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力的合成与分解
【考纲目标】
知道力的合成与分解、合力与分力、平行四边形定则；
会用作图法求共点力的合力；
理解合力的大小与分力夹角的关系；
会用作图法求分力，并且能用直角三角形及正交分解法求分力。
【考点梳理】
考点一：合力与分力
当一个物体受到几个力的共同作用时,我们常常可以求出这样一个力,这个力产生的效果跟原来几个力的共同效果相同,这个力就叫做那几个力的合力,原来的几个力叫做分力.
①合力与分力是针对同一受力物体而言.
②一个力之所以是其他几个力的合力,或者其他几个力是这个力的分力,是因为这一个力的作用效果与其他几个力共同作用的效果相当,合力与分力之间的关系是一种等效替代的关系.
考点二：共点力
1.定义：一个物体受到的力作用于物体上的同一点或者它们的作用线交于一点,这样的一组力叫做共点力.(我们这里讨论的共点力,仅限于同一平面的共点力)
一个具体的物体,其各力的作用点并非完全在同一个点上,若这个物体的形状 大小对所研究的问题没有影响的话,我们就认为物体所受到的力就是共点力.如图甲所示,我们可以认为拉力F、摩擦力F1及支持力F2都与重力G作用于同一点O.如图乙所示,棒受到的力也是共点力.
2.共点力的合成:遵循平行四边形定则.
3.两个共点力的合力范围
合力大小的取值范围为:F1+F2≥F≥|F1-F2|.
在共点的两个力F1与F2大小一定的情况下,改变F1与F2方向之间的夹角θ,当θ角减小时,其合力F逐渐增大;当θ=0°时,合力最大F=F1+F2,方向与F1与F2方向相同;当θ角增大时,其合力逐渐减小;当θ=180°时,合力最小F=|F1-F2|,方向与较大的力方向相同.
4.三个共点力的合力范围
①最大值:当三个分力同向共线时,合力最大,即Fmax=F1+F2+F3.
②最小值:a.当任意两个分力之和大于第三个分力时,其合力最小值为零.
b.当最大的一个分力大于另外两个分力的算术和时,其最小合力等于最大的一个力减去另外两个力的算术和的绝对值.
要点三、矢量相加的法则
(1)平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边
作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向(如左图所示)。
(2)三角形定则：把两个矢量首尾相接从而求出合矢量，这个方法叫做三角形定则(如右图所示)．
要点四、力的分解的两种方法
1．按力产生的实际效果进行分解,具体是：
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．
(2)再根据两个实际分力方向画出平行四边形．
(3)最后由平行四边形知识求出两分力的大小．
如图所示，物体的重力G按产生的效果分解为两个分力，F1使物体下滑，F2使物体压向斜面．
2．对力的正交分解法的理解和应用
(1)正确选择直角坐标系，通常选择共点力的作用点为坐标原点，直角坐标x、y的选择可按下列原则去确定：
①应尽量使所求量(或未知量)“落”在坐标轴上，使得方程的解法简捷．
②沿物体运动方向或加速度方向设置一个坐标轴．
(2)正交分解各力，即分别将各力投影到坐标轴上，分别求x轴和y轴上各力投影的合力Fx和Fy.
其中
(3)求Fx和Fy的合力F，如图所示．
大小，
方向.
