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2026届高考数学大题系列：空间向量与立体几何
1．（2025·丰台模拟）如图，在四棱柱中，底面与侧面均为菱形，平面为的中点，与平面交于点．
（1）求证：为的中点；
（2）再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分．
2．（2025·眉山模拟）如图，在三棱锥中，，，分别是侧棱，，的中点，，平面.
（1）求证：平面平面；
（2）如果，，求二面角的余弦值.
3．（2025·临沂模拟）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为等边三角形，．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
4．（2025·浙江模拟）如图，在几何体中，四边形为等腰梯形，且，，四边形为矩形，且，M，N分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
5．（2025·开福模拟）在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
6．（2025·济宁模拟）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为的中点，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，直线与平面所成角的正切值等于2，求平面与平面夹角的余弦值.
7．（2025·肇庆模拟）如图，，，都是等边三角形，点D，E分别在平面的上方和下方，点为中点.
（1）求证：A，D，O，E四点共面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
8．（2025·绵阳模拟）如图1，等腰梯形中，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图的多面体，且.
（1）证明：四点共面；
（2）求的长；
（3）在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
9．（2025·靖远模拟）如图所示，在四棱锥中，平面为边上一点，且．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
10．（2025·宁波模拟）如图，在直三棱柱中，，，.是的中点，是与的交点.
（1）若是的中点，证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
11．（2025·靖远模拟）如图，在正方体中，为的中点.
（1）求证：.
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
12．（2025·湛江模拟）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是正方形，平面为的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
13．（2025·南充模拟）如图，在等腰梯形中，，，E是的中点，，将沿着翻折成.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
14．（2025·台州模拟）已知四棱锥，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形，，，AD=2，BC=1，，M是PD的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）当二面角的大小为时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值．
15．（2025·永州模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，是边长为2的等边三角形，F为BC的中点.
（1）证明：；
（2）若直线AP与DF的夹角的余弦值为，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
16．（2025·浙江模拟）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，M，N为别为棱PB，CD的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
17．（2025·岳阳模拟）如图，在圆锥中，为底面圆的一条直径，为底面圆周上不同于的两点，圆锥母线长为.
（1）若，平面与平面的交线为，证明：∥；
（2）若与平面所成角的正切值为，求的长.
18．（2025·清远模拟）如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点．设平面平面．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若平面与棱交于点，求的值．
19．（2025·绍兴模拟）如图，在四面体中，，记二面角为分别为的中点.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设在四面体内有一个半径为的球，若，求证：.
20．（2025·甘肃模拟）如图，在四棱锥中，是一个等边三角形，底面是平行四边形，且平面平面，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的正切值．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：在菱形中，，
因为平面平面，
所以平面．
又因为平面，平面平面，
所以，
又因为四棱柱中，，
所以四边形为平行四边形．
所以，
所以为的中点．
（2）解：选择条件①：
取中点，连接，
在菱形中，．
因为，
所以为等边三角形．
因为为中点，
所以，
故．
因为平面，且平面，
所以，
所以两两垂直．
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以
设平面的一个法向量为，
则，
则，
令，则，
则．
设，
所以．
设直线与平面所成角为，
所以，
解得，
所以存在符合条件的点．
选择条件②：
取中点，连接，
因为平面，且平面，
所以，
又因为，且平面，
所以平面．
又因为平面，
所以，
又因为为中点，
所以，
在菱形中，，
所以为等边三角形，
所以，
故，
所以两两垂直．如图建立空间直角坐标系，
则，
所以．
因为平面，
所以取平面的一个法向量为．
设，
所以．
设直线与平面所成角为，
所以，
解得，
所以存在符合条件的点．
2．【答案】（1）证明：因为，，分别是侧棱，，的中点，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：因为平面，平面，所以，
因为，所以，所以，
因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以，所以两两垂直，
以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
设平面的法向量为，则，取，
因为平面，所以，即平面的法向量为，
，
故二面角的余弦值.
