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2025年新八年级数学人教版暑假大讲堂
第五讲 三角形的外角
知识点梳理
知识点1 三角形外角的定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图∠ACD是△ABC的一个外角。
要点诠释：
2.三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形诠释的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线。
知识点2 三角形的外角的性质（三角形内角和定理的推论）
1.①文字叙述：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
②.几何语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B
2.三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角.
要点诠释：
三角形外角性质的核心是外角与内角的和关系
知识点3 三角形的外角和
1.文字叙述：三角形的外角和等于360°。
2.几何语言：∵ ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角
∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=360 °
要点诠释：
1.三角形的每个顶点处有两个外角（互为对顶角），因此整个三角形共有6个外角。
2.外角和的定义
当我们提到“三角形的外角和”时，通常指在每个顶点处各取一个外角（即不重复计算对顶角），其和为360°。
题型1 三角形外角的定义
4．下图中∠1是三角形一个外角的是（ ）
A． B．
C． D．
三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形诠释的一边；③另一边是三角形中一边的延长线。
针对训练1
1．如图，下列角中是的外角的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算错误的是（ ）
A．不是三角形的外角 B．是三角形的外角
C． D．
3．下列各图中，是的外角的是（ ）
A． B．
C． D．
题型2 三角形外角性质
例2．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．
解决问题：
(1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______；
②如图③，平分，平分，若，求的度数；
③如图③，平分，平分，若，则______．
三角形外角性质的核心是外角与内角的和关系
针对训练2
1．如图，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，折射光线与经过光心O的光线相交．若，则 ．
2．如图1是消防云梯作业图，图2是小明绘制的示意图．示意图由救援台、延展臂（B在左侧）、伸展主臂、支撑臂构成．在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平，图中所有的点在同一竖直平面内，已知延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，则这时展角的度数为 ．
3．如图，已知，，，，求的度数．
题型3 三角形的外角和
例3．安阳某初中数学小组在学习了“三角形外角和”后，就证明问题进行了探讨：
已知：如图，是的三个外角．求证：．
(1)该小组的明明进行了如下的证明，请你补充完整：
证法1：是的一个外角，________________．同理，．．．∵________________，．
(2)本题还有另外一种证明方法，请你给该小组展示出来．
当我们提到“三角形的外角和”时，通常指在每个顶点处各取一个外角（即不重复计算对顶角），其和为360°
针对训练3
1．一个三角形的三个外角之比为，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
2．若一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则该三角形为（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．若三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则此三角形内角分别为
题型4 三角形外角的综合应用
4．【初步认识】
（1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______；
【继续探索】
（2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系．
三角形外角内角综合题型解题步骤
1.分析已知条件 ：明确已知角是内角还是外角，以及它们之间的关系（相等、互补等）。
2.选择合适方法 ：根据条件选择内角和定理、外角性质或辅助线方法，建立方程或等式求解。
3.验证结果 ：计算出所有未知角后，代入原题验证角度关系是否成立
针对训练4
1．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线为的“美丽线”．
（1）如图2，在中，，，请利用直尺和量角器在图2中画出的“美丽线”（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）；
（2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系．下面是对这个问题的部分探究过程：
设为的“美丽线”，点D在边上，则与中各有两个相等的内角．
【探究1】
如图3，当时，因为，所以________，且为锐角，则为钝角，所以在中，．由此可以得到与的关系为________，其中的取值范围为________．
【探究2】
借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系．
2．已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E．
(1)试说明；
(2)若，试着求出的度数；
(3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）．
3．如图，为的角平分线，点为上的点，过点作交的延长线于点．若，，求的度数．
创新拓展能力提升
1．如图，已知在中，．
(1)请在图中画出的边上的高；
(2)已知E为边上一点．
①若是中线，，则与的周长差为_____________；
②若，求的度数．
2．（1）如图（1），DE∥AB，求证：三角形的三个内角（即、、）之和等于；
（2）如图（2），求证：；
（3）如图（3），，，交的平分线于点，，求．
3．【结论发现】
田田在完成教材的试题后发现：三角形一个内角的平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形的第三个内角度数的一半．
【结论应用】
（1）如图1，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，则的度数为______．
（2）如图2，在中，，延长至点，延长至点，，的平分线与的平分线及其反向延长线分别交于点，，求的度数．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，平分，平分外角，连接．已知，，请直接写出的度数．
2025年新八年级数学人教版暑假大讲堂
第五讲 三角形的外角（解析版）
知识点梳理
知识点1 三角形外角的定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图∠ACD是△ABC的一个外角。
要点诠释：
2.三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形诠释的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线。
知识点2 三角形的外角的性质（三角形内角和定理的推论）
1.①文字叙述：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
②.几何语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B
2.三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角.
