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2025年新八年级数学人教版暑假大讲堂
第二讲 与三角形的有关线段
知识点梳理
知识点1 三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
要点诠释：
（1）三角形的高是线段；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
知识点2 三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如图2，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.
图2 图3
要点诠释：
（1）三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
知识点3 三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
要点诠释：
（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
题型1 画三角形的高
例1．．画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（　　）
A. B.
C. D.
三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段
针对训练1
1．下列四个图形中，线段是中边的高的是（ ）
A． B．
C． D．
2．嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
(1)作边上的高；
(2)过点作直线的垂线，垂足为；
(3)点到直线的距离是线段_______的长度；
(4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可）
题型2 根据三角形的高进行计算
例2．如图，线段在轴上，将线段平移，得到线段，点的对应点恰好落在轴的正半轴上，连接，，若点，，，．
(1)求点的坐标；
(2)点在轴上，若三角形的面积等于18，求点的坐标；
(3)点是线段的中点，连接，将线段向下平移5个单位长度，得到线段，点，的对应点分别是，，若三角形的面积等于8，求的值．
1.已知底和面积求高：这是最直接的方法，适用于已知三角形底边长度和面积的情况
2.已知边长和角度求高:适用于已知三角形两边及夹角或三边长度的情况
针对训练2
1．如图，、是的两条高，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在直角三角形中，．则：
（1）点B到的距离是 ；
（2）若P是线段上的一个动点，则的最小值为 ．
3．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 .
题型3 根据三角形的中线求长度
例3．如图，在中，是中线，，．
(1)求与的周长差．
(2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长．
中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
针对训练3
1．如图，为的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？
2．如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
(1)画出中边上的高；
(2)画出中边上的中线；
(3)直接写出的面积为______．
(4)，直接写出______．
3．如图，是的中线，的周长为，求的长．
题型4 根据三角形的中线求面积
例4 .【发现与探究】三角形的重心
三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，．
(1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ；
(3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积．
三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心
针对训练4
1．如图，是的中线，是的中线．若，求的面积．
2．如图，点E在上，点D在上，且，与交于点F，四边形的面积为22，则三角形的面积是多少？
3．如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题：
(1)画边上的高；
(2)点到直线的距离是线段______的长度；
(3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出．
(4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______．
题型5 三角形的角平分线
例5 .如图：中，点D在上，且，E是的中点，交于点F.

(1)写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线？
(2)若，且的面积为3，求出的面积.
1.一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
2.可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
针对训练5
1．已知．
(1)画出的中线和角平分线；
(2)画出的高，．
2．如图，与相交于点E， ，．
(1)若，求的度数；
(2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分．
3．完成下面的证明过程．
已知：如图，，求证：平分．
证明：（已知），
（ ），
（ ），
又（已知），
（ ），
平分（ ）
创新拓展能力提升
1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点．
(1)请画出平移后的，并写出点的坐标_______；
(2)若点P是内的一点，当平移到后，其对应点的坐标为，则点P的坐标为_______；
(3)求的面积．
2．如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，．
(1)求，的长；
(2)求的长；
(3)直接写出的周长．
3．阅读与思考
下面是小文同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
构造同高三角形解决图形的面积问题根据三角形中线的定义，可以证明中线将原三角形分成面积相等的两个三角形，我们还知道，只要两个三角形的高相同，那么他们的面积比等于底边之比，利用这两个结论可以在多边形中探索有关面积的问题，下面是我的思考过程：【发现结论】如图1，在中，点D是线段上任意一点，连接．过点A作于点E，．【特例探究】如图2，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点，连接、．若四边形的面为S，则．证明思路如下：连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，……【一般探究】如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点B和点D最近的n等分点，连接、，若四边形的面积为S，则与S的关系为______．
任务：
(1)请将【特例探究】的过程补充完整；
(2)【一般探究】中的结论为与S的关系为：______．
(3)如图4，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是、、、、、、、边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是______．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中满足，将点向左平移16个单位长度得到点．当线段上的动点从点以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点同时从点以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为．问：
(1)求点的坐标．
(2)点，点在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由．
(3)是否存在某个时间，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
2025年新八年级数学人教版暑假大讲堂
第二讲 与三角形的有关线段（解析版）
知识点梳理
知识点1 三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
要点诠释：
（1）三角形的高是线段；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
知识点2 三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如图2，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.