要点五、力的分解的唯一性与多解性
　 两个力的合力唯一确定，但一个力的两个分力不一定唯一确定，即已知一条确定的对角线，可以作出无数个平行四边形，如果没有条件限制，一个已知力可以有无数对分力．若要得到确定的解，则须给出一些附加条件：
(1)已知一个分力的大小和方向，力的分解也是唯一的．
(2)已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小，对力F进行分解，如图则有三种可能：(F1与F的夹角为θ)
①F2②F2＝Fsinθ或F2≥F时有一组解；
③Fsinθ(3)已知两个不平行分力的大小(F1＋F2>F)．如图所示，分别以F的始端、末端为圆心，以F1、F2为半径作圆，两圆有两个交点，所以F分解为F1、F2有两种情况．
(4)存在极值的几种情况：
①已知合力F和一个分力F1的方向，另一个分力F2存在最小值．
②已知合力F的方向和一个分力F1，另一个分力F2存在最小值．
【典型例题】
类型一、求合力的取值范围
例1、有三个力，大小分别为13N、3N、29N。那么这三个力的合力最大值和最小值应该是（　　）
A．29N，3N B．45N，0N
C．45N，13N D．29 N，13N
【答案】C
【详解】由于13N、3N两个力合力的最大值为
则这三个力的合力最大值和最小值分别为
故选C。
【变式】一个物体受三个共点力的作用，它们的大小分别为F1＝7 N、F2＝8 N、F3＝9 N．求它们的合力的取值范围？
【答案】0≤F≤24 N
类型二、求合力的大小与方向
例2、一个大人拉着载有两个小孩的小车(其拉杆可自由转动)沿水平地面匀速前进，则对小孩和车下列说法正确的是(　　)
A. 拉力的水平分力等于小孩和车所受的合力
B. 拉力与摩擦力的合力大小等于重力大小
C. 拉力与摩擦力的合力方向竖直向上
D. 小孩和车所受的合力为零
【答案】C、D
【解析】小孩和车整体受重力、支持力、拉力和摩擦力，根据共点力平衡条件,拉力的水平分力等于小孩和车所受的摩擦力，故选项A错误；小孩和车整体受重力、支持力、拉力和摩擦力，根据共点力平衡条件，拉力、摩擦力的合力与重力、支持力的合力平衡，重力、支持力的合力竖直向下，故拉力与摩擦力的合力方向竖直向上，故选项B错误，C正确；小孩和车做匀速直线运动，故所受的合力为零，故选项D正确。
例3、如左图在正六边形顶点A分别施以F1～F5 5个共点力，其中F3=10N，A点所受合力为 ；如图，在A点依次施以1N～6N，共6个共点力．且相邻两力之间夹角为600，则A点所合力为 。
【答案】30N，方向与F3相同；0N
【解析】对于左图，依据正六边形的性质及力的三角形作图法，不难看出，、、可以组成一个封闭三角形，即可求得和的合力必与相同。同理可求得,的合力也与相同。所求五个力的合力就等效为三个共点同向的的合力，即所求五个力的合力大小为30 N，方向沿的方向（合力与合成顺序无关）。
对于右图，先将同一直线上的三对力进行合成,可得三个合力均为3 N且互成120°角,故总合力为零.
【总结升华】巧用物理概念、物理规律和物理方法做出平行四边形去分析、研究、推理和论证，合理地选择合成的顺序就使解题思路过程变得极为简单明了、巧妙而富有创意。
类型三、按力的实际作用效果分解力
例4、关于两个力的合力与这两个力的关系说法中正确的是(　　)
A. 合力比这两个力都大
B. 合力至少比这两力中较小的力要大
C. 合力可能比这两个力都小
D. 合力可能比这两个力都大
【答案】C、D
【解析】根据平行四边形定则知,因为对角线的长度可能比两邻边的长度长,也可能比两邻边的长度短,也可能与两邻边的长度相等,所以合力可能比分力大,可能比分力小,可能与分力相等,故选项C、D正确。
【总结提升】判断合力与分力关系的三点注意
(1)合力与分力的大小关系要视情况而定,不能形成合力总大于分力的思维定势,合力可以等于分力,也可以大于分力,还可以小于分力。
(2)三个共点力的合力的最小值不一定等于两个较小力的和与第三个较大力之差。
(3)合力与分力是等效替代关系,在进行有关力的计算时,如果已计入了合力,就不能再计入分力;如果已计入了分力,就不能再计入合力。
举一反三
【变式】质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上,其重力产生两个效果:一是使球压紧竖直墙壁的分力F1,二是使球拉紧悬线的分力F2.则：,
题型四、正交分解法的应用
例5、某压榨机的结构示意图如图所示，其中B点为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于臂的力F，则由于力F的作用，使滑块C压紧物体D，设C与D光滑接触，杆的重力及滑块C的重力不计，压榨机的尺寸如图所示（单位：cm），求物体D所受压力大小是F的 倍。
【答案】5/5.0
【详解】将力F沿两杆方向分解为力、力，如图甲所示
则有
即
再将力沿水平方向和竖直方向分解，如图乙所示
题图可看出
可得到C对D的压力
由几何关系得
得
所以物体D所受的压力是F的5倍。
【评价】在对实际问题的求解中，可以用合成法，也可以用分解法，还可以用正交分解法，要善于根据题目要求，灵活选择解题方法,一般来说，在研究多个共点力作用的力学问题时，选用正交分解法比较方便.
