图：
(1)将绕点C逆时针旋转得到；
(2)作出与关于点O成中心对称的；
(3)的面积为_________．
3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
(1)在图1中画一个，使；
(2)在图2中画一个以点O为对称中心，A，B为顶点的；
(3)图2中的面积为_______．
题型4 中心对称图形的规律问题
例4．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（ ， ）
针对训练4
1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是( )
A． B． C． D．
2．如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
创新拓展能力提升
1．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合函数图像研究函数性质的过程．以下是我们研究函数的图象、性质与应用的部分过程，请按要求完成以下各小题．
（1）请把下表补充完成，并根据表中数据在平面直角坐标系中描点，连线，画出该函数图象．
x … -4 -3.5 -3 -2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 3 3.5 4 …
y … -1 1 0 -1 1
（2）根据函数图像，判断下列关于该函数及其性质的说法是否正确，正确的请在答题卡上对应的括号内打“√”，错误的请在答题卡上对应的括号内打“×”．
①该函数的自变量的取值范围是x≠士2；（ ）
②该函数图像是中心对称图形，对称中心是原点；（ ）
③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小；（ ）
（3）已知函数 的图像如图所示，结合函数图像，请直接写出方程 的解；（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
2．如图，在平面直角坐标系中，，
(1)请在图中作出点关于点的对称点，并求出的坐标．
(2)若点与原点重合，以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为__________．
(3)若点在直线上运动，以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，则线段的最小值为__________．
3．图①，图②，图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1．线段AB的端点均在格点上． 按要求在图①，图②，图③中画图．
（1）在图①中，以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点；
（2）在图②中，以线段AB为斜边画一个直角三角形，使其面积为2，且直角的顶点为格点；
（3）在图③中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两个顶点均为格点.

4．若二次函数与的图象关于点成中心对称图形，我们称与互为“中心对称”函数．
(1)求二次函数的“中心对称”函数的解析式；
(2)若二次函数的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式．
(3)二次函数的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，且四边形为矩形，求的值．
2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第二十四讲 中心对称图形 （解析版）
知识点梳理
知识点1 中心对称图形
如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对称点。
要点诠释：中心对称与中心对称图形的关系
知识点2 中心对称图形的性质
中心对称图形上每一对对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
要点诠释：
1.对称中心性质
对称中心平分图形内任意通过该点的线段，并将图形面积二等分。
对称点连线均经过对称中心，且被对称中心平分。
2.全等与对应关系
中心对称的两个图形全等（形状与大小完全相同）。
对应线段平行（或在同一直线上）且长度相等。
3.图形特征
图形绕对称中心旋转180°后与原图重合。
中心对称图形是单一图形自身具有的对称性，而非两个图形间的位置关系。
知识点3 中心对称图形的作图
作图的基本步骤：
1.作点的中心对称：先连接点和对称中心，然后延长一倍；
2.做图形的中心对称：先确定好图形的特殊点（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心等），再作特殊点的对称点，然后顺次连接.
要点诠释：
旋转角度固定为180°，避免混淆轴对称与中心对称；
复杂图形可结合代数法（坐标变换）或几何法（全等三角形）辅助作图
题型1 中心对称图形的识别
例1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
针对训练1
1．春节期间，人工智能温情相伴，智能语音助手化身为贴心伙伴，播放喜庆的春节歌谣，讲述有趣的年俗故事．下列软件图标是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形，
根据定义逐项判断即可，将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形．
【详解】解：因为图①是中心对称图形，符合题意；
因为图②是中心对称图形，符合题意；
因为图③是中心对称图形，符合题意；
因为图D不是中心对称图形，不符合题意．
所以符合题意的有①②③.