3．【答案】（1）因为底面为矩形，所以，
又因为，所以，
又因为平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）取中点连接，因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图所示，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
从而，
设平面的法向量分别为，
从而，，
令，解得，
故可取，
设平面与平面夹角为，则，
故所求为.
4．【答案】解：（1）取的中点Q，连接，如图所示：
则，且，
又，且 ，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）由四边形为等腰梯形，且，，
可得，，所以，所以.
因为四边形为矩形，所以，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
即，所以.
因为，所以，所以.
则可建立如图所示的空间直角坐标系，
，
所以，
设为平面的法向量，
则，即，
取，则为平面的一个法向量，
又为平面的一个法向量，
所以
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
5．【答案】（1）证明：如图，分别取的中点，连接，
因为，
所以，
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
同理可知，平面，
因此且，
所以，四边形为平行四边形，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：因为，
所以，
所以，
以为原点，为轴，为轴，过且与平面垂直的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
由题意知，
，，
所以.
设平面的法向量为，
则
所以
令，则，
则平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则，
则直线与平面所成角的正弦值为.
6．【答案】（1）证明：取的中点为，连接，如图所示：
因为、分别为、的中点，所以，
又因为，所以，所以与必相交，
因为，所以，
又因为，且，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面`；
（2）解：设，分别为的中点，因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以，又，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
由（1）知平面，即为直线与平面所成的角，且，
设，则，，
因为平面，所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，取，
即平面与平面夹角的余弦值为.
7．【答案】（1）证明：连接DO、AO、EO，
因为，，都是等边三角形，
所以，
又因为在平面内交于点O，在平面内交于点O，
所以平面，平面，
又因为过O只有一个平面与垂直，且平面与平面有公共点O，
所以平面与平面是同一平面，
则A，D，O，E四点共面.
（2）解：连接DO、AO、EO，AD，
以OA，OB分别为x、y轴，以过点O且垂直于平面ABC的直线空间直角坐标系，
则，
因为是等边三角形，边长，点为中点，
所以，所以
又因为，设，
所以，解得，
所以，
因为是等边三角形，边长，点为中点，
所以，
又因为，设，
所以，解得，
由(1)得为二面角平面角，
设，则点，
故，
设平面的法向量为，
则，
取得，所以，
设直线与平面所成角为，
则
其中，
当时，取得最大值为，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值.
8．【答案】（1）证明： 将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，
因为平面平面，且，平面，
所以平面，且，
以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，
，
因为，所以，解得，
则，即，，
即，故四点共面；
（2）解：由（1）可得，则；
（3）解：由（1）知，，，，，
设，则，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
由平面平面，则，解得，
则，则，又，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
易得平面的一个法向量为，
则，
则平面与平面夹角的余弦值为.
9．【答案】（1）证明：以点为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
设平面的法向量为，
则
则
令，得，则
因为，
可得，
又因为平面，
所以平面
（2）解：易知，
设平面的法向量为，
则
所以
令，则，则．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：易知，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
10．【答案】（1）证明： 以坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
设平面的法向量，则，令，则，
因为，且平面，所以平面；
（2）解：由（1）得，设直线与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为.
11．【答案】（1）证明：以为原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
不妨设正方体的棱长为2，
则，
可得，
由，
得，
则.
（2）解：由（1）可得，
设平面的法向量为，
则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
则，
所以，直线与平面所成角的余弦值为.
12．【答案】（1）证明：连接，记的中点为G，连接，
因为平面，
所以，
由是正三角形，四边形是正方形，F为的中点，
易得，则，
因为G是的中点，所以，
又因为，所以，
因为，平面，
所以平面，
所以．
（2）解：记的中点为O，连接，则，
以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，
过点O且与平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨令，
则，
．
设平面的法向量为，
由
得
令，得，
则．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以，直线与平面所成的角正弦值为.