举一反三
【变式1】如图所示，拖拉机拉着耙耕地，拉力F与水平方向成角，若将该力沿水平方向和竖直方向分解，则它在竖直方向的分力大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将F分解为水平方向和竖直方向的分力，根据平行四边形定则，水平方向上分力
竖直方向分力为
故选B。
【变式2】如图所示，有一个表面光滑、质量很小的截面是等腰三角形的尖劈，其倾角为θ，插在缝A、B之间，在尖劈上加一个力F，则尖劈对缝的左侧压力大小为多少？
【答案】
类型五、力的合成与分解的实际应用
例6、如图所示,质量为m的物体用细绳OC悬挂在支架上的O点,轻杆OB可绕B点转动,求细绳OA中张力F的大小和轻杆OB受力N的大小.
【答案】
【解析】由于悬挂物的质量为m,绳OC拉力的大小为mg,而轻杆能绕B点转动,所以轻杆在O点所受的压力N将沿杆的方向(如果不沿杆的方向杆就要转动),将绳OC的拉力沿杆和OA方向分解,可求得 ,.
【总结升华】在物体平衡中,有些题目是相似的,但实质是完全不同的,如审题时不认真,盲目地用相同的方法去求解就会出错,对于固定轻杆与转动轻杆来说,转动轻杆产生的弹力一定沿杆的方向,如果不沿杆的方向时就要转动;而固定轻杆产生的弹力不一定沿杆的方向,因为杆不可转动.
举一反三
【变式1】求图中两种情况下，轻绳的拉力T和轻杆中的弹力N。
【答案】（1）
（2）
【巩固练习】
一、选择题：
1．有两个共点力，F1＝2 N，F2＝4 N，它们合力F的大小可能是(　　)
A．1 N　　　　　　　　　 B．5 N
C．7 N D．9 N
2．王飞同学练习单杠时，两臂平行握住单杠，在他两臂逐渐分开的过程中，手臂的拉力(　　)
A．逐渐变大 B．逐渐变小
C．先变小，后变大 D．先变大，后再变小
3．F1、F2合力方向竖直向下，若保持F1的大小和方向都不变，保持F2的大小不变，而将F2的方向在竖直平面内转过60°角，合力的方向仍竖直向下，下列说法正确的是(　　)
A．F1一定大于F2
B．F1可能小于F2
C．F2的方向与水平面成30°角
D．F1方向与F2的方向成60°角
4．如图所示，固定在水平地面上的物体A，左侧是圆弧面，右侧是倾角为θ的斜面，一根轻绳跨过物体A顶点上的小滑轮，绳两端分别系有质量为m1、m2的小球，当两球静止时，小球m1与圆心连线跟水平方向的夹角也为θ，不计一切摩擦，则m1、m2之间的关系是(　　)
A．m1＝m2
B．m1＝m2tan θ
C．m1＝m2cot θ
D．m1＝m2cos θ
二、计算题
5．如图所示，能承受最大拉力为10 N的细线OA与竖直方向成45°角，能承受最大拉力为5 N的细线OB水平，细线OC能承受足够的拉力，为使OA、OB均不被拉断，OC下端所悬挂物体的最大重力是多少？
6．如图为曲柄压榨机结构示意图，A处作用一水平力F，OB是竖直线．若杆和活塞重力不计，两杆AO与AB的长度相同；当OB的尺寸为200，A到OB的距离为10时，求货物M在此时所受压力为多少？
能力提升练习题
一、单选题
1．如图所示，、为两个相互垂直的共点力，F是它们的合力。已知的大小等于3N，F的大小等于5N。若只改变、的夹角，则它们的合力的大小不可能是（　　）
A．1N B．3N C．6N D．8N
2．物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使合力沿着OO'方向，如图所示，则必须同时再加一个力F'，如F和F'均在同一水平面上，则这个力的最小值为（　　）
A．Fcosθ B．Fsinθ
C．Ftanθ D．Fcotθ
3．如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳（遵循胡克定律），在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性轻绳涉及的受力均在同一平面内，不计摩擦，已知，则耳朵受到口罩带的作用力为（　　）
A．，方向与水平向右成45°角 B．，方向与水平向左成45°角