故选：A．
3．科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
题型2 判断中心对称图形的对称中心
例2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
(1)作出绕点顺时针旋转后的图形；
(2)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为___________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是画旋转图形，中心对称的性质，坐标与图形，熟练的画图是解本题的关键；
（1）分别确定绕点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接即可；
（2）由，，结合与是中心对称图形，可得对称中心的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵与是中心对称图形，，，
∴对称中心的坐标为，即．
针对训练2
1．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点 ．
【答案】P
【分析】此题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接、，交点P即为对称中心点．
故答案为：P．
2．图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ．
【答案】C
【分析】此题属于识别中心对称图形的问题，中心对称图形的定义； 中心对称图形是把图形的一部分绕某一点旋转，两部分能完全重合； 接下来试着将图①的正方形放在规定的各个位置上，结合中心对称图形的定义进行分析即可．
【详解】解：图①中的正方形放在图②中的C的位置，组成的图形是中心对称图形，故放在C的位置．
故答案为：C．
7．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的；
(2)画出关于原点对称的；
(3)观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查了平移和中心对称的作图，准确作图是关键．
（1）找到向左平移4个单位后得到对应点，顺次连接即可；
（2）找到关于原点对称的，顺次连接即可；
（3）根据图形得到答案即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）观察图形可知，与关于点中心对称．
故答案为：
题型3 中心对称图形性质的应用
例3．如图所示，在的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：
(1)图①中所画的三角形与组成的图形是轴对称图形．
(2)图②中所画的三角形与组成的图形是中心对称图形．
(3)图③中所画的三角形与的面积相等，但不全等．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】本题考查了利用轴对称的性质，中心对称的性质，以及三角形的面积作图，熟练掌握轴对称的性质与中心对称的性质是作图的关键，要注意对称轴与对称中心的确定．
(1)先确定出对称轴，再根据轴对称图形的性质作出即可；
(2)确定出对称中心，然后根据中心对称图形的性质作出即可；
(3)根据格点的特点，作出的底边与这边上的高分别是，或，的三角形即可．
【详解】（1）解：如图，所画的三角形与组成的图形是轴对称图形，答案不唯一；
（2）解：如图，所画的三角形与组成的图形是中心对称图形，答案不唯一；
（3）解：如图，所画的三角形与的面积相等，但不全等，答案不唯一．
针对训练3
1．如图所示，在的正方形网格中，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了利用旋转设计图形，根据中心对称图形的定义即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：依题意可得，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，如图：
2．如图，已知的顶点A，B，C在格点上，在网格中按下列要求作图：
(1)将绕点C逆时针旋转得到；
(2)作出与关于点O成中心对称的；
(3)的面积为_________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】题考查作图﹣旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换、中心对称的性质，属于中考常考题型．
（1）根据旋转的性质分别作出A、B、C的对应点，再顺次连接即可；
（2）根据中心对称的性质分别作出A、B、C的对应点，再顺次连接即可；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，为所作图形；
（2）解：如图所示，为所作图形；
（3）解：的面积为．
3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
(1)在图1中画一个，使；
(2)在图2中画一个以点O为对称中心，A，B为顶点的；
(3)图2中的面积为_______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】本题主要考查平行四边形的性质及网格作图，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
（1）根据网格特点画出，再作平行四边形即可；
（2）根据中心对称，做出对称点即可作出平行四边形；
（3）根据平行四边形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示即为所求；
（2）如图所示即为所求；
（3）的面积为
题型4 中心对称图形的规律问题
例4．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（ ， ）
【答案】 /
【分析】作轴于点C，先根据1是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，B1的坐标为；分别求出点、、的坐标各是多少，最后总结出An的坐标的规律，求出的坐标是多少即可．
【详解】解：如图，作轴于点C，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，，
∴，
∴的坐标为，的坐标为，
∵与关于点成中心对称，
∴点与点关于点成中心对称，
∵，，
∴点的坐标是，
∵与关于点成中心对称，
∴点与点关于点成中心对称，
∵，，
∴点的坐标是，
∵与关于点成中心对称，
∴点与点关于点成中心对称，
∵，，
∴点的坐标是，
…，
∵，，，，…，
∴的横坐标是，的横坐标是，
∵当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是，
∴顶点的纵坐标是，
∴顶点的坐标是．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了坐标与图形变化-中心对称，等边三角形的性质，含30度角的等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少．
针对训练4
1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解．
【详解】解：如图所示，作轴于点，
，，
，
，
，重合，
，
则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：，，，
则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是；
同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是；
第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，，
故选：D．
2．如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点的坐标为，则，因为是直角三角形，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即可求出正方形的边长，从而可得点的坐标，根据旋转的性质可知正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称，根据中心对称的性质即可得到第次旋转结束后，点的坐标．