图2 图3
要点诠释：
（1）三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
知识点3 三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
要点诠释：
（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
题型1 画三角形的高
例1．．画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（　　）
A. B.
C. D.
三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段
【答案】D
【解析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．
解：过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D．
故选：D．
针对训练1
1．下列四个图形中，线段是中边的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点B作，垂足为E，其中线段是的高，再结合图形进行判断即可．
【详解】解：线段是中边的高的图是
故选：A．
2．嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高，理解“从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．”是解题的关键．
【详解】
解：三角板摆放位置正确，
故选：D．
3．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
(1)作边上的高；
(2)过点作直线的垂线，垂足为；
(3)点到直线的距离是线段_______的长度；
(4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可）
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析；
(3)；
(4)，；
【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离．
过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高；
过点作线段，垂足为点，线段即为所求；
点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度；
因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离．
【详解】（1）解：如下图所示，
线段即为边上的高；
（2）解：如下图所示，
（3）解：点到直线的距离是线段的长度，
故答案为：；
（4）解：线段的长度表示点到直线的距离，
故答案为：，；
题型2 根据三角形的高进行计算
例2．如图，线段在轴上，将线段平移，得到线段，点的对应点恰好落在轴的正半轴上，连接，，若点，，，．
(1)求点的坐标；
(2)点在轴上，若三角形的面积等于18，求点的坐标；
(3)点是线段的中点，连接，将线段向下平移5个单位长度，得到线段，点，的对应点分别是，，若三角形的面积等于8，求的值．
1.已知底和面积求高：这是最直接的方法，适用于已知三角形底边长度和面积的情况
2.已知边长和角度求高:适用于已知三角形两边及夹角或三边长度的情况
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移规律，三角形面积的计算，熟练掌握平移规律，是解题的关键．
（1）根据平移得出轴且，根据点，求出，根据，求出点C的坐标即可；
（2）设，根据三角形面积，得出，求出n的值，即可得出答案；
（3）根据是中点，得出，根据平移得出，，过作轴于点，即轴，根据三角形面积梯形面积三角形面积三角形面积，列出方程，解关于m的方程即可．
【详解】（1）解：∵线段在轴上，线段平移，得到线段，
∴轴且，
又∵点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵点在轴上，
∴设，
∴三角形面积，
即，
解得或，
∴或；
（3）解：∵，，是中点，
∴点的横坐标为，纵坐标为0，
∴即，
∵线段向下平移5个单位长度得到线段，
∴，，
过作轴于点，即轴，
∴，，，，
∴三角形面积梯形面积三角形面积三角形面积，
即，
∴，
解得：．
针对训练2
1．如图，、是的两条高，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程．
根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可．
【详解】解：∵、是的两条高，
∴，
又∵，，，
∴
∴，
∴，
故选：A．
2．如图，在直角三角形中，．则：
（1）点B到的距离是 ；
（2）若P是线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】 6 //
【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到．（1）点B到的距离是即可得出答案；（2）当时，线段的值最小值，利用三角形面积求出结果即可．
【详解】解：（1），
点B到的距离是；
（2）当时，线段的值最小值，
，
，
，
，
∴线段的最小值是，
故答案为：6；．
3．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 .