C．，方向与水平向左成45°角 D．，方向与水平向右成45°角
4．两个共点力、的夹角为，合力为F，则下列说法正确的是（　　）
A．若仅增大，则F可能增大 B．若仅增大，则F一定增大
C．若仅减小，则F的大小一定改变 D．F一定小于或等于和的代数和
二、多选题
5．如图所示，轻质细绳和相交于O点，其A、B端是固定的，在O点用轻质细绳悬挂质量为m的物体，平衡时，水平，与水平方向的夹角为，已知细绳和能承受的最大拉力相同，和的拉力大小分别为和。则（　　）

A．
B．
C．与的合力大小为，方向竖直向上
D．增大物体的质量，最先断的是细绳
6．小美在草稿本上画了一个力的示意图，小帅想到可以把这个力分解。若该力，把F分解为和两个分力，已知分力与F夹角为，则的大小（ ）
A．一定小于10N B．可能等于10N
C．可能大于10N D．最小一定等于5N
三、解答题
7．一个重的易拉罐在两根细绳的悬挂下处于静止状态。分析说明以下三种情况是否可能实现：
（1）两根细绳上的拉力大小分别为和；
（2）两根细绳上的拉力大小分别为和；
（3）两根细绳上的拉力大小分别为和。
8．三力的大小分别为2 N、7 N、8 N，其夹角可变化，求它们合力的最大值和最小值。
9．如图所示，已知物体在三个共点力的作用下沿x轴运动，其中F1=80N，F2=120N，它们与x轴夹角都是30°，F3是确保物体沿x轴运动的最小分力。试问：
（1）最小分力为多大？沿什么方向？
（2）三个分力的合力多大？

四、填空题
10．合力和分力：假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果 ，这个力就叫作那几个力的 ；假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的 。
11．重为G的物体，静止于倾角为θ的斜面上，G的分力F1= ，F2= ，并在图上标出分力F1、F2的方向 。
12．某压榨机的结构示意图如图所示，其中B点为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于臂的力F，则由于力F的作用，使滑块C压紧物体D，设C与D光滑接触，杆的重力及滑块C的重力不计，压榨机的尺寸如图所示（单位：cm），求物体D所受压力大小是F的 倍。
13．设有三个力同时作用在质点P上，它们的大小和方向相当于正六边形的两条边和一条对角线，如图所示，，则与的合力 （选填“大于”“小于”“等于”），三个力的合力为 。

试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
巩固练习题答案
一、选择题：
1．B
解析：由|F1－F1|≤F≤|F1＋F2|知，B选项正确．
2．A
解析：当两臂夹角为θ时，手臂的拉力为F，则
，所以
当θ变大时，减小，F变大，故A正确．
3．AC
解析：由于合力始终向下，可知F2与F2′的水平分力相同．故F2与F2′关于水平方向对称．所以F2与水平方向成30°，设F1与竖直方向成α，如图所示．
对各力进行分解可得： F1sinα＝F2cos30°①
F1cosα>F2sin30°②
由①2＋②2得：F12>F22.即F1>F2.
4．【答案】B
【解析】以m2为研究对象，由平衡条件有
T＝m2gsin θ，
以m1为研究对象，由平衡条件有
m1gcos θ＝T，
联立解得m1＝m2tan θ，选项B正确．
5. 答案 5 N
解析：当OC下端所悬物重不断增大时，细线OA、OB所受的拉力同时增大．为了判断哪根细线先被拉断，利用假设，分别假设OA、OB达最大值时，看另一细线是否达到最大值，从而得到结果．可选O点为研究对象，其受力情况如图所示，
假设OB不会被拉断，且OA上的拉力先达到最大值，即F1＝10 N，根据平衡条件有，由于F2大于OB能承受的最大拉力，所以在物重逐渐增大时，细线OB先被拉断．
再假设OB线上的拉力刚好达到最大值(即F2max＝5 N)处于将被拉断的临界状态，根据平衡条件有F1·cos45°＝F2max，F1sin45°＝F3.