要点诠释：
三角形外角性质的核心是外角与内角的和关系
知识点3 三角形的外角和
1.文字叙述：三角形的外角和等于360°。
2.几何语言：∵ ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角
∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=360 °
要点诠释：
1.三角形的每个顶点处有两个外角（互为对顶角），因此整个三角形共有6个外角。
2.外角和的定义
当我们提到“三角形的外角和”时，通常指在每个顶点处各取一个外角（即不重复计算对顶角），其和为360°。
题型1 三角形外角的定义
4．下图中∠1是三角形一个外角的是（ ）
A． B．
C． D．
三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形诠释的一边；③另一边是三角形中一边的延长线。
【答案】D
【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可．
【详解】解：由三角形外角的定义，可知，D选项中的∠1是三角形一个外角，其他的都不符合题意；
故选D．
针对训练1
1．如图，下列角中是的外角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角定义．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，由此即可得到答案．
【详解】解：图形中是的外角的是．
故选：B．
2．下列计算错误的是（ ）
A．不是三角形的外角 B．是三角形的外角
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的外角性质结合图形解答即可．
【详解】解：A、∠1不是三角形ABC的外角，正确，故A选项不符合题意；
B、∠ACD是三角形ABC的外角，正确，故B选项不符合题意；
C、∠ACD＝∠A＋∠B，错误，故C选项符合题意；
D、∠B＜∠1＋∠2，正确，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
3．下列各图中，是的外角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】三角形一个角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做这个三角形的外角. 根据三角形外角定义：逐个选项分析判断即可.
【详解】三角形一个角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做这个三角形的外角.
由定义可知，选项D中的是的外角，其余选项中的都不是的外角.
故选D
【点睛】本题考查三角形外角定义，熟练掌握该定义是解题关键.
题型2 三角形外角性质
例2．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．
解决问题：
(1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______；
②如图③，平分，平分，若，求的度数；
③如图③，平分，平分，若，则______．
三角形外角性质的核心是外角与内角的和关系
【答案】(1)，理由见解析
(2)①50；②85；③
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
（1）根据题意过点A，D作射线，利用三角形外角性质即可得出答案．
（2）①由（1）得：，即可得出答案；②由（1）得： ，再结合角平分线的定义，可得，即可得出答案；③由（1）得： ，再结合角平分线的定义，可得，即可得出答案．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，过点A，D作射线，
由三角形外角的性质得：，
∵，
∴；
（2）解：①由（1）得：，
∵，，
∴；
故答案为：50
②由（1）得：，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
③由（1）得：，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
针对训练2
1．如图，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，折射光线与经过光心O的光线相交．若，则 ．
【答案】25
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等．设交于点G，根据平行线的性质，可得，再由三角形外角的性质，可得，然后根据对顶角相等，即可解答．
【详解】解：如图，设交于点G，
根据题意得：，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：25
2．如图1是消防云梯作业图，图2是小明绘制的示意图．示意图由救援台、延展臂（B在左侧）、伸展主臂、支撑臂构成．在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平，图中所有的点在同一竖直平面内，已知延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，则这时展角的度数为 ．
【答案】166
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．延长，，相交于点，则可得，延长交的延长线于点，利用平行线的性质可求得，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得的度数．
【详解】解：延长，，相交于点，则可得，延长交的延长线于点，如图：
平行，，
，
延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，
，
．
故答案为：166．
3．如图，已知，，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键，
由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】证明：，，，
，
∵，
（两直线平行，内错角相等）
，
，
（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
．
题型3 三角形的外角和
例3．安阳某初中数学小组在学习了“三角形外角和”后，就证明问题进行了探讨：
已知：如图，是的三个外角．求证：．
(1)该小组的明明进行了如下的证明，请你补充完整：
证法1：是的一个外角，________________．同理，．．．∵________________，．
(2)本题还有另外一种证明方法，请你给该小组展示出来．