【答案】28或8
【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，属于基础题；分两种情况考虑：分高在三角形内与三角形外，根据题意求得，则由三角形面积公式计算即可．
【详解】解：当高在三角形内时，如图，
∵，，
∴，
∴；
当高在三角形外时，如图，
则，
∴；
综上，的面积为28或8．
故答案为：28或8．
题型3 根据三角形的中线求长度
例3．如图，在中，是中线，，．
(1)求与的周长差．
(2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长．
中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答；
（2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长．
【详解】（1）解：的周长，的周长，
∵是中线，
∴，
∴与的周长差：；
（2）解：由图可知：的周长，四边形的周长，
又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点，
∴，，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴．
针对训练3
1．如图，为的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握．
（1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解；
（2）根据三角形高线的定义作出即可；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）解：为的中线，
，
，
，
的周长，
，
的周长；
（2）解：如图，即为中边上的高，
（3）解：设点到边的距离为
为的中线， 为的中线，
，
，
，
，
点到边的距离为．
2．如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
(1)画出中边上的高；
(2)画出中边上的中线；
(3)直接写出的面积为______．
(4)，直接写出______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键．
（1）利用网格特征作，再利用平移的性质作交于点D，即可得到答案；
（2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案；
（3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案；
（4）利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，为所求；
（2）解：如图所示，为所求；
（3）解：；
（4）解：∵，，
∴．
3．如图，是的中线，的周长为，求的长．
【答案】2
【分析】本题主要考查三角形中线的计算，掌握中线的定义是关键．
根据三角形的周长得到，由中点的定义得到，由此即可求解．
【详解】解：∵的周长为，，
∴，
又∵是的中线，
∴点是的中点，
∴，
∴．
题型4 根据三角形的中线求面积
例4 .【发现与探究】三角形的重心
三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，．
(1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ；
(3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积．
三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心
【答案】(1)，见解析
(2)相等，；
(3)
【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可．
（1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出；
（2）由（1）中的结论即可得出；
（3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：
由题意可知，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为．
∵
∴，即
故答案为；相等，； ．
（3）解：是的重心，
，
，
，
．
针对训练4
1．如图，是的中线，是的中线．若，求的面积．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键．
本题利用中线的性质，即中线将三角形分为两个面积相等的部分，来求解的面积．
【详解】解：是的中线，，
，
是的中线，
．
2．如图，点E在上，点D在上，且，与交于点F，四边形的面积为22，则三角形的面积是多少？
【答案】三角形的面积是45 ．
【分析】本题考查三角形的面积．熟知三角形的面积公式是解答此题的关键．
设面积为s（），由，，可得，，
继而推导出，
，由四边形的面积为22，即可解答．
【详解】连接，如图
设面积为s（）．
∵，
∴
∵，
∴，
∵四边形的面积为22cm2，
∴，
，
∵+=，
∴，
∴s=45（）
答：三角形的面积是45．
3．如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题：
(1)画边上的高；
(2)点到直线的距离是线段______的长度；
(3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出．
(4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)中线
(4)30
【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据三角形的高的定义画图即可；
（2）根据点到直线的距离的定义求解即可；
（3）由题意可得，则线段是的中线；
（4）由题意可得，则进而可得， ， 则
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：点到直线的距离是线段的长度，
故答案为：；
（3）解：如图，
∴线段是的中线，
故答案为：中线；
（4）解：，
，
故答案为：．
题型5 三角形的角平分线
例5 .如图：中，点D在上，且，E是的中点，交于点F.

(1)写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线？
(2)若，且的面积为3，求出的面积.
