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2026届高考数学大题系列：圆锥曲线的方程
1．（2025·台州模拟）已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求直线l的方程；
（3）过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值.
2．（2025·浙江模拟）已知椭圆的离心率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知B，A是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于M，N两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且，证明：直线过定点；
（3）如图，点为椭圆上不同于A，B的任一点，在抛物线上存在两点R，Q，使得四边形为平行四边形，求的最小值.
3．（2025·北京市模拟）椭圆C：的右顶点为，离心率为
（1）求椭圆C的方程及短轴长；
（2）已知：过定点作直线l交椭圆C于D，E两点，过E作AB的平行线交直线DB于点F，设EF中点为G，直线BG与椭圆的另一点交点为M，若四边形BEMF为平行四边形，求G点坐标．
4．（2025·四川模拟）在平面直角坐标系中，将双曲线绕着轴旋转一周构成双曲面，其中在旋转过程中的所有实轴落在平面内，设所在的平面为，平面满足，且与之间的距离为.
（1）若点在上，试用含的方程表示（不用说明理由）.
（2）设分别是截得的截面.
（i）设分别为上的弦，求所在直线间的距离的取值范围；
（ii）已知截面的圆周上的点恰好构成正边形的顶点，为上一动点，若对任意恒成立，求的取值范围.
5．（2025·浙江模拟）已知双曲线（，）的焦距为，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）是否存在直线l，使得与的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；
（3）若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：为定值．
6．（2025·丰台模拟）已知椭圆的左顶点为，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，过点且斜率为的直线与椭圆的另一个交点为，线段的垂直平分线与轴交于点，与轴交于点．过点且与平行的直线与轴交于点．若与的面积之比为，求的值．
7．（2025·桐乡市模拟）在平面直角坐标系中，将每个点绕原点沿逆时针方向旋转角的变换称为旋转角为的旋转变换，设点经过旋转角的旋转变换后变成点，则
（1）在的旋转变换下，若点变成点，直线变成直线，求：的坐标和直线的斜率；
（2）已知曲线是由平面直角坐标系下焦点在轴上的抛物线绕原点逆时针旋转所得的斜抛物线的方程．
①求斜抛物线的焦准距；
②已知在斜抛物线上，按如下规则依次构造点列：过点作斜率为的直线交于点，再过点作斜率为的直线交于点，记的面积为．求证：．
8．（2025·威海模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为为上两点，线段AB中点的横坐标为，当轴时，．
（1）求的方程；
（2）当AB不垂直轴时，设线段AB的中垂线与轴的交点为，求．
9．（2025·海淀模拟）已知椭圆．设直线交椭圆于不同的两点、，与轴交于点．
（1）当时，求的值；
（2）若点满足且，求的大小．
10．（2025·眉山模拟）已知椭圆的离心率为，左右两顶点分别为，过点作斜率为的动直线与椭圆相交于两点.当时，点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点关于原点的对称点为，设直线与直线相交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.
11．（2025·义乌模拟）双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，.
（1）求双曲线的方程；
（2）点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积.
12．（2025·上虞模拟）已知抛物线的焦点到准线的距离是．
（1）求抛物线方程；
（2）设点是该抛物线上一定点，过点A作互相垂直的直线分别交抛物线C于点B，C，连接BC．
（ⅰ）求证：直线BC恒过一定点；
（ⅱ）过点A，B，C分别作切线，三条切线两两相交于P，Q，R，若的面积为，求直线BC的方程．
13．（2025·淄博模拟）已知抛物线：与双曲线：相交于点．
（1）若，求抛物线的准线方程；
（2）记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值．
14．（2025·江苏模拟）已知点，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且．
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在一条直线与曲线交于两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
15．（2025·金川模拟）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且.
（1）求抛物线的方程.
（2）证明：直线过定点.
（3）记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程.
16．（2025·朝阳模拟）已知椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与椭圆E交于不同的两点A，B，直线与直线交于点N，若（O是坐标原点），求k的值．
17．（2025·白银模拟）在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标均为整数，则称为格点，若曲线上存在3个格点构成三角形，则称为“3格曲线”.
（1）若椭圆为“3格曲线”，求的离心率；
（2）若椭圆上存在个格点，且从中任取3个格点构成三角形，设该三角形的一个顶点为的左顶点的概率为，求；
（3）若直线上存在2个格点，使得，其中为曲线：与轴正半轴的交点，求的值.
