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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第二十五讲 关于原点对称的点的坐标
知识点梳理
知识点1 在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系：
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P ′(-x，-y).
要点诠释：
（1）P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y)。
第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，
第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限，
坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上。
（2）关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标的区别：
知识点2 关于原点对称的点的坐标的应用
在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤
1）确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标；
2）写出关键点关于原点对称的点坐标；
3）在直角坐标系中标出对称点的坐标；
4）顺次连接对称点，所作的图形为所求图形.
要点诠释：
关键在于掌握坐标变换规则，并通过描点、连线完成图形绘制，确保对称性。
知识点3 图案设计
我们学习了的全等变换有平移、轴对称、旋转，生活中常用这三种图形变换进行图案设计，在上述变换过程中，形状、大小不变，位置发生了改变。
要点诠释：
轴对称设计要点
对称轴选择 ：确定水平、垂直或斜线对称轴，需清晰表达设计意图。
关键点处理 ：通过作对称点连线垂直平分线，确保对应线段相等、对应角相等。
图案构建 ：先设计半侧图案，沿对称轴镜像复制后完善细节，注意保持整体对称性。
中心对称设计要点
对称中心定位 ：通常选择几何中心或视觉焦点作为旋转中心。
180°旋转规则 ：对应点连线经过对称中心且被平分，对应线段平行或共线且相等。
动态平衡 ：通过中心对称创造视觉节奏感，常见于花卉或几何图形设计。
题型1 求关于原点对称的点的坐标
例1．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若绕着点逆时针旋转后得到，直接写出顶点的对应顶点的坐标是______，顶点的对应顶点的坐标是______；
(2)若和关于原点成中心对称图形，画出；
(3)若为第三象限内一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点坐标______．
针对训练1
1．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．若点P在第四象限内，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型2 已知两点关于原点对称求参数
例2．已知点和点关于x轴对称，求P和Q的值，若M，N关于y轴对称呢？关于原点对称呢？
针对训练2
1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为 ．
2．已知点与点关于原点对称，则 ， ．
3．已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ．
题型3 判断两点是否关于原点对称
例3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标；
(3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？
针对训练3
1．如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)写出点B，D的坐标；
(2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？
2．如图，三个顶点的坐标分别为，，．

(1)画出关于x轴对称的；并写出对应点的坐标；
(2)画出关于y轴对称的；并写出对应点的坐标；
(3)观察发现：的两次轴对称位置变化，相当于它一次怎样的变化？
(4)请求出三角形的面积．
(5)为轴上一动点，当周长最小时，画出P点的位置．
3．如图：
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以﹣1，请你在同一坐标系中描出对应的点A′、B′、C′，并依次连接这三个点，所得的△A′B′C′与原△ABC有怎样的位置关系；
（3）在②的基础上，纵坐标都不变，横坐标都乘以﹣1，在同一坐标系中描出对应的点A″、B″、C″，并依次连接这三个点，所得的△A″B″C″与原△ABC有怎样的位置关系．
题型4 按图形的变换要求画出另一个图形
例4．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为个单位长度．
(1)画出关于原点对称的图形，并写出，的坐标；
(2)求出的面积．
针对训练4
1．如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为
(1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到；
(2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是；
(3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________．
2．如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
(1)作出绕点顺时针方向旋转后得到的；
(2)作出关于原点成中心对称的．
3．如图，三个顶点的坐标分别为，，.
