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2025年新八年级数学人教版暑假大讲堂
三角形的概念
知识点梳理
知识点1 三角形
1.三角形及其有关概念
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形。
三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角。
2.三角形的表示方法
一个三角形是由三条边和三个内角组成的，三角形的三个顶点分别为A、B、C，那么三角形可表示为，读作“三角形ABC”。
要点诠释：
构成三角形的三个基本条件：①不在同一条直线上；②三条线段；③首尾顺次相接.
知识点2 三角形的分类
(1)按角分类：
要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
(2)按边分类：
要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形.
知识点3、三角形三边关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边（理论依据：两点之间线段最短）.
推论：三角形任意两边的差小于第三边.
要点诠释：
判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（2）应用三角形的边的关系能够证明线段之间的不等关系.
题型1 三角形定义及构成要素
例1. （1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________；
（2）以为边的三角形有_________；
（3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角；
（4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角．
1.构成三角形的三个基本条件：①不在同一条直线上；②三条线段；③首尾顺次相接.
2.三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
3.三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角
针对训练1
1．下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3.（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形： ；
（2）如图，线段BC是 和 的边；
（3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ；
（4）如图，是 的外角．
题型2 三角形的分类
例2 .三角形按边可以分为： 三角形和不等边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形．
按边根据三角形边的长度关系进行划分，等边三角形属于等腰三角形的子类，因此在按边分类时通常归为两类
按角根据角是否大于90°划分，大于90°的是钝角三角形，等于90°的是直角三角形，小于90°的是锐角三角形.
针对训练1
1．如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
2．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
题型3 三角形三边的关系
例3 ..已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长．
判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
针对训练3
1．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．4，6，9 C．2，9，6 D．2，2，4
2．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①； ②．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ．
题型4 三角形三边关系的应用
例4.【问题探究】
数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系．
小明进行了以下探究；
已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边．
小红在小明的基础上进行了补充：
若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形．
【问题解决】
(1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围；
(2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值；
(3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围．
应用三角形的边的关系能够证明线段之间的不等关系.
针对训练4
1．已知的三边长分别为．
(1)化简：；
(2)若，第三边的长为奇数，判断的形状．
2．在如图所示的直角三角形中，斜边为，两直角边分别为，，设，，．
(1)试用所学知识说明，斜边是最长的边；
(2)试化简．
3．已知的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知一条边长为4，求其余两边长．
4．如图，在中，点在上，点在上．求证：．
题型5 三角形的稳定性及应用
例5．如图是太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是 ．
三角形由三条边首尾相连组成，当三条边的长度确定后，三角形的形状和大小完全唯一确定。这是因为在平面几何中，给定三条线段（满足三角形不等式），只能构成一个特定的三角形，不存在其他变形可能
针对训练5
1．如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性
C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短
2．如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性
3．下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（　　）
A． 太阳能热水器 B． 活动衣架
C． 三脚架 D． 篮球架
1．已知满足．
(1)求 的值；
(2)试问以为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
2．在等腰中，，一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长．
3．阅读材料：若，求m、n的值．
，
，
，
．根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值
4．设三角形三边长为a、b、c，且三边长满足方程组，试求的值．
2025年新八年级数学人教版暑假大讲堂
三角形的概念（解析版）
知识点梳理
知识点1 三角形
1.三角形及其有关概念
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形。
三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角。
2.三角形的表示方法
一个三角形是由三条边和三个内角组成的，三角形的三个顶点分别为A、B、C，那么三角形可表示为，读作“三角形ABC”。
要点诠释：
构成三角形的三个基本条件：①不在同一条直线上；②三条线段；③首尾顺次相接.
知识点2 三角形的分类
(1)按角分类：
要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
(2)按边分类：
要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形.
知识点3、三角形三边关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边（理论依据：两点之间线段最短）.
推论：三角形任意两边的差小于第三边.
要点诠释：
判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（2）应用三角形的边的关系能够证明线段之间的不等关系.
题型1 三角形定义及构成要素
例1. （1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________；
（2）以为边的三角形有_________；
（3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角；
（4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角．
1.构成三角形的三个基本条件：①不在同一条直线上；②三条线段；③首尾顺次相接.