【详解】解：设点的坐标为，则，
点的坐标为，
，，
是直角三角形，
，
，
解得：，
正方形的边长为，
点的坐标是，
正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，
又，
正方形绕点顺时针旋转次回到出发点，
，
正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称，
将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后点的坐标为
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、中心对称图形的性质、旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出点的坐标，再根据旋转的性质和中心对称的性质求出旋转次后点到达的位置的坐标．
3．在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键．
首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标．
【详解】解：∵点关于点的对称点，
∴，
∴，，
∴，
同理可得点，，，，，…
∴点P每6次一循环，
∵
∴点与点坐标相同，即．
故选：D．
创新拓展能力提升
1．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合函数图像研究函数性质的过程．以下是我们研究函数的图象、性质与应用的部分过程，请按要求完成以下各小题．
（1）请把下表补充完成，并根据表中数据在平面直角坐标系中描点，连线，画出该函数图象．
x … -4 -3.5 -3 -2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 3 3.5 4 …
y … -1 1 0 -1 1
（2）根据函数图像，判断下列关于该函数及其性质的说法是否正确，正确的请在答题卡上对应的括号内打“√”，错误的请在答题卡上对应的括号内打“×”．
①该函数的自变量的取值范围是x≠士2；（ ）
②该函数图像是中心对称图形，对称中心是原点；（ ）
③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小；（ ）
（3）已知函数 的图像如图所示，结合函数图像，请直接写出方程 的解；（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1）补全表格及函数图象见解析；（2）√，√，×；（3）、，
【分析】（1）求出和对应的函数值即可补全表格，再描点作图即可求解；
（2）根据函数图象的性质逐一判断即可；
（3）根据函数图象，代入大致的数值进行验证即可求解．
【详解】（1）补全表格如下：
x … -4 -3.5 -3 -2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 …
y … -1 1 0 -1 1
画出函数图象如下：
（2）①该函数的自变量的取值范围是x≠±2，正确；
②该函数图像是中心对称图形，对称中心是原点，正确；
③在、以及的每个范围内，y随x的增大而减小，错误；
（3）∵当时，，
当时，，
∴的一个解为；
同理可得的另外两个解为，；
综上，的解为、，．
【点睛】本题考查函数的图象，掌握描点作图、利用图象解方程的方法是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，，
(1)请在图中作出点关于点的对称点，并求出的坐标．
(2)若点与原点重合，以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为__________．
(3)若点在直线上运动，以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，则线段的最小值为__________．
【答案】(1)作图见解析，
(2)
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，一次函数与几何图形；
（1）根据中心对称的性质画出图形，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质画出图形，结合坐标系，即可求解；
（3）根据题意分两种情况讨论，当为对角线，为边时，分别画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，；
（2）解：如图所示，的坐标为；
（3）解：当为边时，，
当为对角线时，如图所示，
设的中点为，则，
∵在上，
当直线时，的长度最小，
设，则关于的对称点为，
∵（横纵坐标之和为7），
即在上运动，
过点作直线于点，当时，，则，
则的最小值等于的长，
∴，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
3．图①，图②，图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1．线段AB的端点均在格点上． 按要求在图①，图②，图③中画图．
（1）在图①中，以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点；
（2）在图②中，以线段AB为斜边画一个直角三角形，使其面积为2，且直角的顶点为格点；
（3）在图③中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两个顶点均为格点.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）作AB的垂直平分线，垂直平分线在端点处的点即为顶点；
（2）如下图所示，满足面积条件和直角条件；
（3）以AB为对角线，绘制平行四边形即可
【详解】（1）如下图，过线段AB作垂直平分线，与网络交于格点C，则点C为等腰直角三角形顶点

根据勾股定理，可求得AB=，AC=BC=
根据勾股定理逆定理，可得△ABC是直角三角形，满足条件
（2）图形如下：

根据勾股定理，可求得：AB=，AC=，BC=
根据勾股定理逆定理，可判断△ACB是直角三角形
面积=×=2，成立
（3）平行四边形满足是中心对称图形，不是轴对称图形，图形如下：

(答案不唯一)
【点睛】本题考查格点问题，解题过程中，一方面需要结合几何特征，另一方面，还要敢于尝试
4．若二次函数与的图象关于点成中心对称图形，我们称与互为“中心对称”函数．
(1)求二次函数的“中心对称”函数的解析式；
(2)若二次函数的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式．
(3)二次函数的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，且四边形为矩形，求的值．
【答案】(1)“中心对称”函数的解析式为：
(2)抛物线的表达式为：
(3)
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、新定义、矩形的性质、解直角三角形等，综合性强，难度适中．
（1）由新定义即可求解；
（2）求出，得到抛物线的表达式为：，即可求解；
（3）由，即可求解．
【详解】（1）解：，
则该函数的顶点坐标为：，
则该顶点关于的对称点为，
则“中心对称”函数的解析式为：；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
则顶点坐标为：，
则“中心对称”函数的顶点坐标为：，
则“中心对称”函数的表达式为：，
将代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
当时，
即，
则抛物线在时，取得最大值为2，
即，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（3）如下图：
设点、、的横坐标分别为：设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H，
则点的坐标为：，，点H的坐标为：，
根据点关于中心对称，点的横坐标，
由点、的坐标得，，
则，
若，
即，
整理得：，
当四边形为矩形时，则，
，
，
则，
而，
则，
整理得：，
将代入上式得：
解得：（舍去），
即．
典例精讲1
典例精讲2
典例精讲3
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典例精讲4
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