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(共74张PPT)
第2讲 抛体运动
考点一 平抛运动
考点二 斜抛运动
考点一 平抛运动
理清 知识结构
知识梳理 构建体系
1.定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在①______作用下的
运动。
2.性质：是加速度为 的②________曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
3.条件： ，沿③__________；只受④______作用。
4.研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的⑤______直线运动和竖直
方向的⑥__________运动。
重力
匀变速
水平方向
重力
匀速
自由落体
5.基本规律
（1）加速度关系：___，___， ___。
（2）速度关系：____, ____， _ _________，
。
（3）位移关系： ____, ______, __________，
____。
（4）轨迹方程： _ _____。
考教衔接 以图说法
1.图1所示实验表明：做平抛运动的小球，在______方向上做_________
运动。
竖直
自由落体
2.做平抛运动的物体，其轨迹是一条______线。
如图2所示，某物体以速度 水平抛出，已知
重力加速度为，经过时间 ，该物体的水平分
速度____，竖直分速度 ____，实际速
度与水平方向的夹角 的正切值 _ ___。
抛物
3.环保人员在一次检查时发现，有一根排污管正
在向外满口排出大量污水。这根管道水平设置，
如图所示，环保人员利用一把卷尺，测出管口的
直径、管口离地面的高度 及污水喷出的水平距
离。重力加速度为，则该管道的排污量（每秒钟排污的体积）
_ ________。
[解析] 污水喷出后做平抛运动，设初速度为，做平抛运动的时间为 ，
有，，解得，则 。
突破 考点题型
角度1 平抛运动的特点与规律
规 律 ___________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________
特 点 飞行 时间
水平 射程
落地 速度
续表
特 点 速度 变化 量
续表
考向1 平抛运动规律的理解
例1 游乐场内两支玩具枪在同一位置先后沿水平方向各射出一颗子弹，
打在远处的同一个靶上。为甲枪射出的子弹留下的弹孔， 为乙枪射
出的子弹留下的弹孔，两弹孔在竖直方向上相距 ，如图所示，不计空
气阻力。关于两枪射出的子弹初速度大小，下列判断正确的是( )
A
A.甲枪射出的子弹初速度较大
B.乙枪射出的子弹初速度较大
C.甲、乙两枪射出的子弹初速度一样大
D.无法比较甲、乙两枪射出的子弹初速度的大小
[解析] 子弹被射出后做平抛运动，水平方向有 ，竖直方向有
，由以上两式得，由于，故乙 甲，即甲
枪射出的子弹初速度较大，A项正确。
考向2 平抛运动规律的应用
例2 (2024·北京高考)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横
截面积为，管口离水池水面的高度为 ，水在水池中的落点与管口的水
平距离为。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为， 远大于
管口内径。求：
（1）水从管口到水面的运动时间 。
解答水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向
解得水从管口到水面的运动时间 。
（2）水从管口排出时的速度大小 。
[答案] 由平抛运动规律得，水平方向
解得水从管口排出时的速度大小 。
（3）管口单位时间内流出水的体积 。
[答案] 管口单位时间内流出水的体积 。
例3 (2022·全国甲卷)将一小球水平抛出，使用
频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪
仪每隔 发出一次闪光。某次拍摄时，小球
在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑
后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的
影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段长度
和之比为。重力加速度大小取 ，忽略空气阻力，求抛
出瞬间小球的速度大小。
[答案] 解答由题意知图中相邻两小球影像间隔的时间
设图中相邻两小球影像间的水平距离均为，竖直距离分别为、 ，则
，
，
由题意有
由平抛运动规律有
解得 。
角度2 平抛运动的两个推论
图示 推论
______________________________________
例4 （多选）如图所示，倾角为 的斜面上有、、 三点，现从这三
点分别以不同的初速度水平抛出一小球，不计空气阻力，三个小球均落
在斜面上的点，测得 ，由此可判断( )
BC
A.、、处三个小球的运动时间之比为
B.、、 处三个小球落在斜面上时速度与初速度间
的夹角之比为
C.、、处三个小球的初速度大小之比为
D.、、 处三个小球的运动轨迹可能在空中相交
[解析] 由于沿斜面 ，故三个小球竖直方向运动的位
移之比为，运动时间之比为 ，A项错误;斜面上平抛的小球落
在斜面上时，速度与初速度之间的夹角 满足 ，与小球
抛出时的初速度大小和位置无关，B项正确;由 知三个小球的
初速度大小之比等于运动时间之比，为 ，C项正确;三个小球的运
动轨迹（抛物线）在 点相交，因此不会在空中相交，D项错误。