再选重物为研究对象，根据平衡条件有F3＝Gmax.
以上三式联立解得悬挂最大重物为
Gmax＝F2max＝5 N.
6.答案 5F
解析：力F的作用效果是对AB、AO两杆产生沿杆方向的压力F1、F2，如图(a)．而F1的作用效果是对M产生水平的推力F′和竖直向下的压力FN，如图(b)，可得对货物M的压力．由图可得：
　而FN＝F1sinα
则
能力提升练习题答案
1．D
【详解】、为两个相互垂直的共点力，合力的大小等于5N，所以根据勾股定理可得
、两力合成时，合力范围为
即
、两力不可能使，D正确。
故选D。
2．B
【详解】由F做OO′的垂线，此时的F′就是最小值，如下图
由三角形的知识可以求得最小值为
F′min=Fsinθ
故选B。
3．B
【详解】耳朵分别受到段口罩带的拉力，且，将两力正交分解如图所示
水平方向的合力
竖直方向的合力
解得
耳朵受到口罩的作用力
方向与水平向左成角。
故 选B。
4．D
【详解】A．根据力的合成公式
若仅增大，cosθ减小，则F减小，故A错误；
B．若，仅增大，则F有可能会减小，故B错误；
C．若为钝角，如图所示

仅减小，则F的大小可能不改变，故C错误；
D．由力的合成方法可知，两力合力的范围
所以F一定小于或等于和的代数和，故D正确；
故选D。
5．BCD
【详解】AB．以结点为研究对象，分析受力情况：三根细线的拉力，重物对点的拉力等于；作出力图如图：

由共点力平衡，结合正交分解法，得到方向：
方向
解得
故B正确，A错误；
C．根据三力平衡条件，与的合力大小等于，方向竖直向上，故C正确；
D．因，故增大物体的质量时，最先断的是细绳，故D正确；
故选BCD。
6．BCD
【详解】
作合力和分力F1的示意图，根据三角形定则作图，通过不同三角形的比较，可知当F与F2垂直时，F2最小，且最小值为
Fsin30°=5N
根据图知，F2无最大值，即
F2≥5N
故选BCD。
7．（1）可能；（2）不可能；（3）不可能
【详解】（1）和的合力取值范围为
即
故合力可以得到；
（2）和的合力取值范围为
即
故合力不可能为；
（3）和的合力取值范围为
即
故合力不可能为。
8．见解析
【详解】设三个力分别为F1、F2、F3，当三个力同向时，合力最大，Fmax＝F1＋F2＋F3＝17 N。F1、F2的合力F12的大小范围为5 N≤F12≤9 N，则当F12＝F3＝8 N、方向与F3相反时，F12与F3的合力为零，即三个力的合力最小值Fmin＝0
9．（1）20N，沿y轴正向；（2）100N
【详解】建立直角坐标系，其中三个力的交点O为原点，以原x轴为x轴，y轴垂直于x轴方向，把F1、F2沿x、y轴分解。则
（1）要使物体沿x轴方向运动，则y轴方向上合力为零，根据题意，当F3沿y轴正向，且
时，分力F3最小。
（2）三个分力的合力
10． 相同 合力 分力
【详解】[1][2][3]合力和分力：假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力；假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的分力。
11．
【详解】[1][2][3]将物体的重力沿着平行斜面方向和垂直斜面方向正交分解，如图所示
根据平行四边形定则，有
12．5/5.0
【详解】将力F沿两杆方向分解为力、力，如图甲所示
则有
即
再将力沿水平方向和竖直方向分解，如图乙所示
题图可看出
可得到C对D的压力
由几何关系得
得
所以物体D所受的压力是F的5倍。
13． 小于 3F
【详解】[1]由题意可知
而与间的夹角为，则根据平行四边形定则可知，这两个力的合力的大小也为且与共线同向，而根据力的图示可知，表示力的线段的长度即表示力的大小，则根据几何关系可知
因此可知与的合力小于；
[2]共线同向的共点力的合成可直接进行相加，即这三个力的合力为。

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