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小结与复习
第3章 二次根式
一、二次根式的概念
1. 形如____(a≥0)的式子叫作二次根式；
2. 二次根式有意义的条件：被开方数（或式）
为 ；
3. 最简二次根式：
(1) 被开方数不含 ；
(2) 被开方数不含 .
非负数（或式）
开得尽方的因数（或因式）
分母
性质1： 具有双重非负性：
性质2：
性质3：
性质4：
性质5：
二、二次根式的性质
≥
≥
a
| a |
-a
a
三、二次根式的乘法和除法
1. 先化简为最简二次根式；
2. 然后合并被开方数相同的二次根式.
四、二次根式的加法和减法
1.乘法法则：
2.除法法则：
五、二次根式的混合运算
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的.
例1 使代数式 有意义的 x 的取值范围是
.
x≥ 且 x≠3
考点一 二次根式有意义的条件
【解析】分别求出使分式、二次根式有意义的 x 的取值范围，再求出它们解集的公共部分. 根据题意，有
3 - x≠0，2x - 1≥0，解得 x≥ 且 x≠3.
1. 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3
A
2. 若 则（ ）
A. x≥3 B. x≥0
C. 0≤x≤3 D. x 为一切实数
A
针对训练
例2 若 ，求 的值.
解：因为
所以 x－1 = 0，3x + y－1 = 0，解得 x = 1，y = －2.
则
【分析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 和 均为 0.
考点二 二次根式的性质
初中阶段主要涉及三种非负式： ≥0，| a |≥0，a2≥0. 如果若干个非负式的和为 0 ，那么这若干个非负式都必为 0. 这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一.
3.若实数 a，b 满足 则 .
1
针对训练
归纳总结
分析：化简此代数式的关键是能准确地判断 a，b 的符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
例3 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，请化简：
b
a
0
解：由数轴可以确定 a＜0，b＞0，
所以
所以原式= - a - (-a ) + b = b.
4. 若 1< a < 3，化简 的结果
是 .
2
针对训练
解：
当 时，
原式
例4 先化简，再求值： ，其中
考点三 二次根式的化简求值
【分析】：先利用分式的加减运算化简式子，然后代入数值计算即可.
5. 先化简，再求值： ，其中
解：原式
当 时，原式
针对训练
加、减、乘、除运算
二次根式
性质
最简二次根式
见教材章末练习

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