2.三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
3.三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角
【答案】（1）6，，，，，，
（2），，
（3），，
（4），，；，
【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可．
【详解】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个；
（2）以为边的三角形有，，；
（3）分别是，，中，，边的对角；
（4）是，，的内角，是，的内角．
故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，．
针对训练1
1．下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．B
【分析】本题考查三角形的定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接得到的封闭图形是三角形解题即可．
【详解】解：首尾顺次相接得到三角形的是B选项，
故选：B．
2．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形，
故选：C．
3.（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形： ；
（2）如图，线段BC是 和 的边；
（3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ；
（4）如图，是 的外角．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角与外角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
根据三角形的定义，三角形的边与内角和外角，进行作答即可
【详解】解：（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形：；
故答案为：；
（2）如图，线段BC是和的边；
故答案为：；；
（3）如图，的3个内角是，三条边是；
故答案为：；；
（4）如图，是的外角．
故答案为：．
题型2 三角形的分类
例2 .三角形按边可以分为： 三角形和不等边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形．
按边根据三角形边的长度关系进行划分，等边三角形属于等腰三角形的子类，因此在按边分类时通常归为两类
按角根据角是否大于90°划分，大于90°的是钝角三角形，等于90°的是直角三角形，小于90°的是锐角三角形.
针对训练2
1．如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
【答案】．B
【分析】本题主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解．
【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形），
∴P是等腰三角形；Q是等边三角形，
∴只有乙说法正确，
故选：B．
2．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．C
【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
3．如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键.
根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可.
【详解】解：等边三角形的每一个内角均为，由图可知该三角形有一个内角为，故不可能为等边三角形，故选项D符合题意.
故选：D．
题型3 三角形三边的关系
例3 ..已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长．
判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
【答案】、、、或
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之差小于三边，两边之和大于第三边”，求出x的取值范围，即可解答．
【详解】解：设第三边的长为，
根据三角形的三边关系，，即，
∵第三条边长为偶数，
∴第三边是，，，，
第三边是时，该三角形的周长．
第三边是时，该三角形的周长．
第三边是时，该三角形的周长．
第三边是时，该三角形的周长．
第三边是时，该三角形的周长．
针对训练3
1．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．4，6，9 C．2，9，6 D．2，2，4
【答案】B
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查构成三角形的条件，判断两较短长度之和与较长的长度之间的大小关系，进行判断即可．
【详解】解：A．，不能构成三角形，不符合题意；
B．，能构成三角形，符合题意；
C．，不能构成三角形，不符合题意；
D．，不能构成三角形，不符合题意；
故选：B．
2．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】绝对值非负性、乘方的应用、加减消元法、确定第三边的取值范围
【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：，
，，
，，
，
，
故选：C．
3．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①； ②．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ．
【答案】 ① 9
【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、构成三角形的条件
【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解；
（2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解．
本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键．
【详解】解：（1）①，
能组成“不均衡三角形”；
②，
不能组成“不均衡三角形”．
故答案为：①．
（2）①当10为最长边，为最短边时，
，
解得：，
，
解得：，
故不合题意，舍去；
②当为最长边，为最短边时，
解得：，
，
解得：，
，
为整数，
故不合题意，舍去；
③当为最长边，10为最短边时，
解得：，
，
解得：，
，
为整数，
，可以构成三角形；
综上所述，x的整数值为9；
故答案为：9．
题型4 三角形三边关系的应用
例4.【问题探究】
数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系．
小明进行了以下探究；
已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边．
小红在小明的基础上进行了补充：
若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形．
【问题解决】
(1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围；
(2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值；
(3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围．
应用三角形的边的关系能够证明线段之间的不等关系.