(1)请画出关于原点对称的；
(2)在轴上求作一点P，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标．
题型5 分析图形的形成过程
例5．如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？
针对训练5
1．如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （ ）
A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移
2．如图，将左边的图案变成右边的图案的操作是 ．
3．如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 .（填“”或“”或“”）
题型6 设计图案
例6．如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中．
(1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
(2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形；
(3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形．
针对训练6
1．如图，方格纸中有形状、大小完全相同的与．
(1)如何运用平移、旋转，使与重合？
(2)已知经过图形变换后得到的三角形可以与成中心对称．请你用文字语言描述图形变换的方式，并画出经过图形变换后得到的三角形，标出对称中心．
2．如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：
(1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中心”）
(2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影．
3．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）：
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形．
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形．
创新拓展能力提升
1．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；

（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
2．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90度．
(1)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为的是________（写出所有正确结论的序号）；
①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形
(2)写出一个多边形，它是旋转对称图形，有一个旋转角为，并且满足：既是轴对称图形，又是中心对称图形：________；
(3)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽发现的“弦图”，它是由四个大小相等，形状相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图2），设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，最长的斜边为．
①此正方形会标是旋转对称图形吗？________；（是或不是）
②根据图2猜想、、之间的数量关系，并说明理由；
③若图2中大正方形的面积是25，小正方形的面积是4，现将四个直角三角形按如图3的形式重新摆放，那么图3中最大的正方形的面积为________．
3．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；
(2)求的长．
2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第二十五讲 关于原点对称的点的坐标 （解析版）
知识点梳理
知识点1 在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系：
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P ′(-x，-y).
要点诠释：
（1）P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y)。
第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，
第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限，
坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上。
（2）关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标的区别：
知识点2 关于原点对称的点的坐标的应用
在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤
1）确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标；
2）写出关键点关于原点对称的点坐标；
3）在直角坐标系中标出对称点的坐标；
4）顺次连接对称点，所作的图形为所求图形.
要点诠释：
关键在于掌握坐标变换规则，并通过描点、连线完成图形绘制，确保对称性。
知识点3 图案设计
我们学习了的全等变换有平移、轴对称、旋转，生活中常用这三种图形变换进行图案设计，在上述变换过程中，形状、大小不变，位置发生了改变。
要点诠释：
轴对称设计要点
对称轴选择 ：确定水平、垂直或斜线对称轴，需清晰表达设计意图。
关键点处理 ：通过作对称点连线垂直平分线，确保对应线段相等、对应角相等。
图案构建 ：先设计半侧图案，沿对称轴镜像复制后完善细节，注意保持整体对称性。
中心对称设计要点
对称中心定位 ：通常选择几何中心或视觉焦点作为旋转中心。
180°旋转规则 ：对应点连线经过对称中心且被平分，对应线段平行或共线且相等。
动态平衡 ：通过中心对称创造视觉节奏感，常见于花卉或几何图形设计。
题型1 求关于原点对称的点的坐标
例1．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若绕着点逆时针旋转后得到，直接写出顶点的对应顶点的坐标是______，顶点的对应顶点的坐标是______；
(2)若和关于原点成中心对称图形，画出；
(3)若为第三象限内一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点坐标______．
【答案】(1)，
(2)图见解析
(3)
【分析】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质，是解题的关键：
（1）根据旋转的性质，画出，写出点的坐标即可；
（2）根据中心对称的性质，画出即可；