18．（2025·开福模拟）已知等轴双曲线，过作斜率为的直线，与双曲线分别交于两点，当时，.
（1）求双曲线的方程；
（2）若与双曲线的上、下两支相交，点，直线分别与双曲线的上支交于两点.
（i）求直线的斜率的取值范围；
（ii）设和的面积分别为，且，求直线的方程.
19．（2025·宜宾模拟）已知曲线，点，曲线上一点，直线与的另一个交点为.按照如下方式依次构造点，过作轴的垂线，垂足为，垂线与的另一个交点为.作直线，与的另一个交点为，直线与轴的交点为.记.
（1）若，求；
（2）求证：数列是等比数列，并用表示的通项公式；
（3）对任意的正整数与的面积之比是否为定值？若是，请用表示该定值；若不是，请说明理由.
20．（2025·广州模拟）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：因为抛物线：的焦点为，
所以，
所以抛物线.
（2）解：由题意知，直线的斜率存在，设，
则
可得，
因为线段的中点为，
所以，
所以，
则直线的方程为，即．
（3）解：设抛物线的切线方程为，
则，
所以，
由，可得，
则，
设直线的方程为，
联立，
则，
同理可得，
则 ，
所以点到直线线的距离为，
所以，
令，
因为，
所以，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，此时.
2．【答案】（1）解：由题意可知，，解得，
所以椭圆的方程为.

（2）证明：设直线的方程为，，，
联立，消x整理得，
所以，即，
所以，，
而，，所以，，
因为在椭圆上，所以，即，
所以，
所以，即
因为，在直线l上，所以，，
所以
，
所以，解得，此时，
所以直线的方程为，即直线过定点.
（3）解：由（1）知，设，，，连接，交于，
因为四边形为平行四边形，所以D为的中点且与轴既不垂直也不平行，
法一：，
所以，
所以，即①，
又因为，所以，所以，
所以直线的方程为，
联立得，
所以由，即②，
由①②得，
所以对任意的恒成立，
所以，解得，
所以p的最小值为.
法二：设，
联立，消整理得.
所以，
所以，即①，
所以，，
因为，，
所以，，
所以，
因为点，所以，
即，
令②，③，其中，，
由②得，代入③得，
代入①得，
解得，
因为，所以，
所以，所以，
所以p的最小值为.
3．【答案】（1）解：由题意可得，，
所以，
因为，短轴长，
所以，椭圆C的方程：.
（2）解：设直线AD的方程：，
即，
再设，，
由，
消去y，整理得，
则，
所以，，
则直线BD的方程：，
令，则，
所以，
所以
，
则直线BG的斜率为：
，
所以直线BG的斜率为，
所以直线BG的方程：，
因此，
则，
解得或，
所以，
当BEMF为平行四边形时，G为BM的中点，
则，
所以
4．【答案】（1）解：将双曲线绕着轴旋转一周，
在旋转过程中所有点的纵坐标保持不变，
将横坐标替换点在平面内的旋转半径，
则双曲面的方程为.
（2）解：（i）若共面，则，
如图1，过弦的中点作，垂足为，
过作，垂足为，
则所在直线间的距离为，
因为与之间的距离为，
所以，
则，
故，
若异面，如图2，
设，且，，
则
设向量满足且，
由，
可得，
解得，取，则，
又因为，设所在直线间的距离为，
则，
综上所述，所在直线间的距离的取值范围为.
（ii）设，
易知，
因为恰好构成正边形的顶点，
所以.
由，
可得，
则
.
由，
可得，
则
由恒成立，
可得.
则.
令，由，可得，
则.
因为，
所以，且当时，，
则，
故的取值范围为.
