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3.1 二次根式的概念及性质
第3章 二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质
1.了解二次根式的定义；
2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件；
（重点）
3.掌握二次根式的两条重要性质．（重点、难点）
学习目标
问题1 什么叫作平方根
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数是 a 的一个平方根.
问题2 什么叫作算术平方根
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根. 用 表示.
问题3 什么数有算术平方根
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内,非负实数才有算数平方根.
(1) 2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的
思考
二次根式的概念及有意义的条件
1
2，3，5 的算术平方根分别为
(2) 用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度 (称为第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道，第一宇宙速度 v 与地球半径 R 之间存在如下关系：v = gR，其中 g 为重力加速度. 若已知地球的半径 R，则第一宇宙速度 v 是多少？(用带有根号的式子表示).
因为速度一定大于 0，所以第一宇宙速度 v＝.
(3) 比较 (1)(2) 的结果，它们在表达形式上有什么共同特征？
与 都是形如 的式子.
我们知道：每一个正实数 a 有且只有两个平方根，分别为 和 ，其中 称为 a 的算术平方根. 同时，在实数范围内，负实数没有平方根，
因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.
一般地，形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.
知识要点
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a 为被开方数或式，为保证其有意义，可知 a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数(或式)非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
归纳总结
例1 当 x 是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
解：由 x - 1≥0，得
x≥1.
当 x≥1 时， 在实数范围内有意义.
【变式题】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得 x - 1＞0，
所以 x＞1.
典例精析
解：因为被开方数需大于或等于零，
所以 3 + x≥0，所以 x≥-3.
因为分母不能等于零，
所以 x - 1≠0，所以 x≠1.
所以 x≥-3 且 x≠1.
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.
归纳
(2)多个二次根式相加：如 有意义的条件：
(1)单个二次根式：如 有意义的条件：A≥0；
(3)二次根式作为分式的分母：如 有意义的条件：
A＞0；
(4)二次根式与分式的和：如 有意义的条件：
A≥0且B≠0.
归纳总结
1.下列各式： .
其中一定是二次根式的有 （ ）
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
B
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值
范围是_______；
(2)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的
取值范围是___________.
x≥1
x≥0 且 x≠2
练一练
3.已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，b 满足 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
所以 a = 3. 所以 b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11．
若 ，则根据被开方数大于等于 0，可得 a = 0.
归纳
对于非负实数a，由于 是 a 的一个平方根，因此
＝a (a≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.
（a≥0）的性质
2
例2 计算：
解：
(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？
积的乘方：
(ab)2 = a2b2
典例精析
4. 计算：
解：
练一练
的性质
2
做一做
填空：
(1) ＝ ； (2) ＝ ；
(3) ＝ ； (4) ＝ .
由于 a 的平方等于 a ，因此 a 是 a 的一个平方根，当 a≥0 时，根据算术平方根的意义，有 = a，由此得出： = a ( a≥0).
2
1.2
2
1.2
由于 －a 的平方等于 a ，因此 －a 是 a 的一个平方根，当 a＜0 时，－a＞0，根据算术平方根的意义，可以得到： = = －a ( a＜0).
a (a≥0)，
a (a＜0).
综上可得：
即任意一个实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
例3 计算：
解：
，而3.14＜π，要注意 a 的正负性.
注意
例4 计算：
(1) ；
(2) .
解：(1) ＝|3－π|＝π－3.
(2) ＝||＝.
5.计算：
解:
辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
×
×
√
√
练一练
议一议：如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a 取任何实数
a
| a |
意义
表示一个非负数 a 的算术平方根的平方
表示一个实数 a 的平方的算术平方根
例5 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简：
解：由数轴可知 a＜0，b＞0，a - b＜0，
所以原式= | a | - | b | + | a - b |
= - a - b - (a - b)
= -2a.
a
b
2.式子 有意义的条件是 （ ）
A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
A
3.若 是整数，则自然数 n 的值有 （ ）
A. 7个 B. 8 个 C. 9 个 D. 10 个
D
4.当 x 为何值时， 在实数范围内有意义？
解：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数 x＋3≥0 和分母 x＋1≠0，
解得 x≥－3 且 x≠－1.
方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零.
5. 计算：
答案：3.
答案： .
6. 计算：
答案：7.
答案：3.
答案：0.01.
7.若 x，y 是实数，且 y＜ ，求 的值.
解：根据题意得
所以 x = 1.
因为 y＜ ，
所以 y＜
所以 .
二次根式
二次根式的概念
二次根式的表示
二次根式有意义的条件
被开方数≥0
→
性质
应用

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