（3）根据平移思想画出平行四边形，得到点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图：
由图可知：，；
（2）如图，即为所求；
（3）如上图，当为第三象限内一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，．
针对训练1
1．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是关于原点对称的点的坐标特征．
根据关于原点对称的点的坐标特征，即可求解．
【详解】在平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，则其横、纵坐标均互为相反数，
∴在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是，
故选：．
2．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键．
【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点，
∴，
点与点关于坐标原点中心对称，
点的坐标为，
点的坐标是，
故选：C．
3．若点P在第四象限内，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查点的坐标，关于原点对称的点的坐标，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，求出点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标横纵坐标互为相反数即可得出结果．
【详解】解：设，
∵点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
∴，，
∴，，
∵点P位于第四象限，
∴，，
∴P点坐标为，
∴点关于原点对称的点的坐标是，
故选：B．
题型2 已知两点关于原点对称求参数
例2．已知点和点关于x轴对称，求P和Q的值，若M，N关于y轴对称呢？关于原点对称呢？
【答案】当M，N关于x轴对称时，，；当M，N关于y轴对称时，，；当M，N关于原点对称时，，
【分析】本题考查了两点对称时坐标之间的关系，以及解二元一次方程组，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，分别列出方程组求解即可．
【详解】解：点和点关于x轴对称，
，整理得：，
由得：，解得，
将代入①得：，解得，
当M，N关于y轴对称时，
有，整理得：，
解得：，
当M，N关于原点对称时，
有，整理得：，
解得：．
针对训练2
1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了两点关于原点对称求字母参数，求代数式的值，解题关键是求出两点的坐标中的待求字母．
先根据点与点关于原点成中心对称，求出与，再求出的值．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
2．已知点与点关于原点对称，则 ， ．
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
故答案为：，．
3．已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为，
∵抛物线与关于原点成中心对称，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为．
故答案为：．
题型3 判断两点是否关于原点对称
例3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标；
(3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)关于原点对称
【分析】本题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据点的坐标建立平面直角坐标系即可．
（2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（3）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：如图所示，即为所求；
这个新图案与关于原点对称．
针对训练3
1．如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)写出点B，D的坐标；
(2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查平行于轴的直线的特点，熟练掌握平行于轴的直线的特点是解题的关键．
（1）根据平行于轴的直线的特点以及得出坐标；
（2）对比A，B，C，D的坐标即可发现之间的关系．
【详解】（1）解：轴，，，
点B，D的纵坐标分别是1，．
，
．
（2）解：，的横、纵坐标互为相反数，
关于原点对称．
同理，关于原点对称．
2．如图，三个顶点的坐标分别为，，．

(1)画出关于x轴对称的；并写出对应点的坐标；
(2)画出关于y轴对称的；并写出对应点的坐标；
(3)观察发现：的两次轴对称位置变化，相当于它一次怎样的变化？
(4)请求出三角形的面积．
(5)为轴上一动点，当周长最小时，画出P点的位置．
【答案】(1)作图见解析；，，
(2)作图见解析；
(3)相当于一次旋转
(4)
(5)见解析
【分析】本题考查作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，坐标与图形；
（1）根据轴对称的性质作图即可；关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案；
（2）根据轴对称的性质作图即可，关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此可得答案；
（3）观察图象发现两次轴对称变换相当于一次旋转；
（4）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解；
（5）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，根据两点之间线段最短可知此时点到、两点的距离和最小，观察图形可得出点的坐标；
【详解】（1）解：如图所示，∵与关于轴对称，，，
∴，，；

（2）如图，点，，分别为点，，的对应点，
连接，，，
则即为所作；
∴，，；

（3）观察图象发现两次轴对称变换相当于一次旋转；
（4）；
（5）如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，
∴，则周长最小．

3．如图：
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以﹣1，请你在同一坐标系中描出对应的点A′、B′、C′，并依次连接这三个点，所得的△A′B′C′与原△ABC有怎样的位置关系；
（3）在②的基础上，纵坐标都不变，横坐标都乘以﹣1，在同一坐标系中描出对应的点A″、B″、C″，并依次连接这三个点，所得的△A″B″C″与原△ABC有怎样的位置关系．
【答案】（1）A（3，4）B（1，2）C（5，1）
（2）描点画图见解析，△A′B′C′与△ABC关于x轴对称；
（3）描点画图见解析，△A″B″C″与原△ABC关于原点对称.