当我们提到“三角形的外角和”时，通常指在每个顶点处各取一个外角（即不重复计算对顶角），其和为360°
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角形的外角性质结合三角形的内角和定理即可解答；
（2）注意到三角形的三个顶点处的6个角的和是，故可利用这个和减去三角形的内角和即可证明结论．
【详解】（1）证法1：是的一个外角，
，
同理，．
．
．
∵，
．
故答案为：，；
（2）证法2：．
．
．
．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
针对训练3
1．一个三角形的三个外角之比为，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】把这个三角形的外角和平均分份，最小角占总和的，根据分数乘法的意义求出三角形最大内角即可．
【详解】因为，
最小的外角为：，
与最小外角相邻的内角为：
所以这个三角形里最大的角是钝角，
所以这个三角形是钝角三角形．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形外角和定理，解题时注意：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．
2．若一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则该三角形为（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据三角形外角和为360°计算，求出内角的度数，判断即可．
【详解】解：设三角形的三个外角的度数分别为3x、4x、5x，
则3x+4x+5x＝360°，
解得，x＝30°，
∴三角形的三个外角的度数分别为90°、120°、150°，
对应的三个内角的度数分别为90°、60°、30°，
∴此三角形为直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的外角和，掌握三角形外角和为360°是解题的关键．
3．若三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则此三角形内角分别为
【答案】100°，60°，20°
【分析】可以设这三个外角分别是2x、3x、4x，再利用三角形外角和为360°，可得关于x的一元一次方程，解出x，那么可求三个外角，从而可求三个内角．
【详解】解：设三角形三个外角的度数分别为2x，3x，4x．
∵三角形的外角和是360°，
∴2x+3x+4x=360°，
解得：x=40°，
∴∴2x=80°，3x=120°，4x=160°，
∴三个内角依次为180°-80°=100°；180°-120°=60°；180°-160°=20°．
故答案为：100°，60°，20°．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形的外角和是360°这一条件．
题型4 三角形外角的综合应用
例4．【初步认识】
（1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______；
【继续探索】
（2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系．
三角形外角内角综合题型解题步骤
1.分析已知条件 ：明确已知角是内角还是外角，以及它们之间的关系（相等、互补等）。
2.选择合适方法 ：根据条件选择内角和定理、外角性质或辅助线方法，建立方程或等式求解。
3.验证结果 ：计算出所有未知角后，代入原题验证角度关系是否成立
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
（1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可；
（2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可；
【详解】解：（1）如图①，∵平分，平分，
∴，
∵，
∴；
如图②，∵平分，平分外角，
∴，
∵，，
∴，
整理得，，
故答案为：；．
（2）∵平分外角，平分外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
针对训练4
1．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线为的“美丽线”．
（1）如图2，在中，，，请利用直尺和量角器在图2中画出的“美丽线”（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）；
（2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系．下面是对这个问题的部分探究过程：
设为的“美丽线”，点D在边上，则与中各有两个相等的内角．
【探究1】
如图3，当时，因为，所以________，且为锐角，则为钝角，所以在中，．由此可以得到与的关系为________，其中的取值范围为________．
【探究2】
借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系．
【答案】（1）见详解
（2）【探究1】，，【探究2】或或
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，理解新定义“美丽线”是解题的关键．
（1）根据“美丽线”的定义结合三角形内角和定理，即可求解；
（2）探究1：根据“美丽线”的定义，结合三角形内角和定理分别求出的度数，再根据平角的定义可得结论，再由，可得的取值范围；
探究2：根据“美丽线”的定义，图形结合（图示见详解），分类讨论，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：（1）如图，直线即为所求；
（2）探究一：根据三角形的内角和定理可得，
利用三角形的外角定理可得，即，
整理得，
，
，
故答案为：，，；
探究二：
①如图所示，直线是的“美丽线”，
，
∵，
∴，
整理得；
②如图所示，直线是的“美丽线”，
，
是的外角，
；
③如图所示，直线是的“美丽线”，
，
；
综上，与的关系为或或．
2．已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E．
(1)试说明；
(2)若，试着求出的度数；
(3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)=
【分析】（1），为边上的高，得 ，，即得；
（2）根据， ，平分，可得；
（3）根据. . ，，即得．
【详解】（1）解：∵中，，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴.