5．【答案】（1）解：由题意可知，，解得，
所以E的标准方程为．

（2）解：不存在，理由如下：
假设存在直线l，使得与的面积相等，则点B为PQ的中点，
设，，代入E的方程得：，
两式作差得，
因为点为PQ的中点，所以，，
所以，即直线l的斜率为，
所以直线，即，
此时，直线l与E的渐近线重合，与E没有交点，与已知矛盾，
所以不存在直线l，使得与的面积相等
（3）证明：易知直线l的斜率存在，设直线，
联立，得，
所以，解得且，
设，，所以，，
设，，又，所以，
令得，同理可得，
所以，
又
，
，所以，
所以MN的中点为，
因为，所以，
所以为定值．
另解：设，，又，所以，
令得，同理可得，
双曲线的方程化为：，即，
设直线，即，
联立得，
所以，
等式两边同时除以得：，
设，，易得满足方程，
则为方程两根，由韦达定理可得
，故，
所以MN的中点为，
因为，所以，
所以为定值．
6．【答案】（1）解：由题意，可得，
解得．
所以，椭圆的方程为．
（2）解：由题意，直线的方程为，
由，
得．
由题意，可得，
设，
则，
解得，
所以线段的中点为，
则线段垂直平分线的方程为：，
令，得，
所以．
令，得，
所以，
所以，
因为过点与直线平行的直线的方程为，
所以，
所以．
因为，
所以，
整理得，
若，则，
解得，
故；
若，则，
解得，
故，
综上所述，或．
7．【答案】（1）解：由题意可得，，解得，所以.
设上的任意一点为，旋转前对应的点为，
则，即，
所以，
所以，即，
所以，所以的斜率为.
（2）解：①设抛物线上的点为，旋转后对应的点为，
则即，
所以
，
所以，该抛物线的焦准距为，但旋转变换不改变焦准距，
故斜抛物线的焦准距为.
②由（1）可得对应的，
设曲线上有两个上有两个，其对应的点为，
则且，
则，
故
设对应的点为，对应的点为，则在抛物线上且，
，设，则，
又，且，整理得到，，
所以，
因为，所以，
所以，
因为n=1时，符合上式，所以.
又的方程为，即，
而，
而到直线的距离为，
所以的面积为
，
因为旋转变换不改变图形面积，所以，
所以.
8．【答案】（1）解：由题意知，
因为椭圆的离心率为，
可得，①
又因为轴且线段AB中点的横坐标为，
所以直线AB的方程为，
又因为，
所以A，B的坐标分别为，
代入椭圆的方程，可得，②
联立①②，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设，线段AB中点为，
直线AB的斜率为，
因为，
所以，
可得，
则，
所以，
可得，
因为线段AB的中垂线与轴的交点为，设，
所以，
所以，
解得，
所以.
9．【答案】（1）解：设点、，
当时，直线的方程为，
联立，
可得或，
所以.
（2）解：设点、，线段的中点为，
因为，
所以且，
联立，
可得，
则，
由韦达定理可得，，
则，
故点，
所以，，
，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
则.
10．【答案】（1）解：由题意可得：，
过点作斜率为的动直线方程为，
因为点到直线的距离为，所以，解得，则，，
故椭圆的标准方程；
（2）解：设，直线的方程为，此时，
联立，消去整理可得，
由韦达定理可得：，
不妨设，因为三点共线，则，即，
因为三点共线，则，，
，
，
所以，所以，
所以，所以.
11．【答案】（1）解：当直线与轴垂直时，，
所以，
则，
又因为双曲线的离心率为，
所以，
所以，
则双曲线的方程为：.
（2）解：设直线l的方程是，，，
由，
得，
则，.
因为，
所以，
所以，
所以，，
消去得，
解得，
它满足，，
则
所以点到直线的距离为，
所以，
因为，
所以，
则.
12．【答案】（1）抛物线的焦点为，准线为，
因为焦点到准线的距离是，所以，
所以抛物线方程为；
（2）因为点在抛物线上，所以，所以，
（ⅰ）设直线BC的方程为，，，
联立得，则，，
，，
因为，所以，所以，
又，，所以，
所以，
因为，，所以，
所以，所以，即，
所以，
所以直线BC恒过定点；
（ⅱ）
对两边求导的，所以，
在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，即，
在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，所以，
又，所以，
在点处的切线方程为，
设，
联立，得，则，
联立，得，则，
联立，得，则，
所以
，
点到直线的距离为，
所以，又，
解得，所以直线BC的方程的方程为.
13．【答案】（1）解：由，得，
将其代入，得，
所以抛物线的方程为，
其准线方程为.
（2）证明：由，
得，
由直线与相切，
得，
解得，
则切点，
由，
得，
由直线与相切，
得，解得，
则切点，
所以，
令，则直线的方程为，
因为，
由，得，
所以
则点到直线的距离为，
所以，
所以的面积为定值，该定值为.