13．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
因为是的中点，且，所以，
又因为，所以四边形是平行四边形，同理可证四边形也是平行四边形，
又因为，所以四边形是菱形，所以，即，
将沿着翻折成 ，有， ，
又因为，平面，所以平面，
故平面；
（2）解：平面平面，平面平面，
平面，，所以平面，
平面，所以，
由（1）知，，即AE，，DM两两垂直，
以M为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知、均为等边三角形，
，，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，
令，得，即，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为；
（3）解：假设线段上存在点P，使得平面，
过点P作交于Q，连接MP，AQ，如图所示：
易知，即A，M，P，Q四点共面，
因为平面，平面AMPQ，平面平面，
所以，所以四边形AMPQ为平行四边形，所以，所以P是的中点，
故在线段上存在点P，使得平面，且.
14．【答案】（1）证明：如图，取的中点N，连接，
又因为M是PD的中点，
所以且，
又因为，AD=2，BC=1，
所以且，
所以四边形为平行四边形，故，
又因为平面，平面，
所以直线平面.
（2）解：取的中点E，连接，
因为三角形为等边三角形，
所以，且，
且，
所以四边形为平行四边形，，
因为，所以，
所以为二面角的平面角，
所以，
，
所以三角形为等边三角形，
因为平面，
平面，
所以平面，
作于点O，
因为平面，
所以，
又因为平面，
平面，
所以平面，
如上图所示，以O为坐标原点，以OC为x轴，
以平行于AD为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，
则，则，
显然平面的法向量为，
设直线CM与平面ABCD所成角为，
则，
故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为.
15．【答案】（1）证明：记的中点为，连接，
因为为菱形，，
所以为正三角形，
所以，
由为正三角形，
可得，
因为是平面内的两条相交直线，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）解：由（1）知，，过点作平面，
以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
因为平面，
所以点在坐标平面内，
设，，
则，
所以，，
因为直线AP与DF的夹角的余弦值为，
所以，
解得，
因为，
所以，
得，
所以，
设平面PAB的法向量为，
则，
令，得，
记直线PC与平面PAB所成角为，
则.
16．【答案】（1）证明：取AB中点E，连接ME、NE，
因为底面为矩形，N为CD的中点，所以，
平面PAD，平面，则平面，
因为M为PB中点，所以，
平面，平面，则平面，
因为且都在平面内，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
（2）解：由题，易知直线DA，DC，DP两两垂直，以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，，所以，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，，所以，
，所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17．【答案】（1）证明：因为为直径，
所以，且，
则且，
又因为，
所以，
则，且，平面，
可知，且平面平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以.
（2）解：方法一：由题意知，，
如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，
过与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，
可知，
设，
则，
可得
设平面的法向量为，
则，
令，则，可得，
设与平面所成角为，
则，
可得，且，
解得，
则，
整理得，解得，
则.
方法二：以点为坐标原点，所在直线分别为和轴，
在平面内过垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
设，可得，，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
设与平面所成角为，
则，
可得，且，
解得，
则
整理得，解得，
所以，
则.
18．【答案】（1）证明：连接，在中，
因为，分别为，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
又因为，
所以．
（2）解：设，连接，
因为为正四棱锥，
所以为正方形的中心，
所以，平面，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可知，，，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，
则，
令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
（3）解：连接，设，
所以，
因为，
所以，
由（2）知平面的法向量为，
所以平面的法向量为，
由平面，可知，
则，
解得，
所以．
19．【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
因为分别为的中点，所以，，
又因为，所以，
又因为 ，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：由（1）知是二面角的平面角，则，
以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，可取，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：与的面积为，
设在平面内的射影为，即平面，
因为平面，所以，又，平面，所以平面，
因为平面，所以，又，所以为二面角的平面角，
所以点到平面的距离，
因此四面体的体积为，
又因为，平面，所以，所以到直线的距离等于，
所以边的高，
所以的面积，
因为，所以的面积也为，
所以四面体的表面积为，
则四面体的内切球半径，即，即.
20．【答案】（1）证明：取的中点，连接，，如图所示：
因为是一个边长为2的等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，由，，解得，
在中，根据余弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，
则，即，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以；
（2）解：以为坐标原点，，所在直线为轴，轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，，则平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，即平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，为锐角，则，
，，
故平面与平面所成角的正切值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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