1.一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
2.可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
【答案】(1)是的角平分线，是的角平分线，是的中线，是的中线
(2)18
【分析】（1）根据三角形角平分线、中线的定义即可求解；
（2）根据三角形中线的性质求解．
【详解】（1）解：由题意知，是的角平分线，是的角平分线，是的中线，是的中线．
（2）解：的面积为3，E是的中点，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形有关的线段，三角形中线的性质，解题的关键是掌握“等高三角形的面积比等于底边长度之比”．
针对训练5
1．已知．
(1)画出的中线和角平分线；
(2)画出的高，．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画三角形的高线、中线和角平分线，
（1）先找出的中点，连接即可得出的中线；画出的平分线即可；
（2）过点作，垂足为点，延长，过点作，垂足为点，即可得出高线．
【详解】（1）解：即为所求作的中线，为所求作的角平分线，如图所示：
（2）解：、为所求作的高线，如图所示：
2．如图，与相交于点E， ，．
(1)若，求的度数；
(2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由，得，根据两直线平行内错角相等，即可求解；
（2）由得，由，得，进而得，根据，，可得平分．
本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即平分．
3．完成下面的证明过程．
已知：如图，，求证：平分．
证明：（已知），
（ ），
（ ），
又（已知），
（ ），
平分（ ）
【答案】；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；角平分线定义
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行同位角，内错角相等，通过等量代换可得，根据角平分线定义即可得出结论．
【详解】证明：（已知），
（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
（等量代换），
平分（角平分线定义），
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；角平分线定义．
创新拓展能力提升
1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点．
(1)请画出平移后的，并写出点的坐标_______；
(2)若点P是内的一点，当平移到后，其对应点的坐标为，则点P的坐标为_______；
(3)求的面积．
【答案】(1)图见解析，
(2)
(3)
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟练掌握点的平移规则，是解题的关键：
（1）根据点和点的坐标，确定平移规则，进而画出，再写出点的坐标即可；
（2）根据平移规则确定点P的坐标即可；
（3）分割法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：由图可知，，
∴点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到，如图：
由图可知：
（2）解：由题意，点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到，
∴；
（3）解：的面积为：．
2．如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，．
(1)求，的长；
(2)求的长；
(3)直接写出的周长．
【答案】(1)，
(2)
(3)的周长为30
【分析】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键．
（1）根据三角形中线的定义求出的长度即可；
（2）根据题意得出，确定，
（3）利用三角形的周长公式计算周长即可．
【详解】（1）解：∵分别是边上的中线，
∴点分别为的中点．
∵，，
∴，．
（2）解：∵的周长比的周长长2，
∴，
由（1）得，
∴，
（3）解： 由（1）（2）得，，，
∴的周长为：．
3．阅读与思考
下面是小文同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
构造同高三角形解决图形的面积问题根据三角形中线的定义，可以证明中线将原三角形分成面积相等的两个三角形，我们还知道，只要两个三角形的高相同，那么他们的面积比等于底边之比，利用这两个结论可以在多边形中探索有关面积的问题，下面是我的思考过程：【发现结论】如图1，在中，点D是线段上任意一点，连接．过点A作于点E，．【特例探究】如图2，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点，连接、．若四边形的面为S，则．证明思路如下：连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，……【一般探究】如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点B和点D最近的n等分点，连接、，若四边形的面积为S，则与S的关系为______．
任务：
(1)请将【特例探究】的过程补充完整；
(2)【一般探究】中的结论为与S的关系为：______．
(3)如图4，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是、、、、、、、边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】(1)
(2)
(3)75
【分析】本题是四边形综合题目，考查了三角形面积、三角形的中线性质以及多边形面积等知识，本题综合性强，得出一般探究中的面积关系是解题的关键，属于中考常考题型．
（1）连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，根据，，，，，则，；
（2）连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，由模型得，，再由，，即可陈经理；
（3）连接、、，由（2）得：，同理，，，，再由，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，
点、分别是边、上离点和点最近的三等分点，
，，
∵，，，，
，，
，，
∴
．
（2）解：如图，连接，，过点C作于点P，过点A作于点Q，
点、分别是边、上离点和点最近的等分点，
，，
∵，，，，
，，
，，
，
即．
故答案为：．
（3）解：如图，连接、、，
由（2）得：，
同理，，，，
，
，
故答案为：75．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中满足，将点向左平移16个单位长度得到点．当线段上的动点从点以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点同时从点以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为．问：
(1)求点的坐标．
(2)点，点在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由．
(3)是否存在某个时间，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)和的面积比不会改变，始终等于
(3)
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值即可解决问题．
（2）分别求出和的面积即可解决问题．
（3）根据四边形的面积小于四边形面积的一半，构建不等式解决问题即可．
【详解】（1）解：根据题意得，，
，，
∵将点 B 向左平移 16 个单位长度得到点 C，
；
（2）解：，
∴点 M，N 始终在，上运动，
当运动时间为 t 时，，，
则，
，
由图可知：，
，
和的面积比不会改变，始终等于．
（3）解：由图可知， ，，
，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，三角形的面积，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
A
B
D
C
典例精讲
名师支招
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