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2026届高考数学压轴题系列：数列问题
1．（2025·天津）已知为等差数列，为等比数列，，
（1）求的通项公式；
（2）， ，有，
①求证：， 均有；
②求中所有元素之和．
2．（2025·湖南模拟）若存在常数，使得数列满足，则称数列为“数列”．
（1）判断数列：1，3，5，10，152是否为“数列”，并说明理由；
（2）若数列是首项为2的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；
（3）若数列是“数列”，为数列的前项和，，，证明：．
3．（2025·湖南模拟）在数列中，，其前n项和为，且（且）.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
4．（2025·浙江模拟）定义：若对，，都有（j为常数，且），则称数列为“绝对等差数列”，常数j为数列的“绝对公差”．已知“绝对公差”数列所有项的和为E．
（1）若，，，请写出有序实数对的所有取值；
（2）若数列共有259项，且，，，求数列的通项公式；
（3）若j为奇数，数列共有2k（，）项，且，．证明：k为偶数，并写出一个符合条件的数列．
5．（2025·天河模拟）对于数集，其中，，定义“伴随向量集”．若对任意，存在，使得，则称A为“好集”．
（1）已知数集，请写出数集的“伴随向量集”，并判断是否为“好集”（不需要证明）；
（2）若有限集为“好集”，求证：，且当时，；
（3）若有限集为“好集”，且，求．
6．（2025·威海模拟）设集合且中所有的数从小到大排列构成数列，并将数列的各项依次按照上小下大，左小右大，第行共有项的原则，写成如下的数表．
（1）写出该数表第4行各项的数；
（2）求；
（3）设位于数表的第行，若，且该数列前项的和能被整除，求的最小值．
7．（2025·长沙模拟）对于有穷数列：，，…，，若存在，使得，则将数列进行操作变换T：将减1，加1，其余项不变，得到数列，记为．从开始进行次操作变换，依次得到数列，，…，，即，．
（1）已知数列：，，，，是否可以通过次操作变换得到如下数列？
①，，，；②，，，，
若可以，请写出一种满足题意的，，…，；若不可以，请说明理由；
（2）已知数列：，，…，是公差为的等差数列，若从开始进行次操作变换后得到数列：，，，，，求的所有可能值．
（3）已知数列：，，，，将数列进行次操作变换，直到这种操作不能再进行时为止，求的最大值．
8．（2025·眉山模拟）已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数.
（1）判断是否为上的非负函数，并说明理由.
（2）已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列.
（3）已知且，函数，若为上的非负函数，证明：.
9．（2025·义乌模拟）给定正整数，考虑集合的所有排列，对每个，定义：，并规定.记为所有排列中的最大值.
（1）对于排列，计算，再直接写出和的值，并分别给出一个满足的排列和一个满足的排列；
（2）对任意整数，证明：；
（3）证明：.
10．（2025·上虞模拟）已知数列满足：①，②，则称数列有性质Ω，数列称为“Ω数列”，记．
（1）若，写出的所有可能值（直接给出答案即可）；
（2）当，时，设；数列为等差数列．请判断p是q的什么条件？并说明理由；
（3）若Ω数列符合且，记集合．在中任取两个不同元素x，y，求：x且的概率最大值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，可得，解得，
则，；
（2）① 证明：由（1）可得或，，
当时，
设①，
②，
①-②可得，
即，为中的最大元素，
，
恒成立，
则， 均有；
② 解：由(i)可得，为中的最大元素，
由题意可得：，
其中，
则的所有元素的和中各项出现的次数均为：
次，
所以中所有元素的和为.
2．【答案】（1）解：若数列：1，3，5，10，152为“数列”，则，
即，因为成立，成立，
不成立，
所以1，3，5，10，152不是“数列”；
（2）解：由数列是首项为2的“数列”，则，，
设等比数列的公比为，
由①，可得②，
①-②可得，
即，
由数列是“数列”，则，对于，恒成立，
所以，
即对于，恒成立，
则
解得，，由，，则，即，
故所求的，数列的通项公式；
（3）证明：要证， 即证，因数列是“数列”，
则，
则要证，即证，
又，对于，恒成立，
因为，，则，再结合，，，
反复利用，可得对于任意的，，，
则要证：，即证，
设函数，则，令，解得，
当时，，则在区间单调递减，
因对于任意的，，，则，
即，，…，，
相加可得，即，故命题得证.
3．【答案】（1）解： 在数列中，，其前n项和为，且 ，
，代入，整理得，
即，
以上个式子相乘可得：，
当时，，符合上式，则；
（2）解：由（1）可得：，
①，
②，
①②得，
，
则，
由，可得，
，当且仅当时等号成立，，则的取值范围是.
4．【答案】（1）解：由题意可知，，所以或，
当时，因为，所以，所以；
当时，因为，所以或，
所以或，
所以有序实数对的取值情况为，，．
（2）解：由题可得，，，
所以，
累加得，即，
因为，所以上述不等式中的等号同时成立，
所以，，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，
所以（，）．
所以数列的通项公式（，）．
（3）证明：令，，所以，
因为，
所以，
又，所以
因为，且j为奇数，所以为偶数，
所以为偶数，
因为，所以为偶数，
又因为为奇数，所以k为偶数．
当为偶数时，．
5．【答案】（1）解：由“伴随向量集”的定义可得：；
，，，，，，
则对任意，存在，使得，故集合为好集；
（2）证明：取，因为集合是“好集”，所以存在，
使得，即，因为，所以，
因为，所以存在，或，，所以，
假设，取，因为集合是“好集”，所以存在，
使得，
因为，所以异号，
若，则，而，，所以不可能成立；
若，则，而，，所以不可能成立，
故假设错误，即，
又因为，且，所以；
（3）解：有限集为“好集”，且，，
所以.取，由 “好集”定义，存在，使得，
所以异号，
若，则，因为，，所以；
若，则，因为，，所以该式不成立，
类似的：考虑向量，，…，可得序列，，，…，都在集合中，
由.