【分析】（1）根据各点坐标描出各点；
（2）将题目中各点横坐标不变纵坐标分别乘以﹣1，再描出各点连接各点；
（3）将题目中各点纵坐标不变横坐标分别乘以﹣1，再描出各点连接各点．
【详解】解：（1）根据各点的位置，各点坐标为：A（3，4）、B（1，2）、C（5，1）；
（2）由（1）A（3，4）、B（1，2）、C（5，1），横坐标不变，纵坐标都乘以-1，得：A′（3，-4）、B′（1，-2）、C′（5，-1），△A′B′C′与△ABC关于x轴对称；
（3）A（3，4）、B（1，2）、C（5，1），纵坐标都不变，横坐标都乘以-1，得：A″（-3，4）、B″（-1，2）、C″（-5，1），则△A″B″C″与△ABC关于原点对称．
题型4 按图形的变换要求画出另一个图形
例4．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为个单位长度．
(1)画出关于原点对称的图形，并写出，的坐标；
(2)求出的面积．
【答案】(1)画图见解析；点，；
(2)．
【分析】（）先作出、、关于关于原点对称的坐标特征写出、、的坐标，然后顺次连接即可，最后写出的坐标；
（）利用割补法求面积即可；
本题考查了画原点对称对称图形，关于原点对称的点的坐标，掌握原点对称对称的性质是解题的关键．
【详解】（1）作出、、关于关于原点对称的坐标特征写出、、，连接，，，
，
如图，即为所求，点，；
（2）．
针对训练4
1．如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为
(1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到；
(2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是；
(3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________．
【答案】(1)图见详解；
(2)图见详解；
(3)
【分析】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据中心对称的性质作图即可；
（3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合，即可得出答案．
【详解】（1）解∶如图，线段、即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P．则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合，
点P的坐标为，
故答案为∶．
2．如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
(1)作出绕点顺时针方向旋转后得到的；
(2)作出关于原点成中心对称的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查中心对称和性质作图，抓住中心对称和旋转的性质是关键．
（1）分别找到点关于原点对称的点，连接三个点即可；
（2）分别作线段绕原点顺时针旋转得到三个短点，连接三个点即可．
【详解】（1）解：分别找到点关于原点对称的点，连接三个点即可；
如图所示，即为所求；
（2）分别作线段绕原点顺时针旋转90°得到三个短点，连接三个点所得即为所求．
3．如图，三个顶点的坐标分别为，，.
(1)请画出关于原点对称的；
(2)在轴上求作一点P，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标．
【答案】(1)答案见解析
(2)作图见解析，P坐标为
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据网格结构找出点、、关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点的位置，然后连接、并根据图象写出点的坐标即可．
【详解】（1）如图所示；
（2）作点关于x轴的对应点，连接交x轴于点P，则点P为所求的点，连接，则为所求的三角形．此时点P坐标为．
题型5 分析图形的形成过程
例5．如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？
【答案】见解析．
【分析】根据所给的图形及其位置，运用平移、旋转的知识即可作出说明．
【详解】解：如图，标注三角形的一个顶点如下，
先向右平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕旋转180°；
：向下平移1个单位长度；
：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕逆时针旋转90°．（答案不唯一）
【点睛】本题考查利用旋转、平移的知识，注意仔细观察图形及语言的规范性是解题的关键．
针对训练5
1．如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （ ）
A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移
【答案】D
【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答．
【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意；
图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移．
故选：D．
【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．
平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
2．如图，将左边的图案变成右边的图案的操作是 ．
【答案】旋转
【分析】根据图形旋转的性质即可得出结论．
【详解】解：将左边的图案绕图案中的长方形中心逆时针旋转即可得到右边的图案．
故答案为：旋转．
【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．
3．如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 .（填“”或“”或“”）
【答案】 平移
【分析】图形平移前后对应边平行，故由①到②属于平移；旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心.
【详解】根据题意可得：图①与图②的对应点位置不变，通过平移可以得到；
根据旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是点A.
故填平移；A.
【点睛】此题考查图形的旋转变换中旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.