14．【答案】（1）解：设点的坐标为，
则，，
由题意，可得，
化简得，
则曲线的方程为．
（2）解：（ⅰ）若直线的斜率存在，设直线，
由，
得，
则，
则，
设，，
则，，
因为以为直径的圆经过原点，
所以，
则，
所以，
整理得，
则，
设为点到直线的距离，
则，
所以，
又因为，
所以；
（ⅱ）若直线的斜率不存在，则，
不妨设，则，
代入方程，得，
所以，
则，
综上所述，存在这样的直线与曲线交于，两点，
以为直径的圆经过坐标原点，且．
15．【答案】（1）解：由题意可知：点在抛物线上，代入抛物线的方程可得，解得，
则抛物线的方程为 ；
（2）证明：由（1）可知点的坐标，设，
则，
由，得，所以，
，
.所以直线的方程为，
即，整理得，
又，
从而直线的方程为，化简得，
则直线过定点；
（3）解：由（2）知，设，易知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，
联立，消去整理可得，
由韦达定理可得，
因为，所以，
即，
当时，，化简得，
与直线的斜率不为0矛盾，不合题意；
当时，化简得，
，
即.又，
可得，所以，即，
所以点在直线上.
16．【答案】（1）解：由题意得
解得
所以，椭圆E的方程为．
（2）解：由，
得，
由，
得，
因为，所以．
设，
则，
不妨设点A在点B的上方，
因为，又因为，
此时，直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，
所以，
由题意可知，直线和的斜率都存在，分别设为和，
则．
因为，
所以，即．
由，
得，
所以，整理得，
又因为，
所以.
17．【答案】（1）解：由题意可知，椭圆的左顶点，右顶点是两个格点.
因为，所以的上，下顶点不为格点.
又因为为“3格曲线”，所以上至少存在一个异于椭圆顶点的格点，
所以，所以，
因为，即，解得，
所以的离心率.
（2）解：由（1）可知，当时，设是上的格点，且，
此时上有，共6个格点，
所以
当时，易知上有，共4个格点，则，
当时，易知上有，共2个格点，不符合题意，
综上所述，.
（3）解：因为是直线上的两个格点，所以，
显然，所以，即.
又，所以，
不妨设.
当，时，，且.
所以，得或k=0，
当时，
若，则，解得，
若，则，解得，
当时，，
若，则，解得，
若，则，解得，
综上所述，的值可能为或1或3或.
18．【答案】（1）解：当时，此时直线为，
代入双曲线方程可得，，
则，
所以，
解得，
所以，双曲线方程为.
（2）解：（i）依题意，直线的斜率存在，、
设，
不妨与上支交于点，则直线，
联立
得，
则，
所以，
注意到直线与上，下两支交于两点，
则，
所以，
注意到与双曲线上支交于两点，
所以，
则，
所以，
则，
因此
所以，
则直线的斜率的取值范围是.
（ii）设直线，其中，
联立
得，
则
则，
同理可得，
则
由（i）可知，，
则
所以，
则，
所以，
解得
则直线的方程为或.
19．【答案】（1）解：直线代入，可得，
设，则，所以，于是，
又因为，而直线方程为，代入可得，
设，则，所以，所以，
又因为，于是直线方程为，
令，得，所以，同理可得，
则；
（2）证明：设直线方程为，设，
由联立可得：，于是，
则有，即①，化为，
设直线方程为，设，
由联立得：，于是，
则有，即②，
下面证明成等比数列：
由①可得③，
由①③可得④，
由②④可得即⑤，
于是，
所以数列是等比数列，且首项为，
知，
于是直线的方程为，设，
由联立，可得，
于是，所以，
于是，所以，又，
于是直线的方程为，设，
由联立，可得，
于是，，所以，
于是，
则公比，则，即；
（3）解：为定值.
20．【答案】（1）解：双曲线的渐近线方程为，即，
因为点到的一条渐近线的距离为，即，
又因为，所以
所以的方程为.
（2）解：（ⅰ）证明：显然圆的切线的斜率存在，
设切线的方程为，
因为切线不平行的渐近线，所以.
由圆心到切线的距离，得.
联立消去得，
由题意知，设，
所以，
所以
.
所以，即.
所以.
（ⅱ）解法1：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，则，
.
由（ⅰ）得，
又，
则.
当时，.
此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
解法2：由（ⅰ）同理可得，
所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，
则.
在中，，
在中，，
则，
当时，，即的面积的最小值为3.
此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
解法3：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，
则.
在中，，
在中，，
由于，则，
根据基本不等式得，
得，则，即的面积的最小值为3.
当且仅当等号成立，
根双曲线的对称性知，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
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