6．【答案】（1）解：由题意知，第4行各项为，
所以第4行各项的数为17，18，20，24.
（2）解：由题意知，
第行各项为中对应的值，
设在第行，
则前行总项数，
解得，
则数表前9行共有项，
所以在第10行从左往右的第5项，
所以.
（3）解：数表第行所有项的和为：
，
设数表前行所有项的和为，
则
，
令，
则，
两式相减得
可得，
所以，
设为数表的第行的第项，
所以数列前项的和为：
，
由题意知，前行总项数，解得，
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
则，
又因为该数列前项的和能被整除，
所以，则，
所以，
可得，
所以，
可得的最小值为32，
所以的最小值为.
7．【答案】（1）解：由变换的定义可得，变换前的数列和变换后的数列的各项和相等，
所以①不可以，理由：注意到每一次操作变换T不改变的值，
而，故①不可以；
②可以，操作如下：：，，，，
：，，，，
：，，，；
（2）解：由于每一次操作变换不改变的值，也没有改变数列的项数，
故，，，，，是公差为的等差数列，
故数列为：，，，，，
当时，，
即每次操作后，新数列各项的平方和至少减少，且每次减少的数为偶数，
而，故每次操作后新数列各项的平方和至多减少，
记数列的所有项平方之和为，则，，于是，故，
当时，存在操作变换：：，，，，；：，，，，；：，，，，；
当时，存在操作变换T：：，，，，；：，，，，；：，，，，；：，，，，；
当时，存在操作变换T：：，，，，；：，，，，；：，，，，；：，，，，；：，，，，；
变换满足条件，由于每次变换只能改变两个数，故的第三项必须为，
所以可能为，，，，，或，，，，，或，，，，，或，，，，，
此时都不可能为，，，，．所以不可能，
综上，的所有可能值为，，；
（3）解：由题意，每一次操作变换不改变的值，也没有改变数列的项数，
而，因此操作停止时，数列：，，…，中应该含有个，个，
由（2）可知，由于每次操作后，新数列各项的平方和至少减少，
因为，
所以，，
，，
所以，
所以，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
记数列的所有项平方之和为，
则，
，于是，故，
下面证明：存在次操作变换满足题意，
若数列中的最大数与最小数之间的所有整数至少出现一次，则称该数列为“连续数列”，
则：1，2，…，20为连续数列，记其中的最大值为，最小值为（），
先对与操作，再对与操作，
然后对与操作，…，直到对与操作，
经过这样一轮操作后，数列中等于，的数减少一个，等于，的数增加一个，
并且此时数列依旧为“连续数列”．从：1，2，…，20开始反复进行上述操作，
直到不能操作为止，因每次操作恰使得，故操作次数恰好为次，
综上，的最大值为．
8．【答案】（1）解：是上的非负函数，
理由如下：
函数定义域为，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
则，故是上的非负函数；
（2）证明：函数定义域为，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
则，
因为为上的非负函数，所以，解得，则，
因为，所以为等差数列；
（3）证明：由，，，
当且，由，解得，则，
由，得，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，故，
由为上的非负函数，得，则，，
令，，则在上恒成立，
故在上单调递增，则，从而在上恒成立，
令，得，则，从而在上恒成立，
故，
当且仅当时，等号成立，
则.
9．【答案】（1）解：因为排列，
则，，，，
所以，
则对应排列为，对应排列为.
（2）证明：设原排列为，
交换最后两项得到新排列.
显然，即交换排列的最后两项不改变的总和，
考虑一般情况：设原排列为，
交换1和的位置后得到新排列，
显然，对于或的项，有，
因此只需比较和的大小，
设，分三种情况分析：
情况1：当时，有，
且，
情况2：当时，有，
且，
情况3：当时，有，且，
综上所述，在三种情况下都有，
即交换后总和不会减少，
对于任意排列，
构造其对称排列时，
对任意恒有，
因为将原排列中的1后移等价于在对称排列中将后移，
结合已证向右移动1不减少整个的总和，
所以向右移动也不减少总和，
因此，最优排列的构造中，将固定在末位同样能保证寻找到总和最大，
设原排列为，
前项中的和为
的和为，
固定项，
因此
（3）证明：设原排列为，
在前项中，的和为
的和为，
则固定项，
因此，
设，则，
不等式变为，
两边除以得，
定义：设，则递推关系为，
当时，，
则，
则.
10．【答案】（1）因为数列满足：①，②，
故由，得的可能取值为，
若，则可为；
若，则可为；
若，则可为；
综合所述，的可能取值为.
（2）p是q的充分不必要条件，即条件p能够推出条件q，但条件q推不出条件p，下面证明：先证明条件q推不出条件p，
因为为等差数列，且为数列，
因为，所以常数列：满足条件，
此时，故条件q推不出条件p，
再证明条件p能够推出条件q，
数列满足：①，②且，，
因为从到需要净增长2025
在项的约束下，要满足，，唯一可能的方式是每次增加1，
即该数列只能是：0，1，2，...，2025，因此“Ω数列”为等差数列，即条件p能够推出条件q，
综上所述，p是q的充分不必要条件，
（3），
当时，令（），
当为奇数时，数列：，
此时，，，，，．．．，
此时，
；
当为偶数时，数列：，
此时，，，，．．．，
此时，
；
对于所有：当为奇数时，；当为偶数时，为可能的最大值，
因此，概率的最大值为：
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