【答案】(1)
(2)4
(3)
【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解、一元一次不等式组的其他应用、三角形三边关系的应用
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键．
（1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可；
（2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答；
（3）设，然后根据题意列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，，，
∴，解得：．
（2）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为，
由题意可得：，解得：，
∵一个三角形的三边长都是整数，
∴该三角形最短边的最小值4．
（3）解：设，
由题意可得：，解得：．
针对训练4
1．已知的三边长分别为．
(1)化简：；
(2)若，第三边的长为奇数，判断的形状．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、三角形的分类、三角形三边关系的应用
【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键；
（1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解；
（2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵的三边长分别为，
∴，
∴
；
（2）解：∵，
∴根据三角形三边关系可得，
∵第三边的长为奇数，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
2．在如图所示的直角三角形中，斜边为，两直角边分别为，，设，，．
(1)试用所学知识说明，斜边是最长的边；
(2)试化简．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、垂线段最短、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查线段长短比较及去绝对值问题，侧重考查知识点的记忆、理解、应用能力，解题的关键是掌握线段长度比较方法．
（1）利用垂线段最短即可确定出的长短关系，问题即可解答；
（2）由三角形三边关系可以得到，结合（1）即可去掉绝对值号，然后合并同类项解答题目．
【详解】（1）解：因为点与直线上点，的连线中，是垂线段，所以．
因为点与直线上点，的连线中，是垂线段，所以，
所以，，中，斜边最长．
（2）解：因为，，，
所以，，，
所以
．
3．已知的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知一条边长为4，求其余两边长．
【答案】其余两边长都为6
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，设的三边长分别为、、，其中，分为腰长或为底边两种情况进行分类讨论，即可作答．
【详解】解：为等腰三角形，且周长为，
设的三边长分别为、、，其中，
分两种情况：
当为腰长时，
底边，
，
不能构成三角形，故为腰长舍去；
当为底边时，
腰长，
为底边，为腰长符合三角形的三边关系，
．
则其余两边长都为6．
4．如图，在中，点在上，点在上．求证：．
【答案】见解析
【知识点】不等式的性质、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论．
【详解】证明：延长交于点，如图．
在中，，
，
即．
在中，，
，
即，
．
题型5 三角形的稳定性及应用
例5．如图是太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是 ．
三角形由三条边首尾相连组成，当三条边的长度确定后，三角形的形状和大小完全唯一确定。这是因为在平面几何中，给定三条线段（满足三角形不等式），只能构成一个特定的三角形，不存在其他变形可能
【答案】三角形具有稳定性
【分析】本题考查的是三角形的稳定性，根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是：三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
针对训练5
1．如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性
C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键．
根据图示，三角形的性质即可求解．
【详解】解：自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”，
选项A、选项C和选项D都与题干不符，
故选：B．
2．如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可．
【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形，
∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性．
故选：D．
3．下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（　　）
A． 太阳能热水器 B． 活动衣架
C． 三脚架 D． 篮球架
【答案】B
【分析】根据三角形的稳定性，逐一进行判断即可．
【详解】A、太阳能热水器的支架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意；
B、活动衣架是四边形，不具有三角形的稳定性，符合题意；
C、三脚架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意；
D、篮球架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查三角形的稳定性．熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
1．已知满足．
(1)求 的值；
(2)试问以为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
【答案】(1)，，．
(2)能构成三角形，周长为
【分析】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根），熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据非负数的性质可求出的值；
（2）根据，，，可得，即可根据三角形三边关系，得出以为边长能构成三角形，再把三角形三边相加即可求得周长．
【详解】（1）解：由题意得：，，，
解得：，，．
（2）解：∵，，．
∴，
∵，，
∴，
∴以为边长能构成三角形，
∴此时三角形的周长为．
2．在等腰中，，一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长．
【答案】这个等腰三角形的腰长为
【分析】设，，根据题意可的，然后分当、和、两种情况讨论，分别列方程组并求解，结合三角形三边关系即可获得答案．
【详解】解：设，，
∵为一腰上的中线，
∴，
∵中线将这个三角形的周长分成和两部分，
∴有两种情况：
①当，时，则有
，解得，
∴三边长分别为，，，且，
∴等腰三角形的腰长为；
②当，时，则有
，解得，
此时两腰之和，
故这种情况不存在．
综上所述，这个等腰三角形的腰长为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中线、二元一次方程组的应用、三角形三边关系等知识，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题，避免遗漏．
3．阅读材料：若，求m、n的值．
，
，
，
．根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值
【答案】(1)
(2)6
【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出与的值，即可求出的值；
（2）将已知等式25分为，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出与的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出的长．
【详解】（1），
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
又是正整数，
的边c的值2,3,4，5，6；
的边c的最大值6．
4．设三角形三边长为a、b、c，且三边长满足方程组，试求的值．
【答案】3
【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的应用，因式分解的应用，解方程组等知识，有一定的综合性；把方程组中第一个方程分别减去第二个、第三个方程，利用完全平方公式变形得：，左边利用十字相乘法分解因式即可求得的值．关键是由方程组得到．
【详解】解：，
得：，
即，
∴，
分解因式得：，
∴或，
∴或；
∵三角形三边长为a、b、c，
∴，
∴不符合题意，
∴
题型解析
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创新拓展能力提升
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