题型6 设计图案
例6．如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中．
(1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
(2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形；
(3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的设计，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
（1）把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形中心对称，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称图形；根据上述性质，即可拼接组成图形；
（2）结合（1）即可拼接组成图形；
（3）结合（1）即可拼接组成图形．
【详解】（1）解：如图1所示：
（2）解：如图2所示：
（3）解：如图3所示：
针对训练6
1．如图，方格纸中有形状、大小完全相同的与．
(1)如何运用平移、旋转，使与重合？
(2)已知经过图形变换后得到的三角形可以与成中心对称．请你用文字语言描述图形变换的方式，并画出经过图形变换后得到的三角形，标出对称中心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了图形的平移和旋转，正确找到两个三角形的位置关系是解题的关键．
（1）观察可知，是由经过平移和旋转得到的，并且，，由此可知旋转点为，旋转角度为，据此求解即可．
（2）观察可知，将绕点逆时针旋转得，连接，交于点P，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，将向上平移4个单位，再向右平移3个单位，然后绕点顺时针旋转即可得出，使与重合．
（2）解：将绕点逆时针旋转得，连接相交于一点，即为点P，则与关于点P中心对称，如图所示：
．
2．如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：
(1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中心”）
(2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影．
【答案】(1)中心，轴
(2)见解析
【分析】本题考查中心对称图形，利用旋转设计图案，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于中考常考题型．
（1）观察三个图形，利用中心对称和轴对称的性质即可解答；
（2）根据中心对称的性质设计图案即可．
【详解】（1）图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形；
故答案为：中心，轴；
（2）如图所示：答案不唯一（或面积是4的平行四边形、正方形等），
．
3．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）：
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形．
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称的性质及中心对称的性质设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
【详解】（1）解：轴对称图形如图1所示；
（2）解：轴对称图形如图2所示．
创新拓展能力提升
1．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；

（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）见解析
【分析】（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；
（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．
【详解】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，
故选：B．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．
故答案为：(1)(3)(5)．
（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；
②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；
③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；
即命题中①③正确，
故选：C．
（4）图形如图所示：
【点睛】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90度．
(1)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为的是________（写出所有正确结论的序号）；
①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形
(2)写出一个多边形，它是旋转对称图形，有一个旋转角为，并且满足：既是轴对称图形，又是中心对称图形：________；
(3)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽发现的“弦图”，它是由四个大小相等，形状相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图2），设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，最长的斜边为．
①此正方形会标是旋转对称图形吗？________；（是或不是）
②根据图2猜想、、之间的数量关系，并说明理由；
③若图2中大正方形的面积是25，小正方形的面积是4，现将四个直角三角形按如图3的形式重新摆放，那么图3中最大的正方形的面积为________．
【答案】(1)①③
(2)正十边形
(3)①是；②；理由见详解；③46
【分析】本题考查旋转对称图形，轴对称图形，中心对称图形及运用完全平方公式计算，掌握旋转对称图形的旋转角的计算方法是解题的关键．
（1）根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可；
（2）将当作最小旋转角，进行计算即可．
（3）①根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可；
②根据各图形面积之间的关系即可得出结论；③根据各图形面积之间的关系即可得出结论．
【详解】（1）解∶①．正三角形是旋转对称图形，它有一个旋转角为；
②，正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为或；
③，正六边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为；
④，正八边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为或或，
故答案为∶①③；
（2）解：，，正五边形满足有一个旋转角为是轴对称图形，但不是中心对称图形，正十边形有一个旋转角为，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故答案为：正十边形；
（3）解：①根据旋转对称图形的定义，此正方形会标是旋转对称图形，它有一个旋转角是，
故答案为：是；
②、、之间的数量关系为，
理由：边长为的正方形的面积可以表示为，
也可以表示为，即，
所以、、之间的数量关系为；
③图2中大正方形的面积是25，即，
小正方形的面积是4，即，
，
，
那么图3中最大的正方形的面积为，
故答案为：46.
3．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；
(2)求的长．
【答案】(1)旋转中心为点A，旋转角的度数为；
(2)．
【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质．
（1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小；
（2）由旋转的性质，，再根据为的中点，据此求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
∴，
∵当逆时针旋转一定角度后与重合，
∴旋转中心为点A，旋转角的度数为；
（2）解：由旋转得，，，
∵为的中点，
∴，
∴．
典例精讲1
典例精讲2
典例精讲3
典例精讲4
典例精讲5
典例精讲6
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