∵，
∴.
∵平分，
∴，
∴.
∵，
∴，
即．
故答案为：=．
【点睛】本题考查了三角形内角和．熟练掌握直角三角形两锐角性质，角平分线定义，余角性质，三角形外角性质，是解题的关键．
3．如图，为的角平分线，点为上的点，过点作交的延长线于点．若，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，三角形外角性质，据三角形内角和定理计算出，再根据角平分线的性质得到，接着利用三角形外角性质得到，然后利用互余得到的度数，熟知相关概念是解题的关键．
【详解】解：，，
，
为的角平分线，
，
，
，
，
．
创新拓展能力提升
1．如图，已知在中，．
(1)请在图中画出的边上的高；
(2)已知E为边上一点．
①若是中线，，则与的周长差为_____________；
②若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形中线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知三角形的相关知识是解题的关键．
（1）过点A作交延长线于D，则即为所求；
（2）①由三角形中线的定义得到，再根据三角形周长计算公式列式求解即可；②由三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作交延长线于D，则即为所求；
（2）解：①∵是中线，
∴，
∴
，
∴与的周长差为；
②∵，
∴，
∴，
∴．
2．（1）如图（1），DE∥AB，求证：三角形的三个内角（即、、）之和等于；
（2）如图（2），求证：；
（3）如图（3），，，交的平分线于点，，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠F=29.5°．
【分析】（1）因为平角为180°，若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决；
（2）根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到∠DEB=119°，∠AED=61°，由角平分线的性质得到∠DEF=59.5°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1所示，在△ABC中，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠1，∠A=∠2（内错角相等）．
∵∠1+∠BCA+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°．
即三角形的内角和为180°；
（2）∵∠AGF+∠FGE=180°，
由（2）知，∠GEF+∠F+∠FGE=180°，
∴∠AGF=∠AEF+∠F；
（3）∵AB∥CD，∠CDE=119°，
∴∠DEB=119°，∠AED=61°，
∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，
∴∠DEF=59.5°，
∴∠AEF=120.5°，
∵∠AGF=150°，
∵∠AGF=∠AEF+∠F，
∴∠F=150°-120.5°=29.5°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
3．【结论发现】
田田在完成教材的试题后发现：三角形一个内角的平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形的第三个内角度数的一半．
【结论应用】
（1）如图1，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，则的度数为______．
（2）如图2，在中，，延长至点，延长至点，，的平分线与的平分线及其反向延长线分别交于点，，求的度数．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，平分，平分外角，连接．已知，，请直接写出的度数．
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键．
（1）设，由角平分线定义得，，，
，由三角形外角定理得，，，则，据此得，因此当时可得的度数；
（2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数；
（3）①延长，，并交于点，延长，，并交于点，先求出，，再得出，根据（1）得出，由此可得的度数．
【详解】解：（1）设，
平分，平分，
，，，
，，
整理得：，
当时，，
故答案为：；
（2）和是邻补角，
．
平分，平分，
，，
，
即，
．
由（1），可知，
．
（3）如图，延长，，并交于点，延长，，并交于点．
，，
．
由（1），可知，
，
．
典例精讲
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