例5 在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以和 的速度沿同一方向水
平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面
时速率的( )
A
A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
[解析] 如图所示，可知， ，
则 ，则落至斜面的速率
，即 ，甲、
乙两球抛出速度为和 ，则可得落至斜面时速率
之比为 ，A项正确。
角度3 类平抛运动
类平抛运动特点 求解技巧
例6 如图所示，、两质点从同一点分别以相同的水平速度沿 轴
正方向抛出，在竖直平面内运动，落地点为， 沿光滑斜面运动，
落地点为，和 在同一水平地面上，不计阻力，则下列说法正确的
是( )
D
A.、 的运动时间相同
B.、沿 轴方向的位移相同
C.、 运动过程中的加速度大小相同
D.、 落地时速度大小相同
[解析] 设点与水平面的高度差为，对有，得 ，对
有，得，故 ，A项错误;由
，，可得，B项错误;由，
可知，C项错误;落地的速度大小，
落地的速度大小，可得 ，
D项正确（或者根据机械能守恒定律直接判断）。
角度4 平抛运动中的临界与极值问题
例7 如图所示，窗子上、下沿间的高度
，竖直墙的厚度 ，某人
在距离墙壁、距窗子上沿
处的 点，将可视为质点的小物件以垂直于
墙壁的速度 水平抛出，要求小物件能直接
B
A. B. C. D.
穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，重力加速度取
。则可以实现上述要求的速度大小是( )
[解析] 小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度
最大，此时有,，代入数据解得 ;小物件
恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度最小，则有 ，
，代入数据解得。故 的取值范围是
，B项符合题意。
例8 套圈游戏是一项趣味活动，某次游戏中，一小孩从距地面高
处水平抛出半径为 的圆环（圆环面始终水平），套住了距圆环前
端水平距离为、高度为 的竖直细圆筒（半径相对于圆环半
径可以忽略不计）。若重力加速度取 ，则小孩抛出圆环的
初速度可能是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据，得 ，则平抛运动的最大初速度
，最小初速度 ，则
，B项符合题意。
例9 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别
为和，中间球网高度为 。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能
以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为 。
不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率 在某范围
内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则 的
取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动。当速度
最小时，球沿中线恰好过网，有， ，联立得
。当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有
，，联立得 。所以要使乒
乓球落到球网右侧台面上，的取值范围为 ，D
项正确。
强化 学科思维
平抛运动常见的三种约束
约束 方法 内容 图示 总结
竖直 面约 束 运动 分解 __________________________
约束 方法 内容 图示 总结
斜面 约束 分解 速度 _____________________________________________________________ 分解速
度，构
建速度
三角形
续表
约束 方法 内容 图示 总结
斜面 约束 分解 位移 __________________________________________________ 分解位
移，构
建位移
三角形
续表
约束 方法 内容 图示 总结
球面 约束 分解 位移 ______________________________________________________ 分解位
移，构
建位移
三角形
续表
角度1 竖直面约束
例10 （多选）从竖直墙的前方处，沿方向水平发射三颗弹丸 、
、，弹丸在墙上留下的弹痕如图所示。已知，则、 、
三颗弹丸（不计空气阻力）( )
AC
A.初速度之比为
B.初速度之比为
C.从射出至打到墙上的过程速度总增量之比为
D.从射出至打到墙上的过程速度总增量之比为
[解析] 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，水平
方向上做匀速直线运动。又因为竖直方向上 ，即
，由可知 ，由水平方向
可得 ，A项正确，B项错误;由
，可知从射出至打到墙上的过程速度总增量之比为 ，C
项正确，D项错误。
角度2 斜面约束
例11 (2022·广东高考)滑雪道的示意图如图所示。可视
为质点的运动员从斜坡上的 点由静止自由滑下，经过
水平段后飞入空中，在点落地。不计运动员经过
点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示
C
A. B. C. D.
该过程运动员速度大小或加速度大小随时间 变化的图像可能是
( )
[解析] 设斜坡倾角为 ，运动员在斜坡 段做匀加速直线运动，根据
牛顿第二定律有， ;运动员在水平 段做匀
速直线运动，加速度;运动员从 点飞出后做平抛运动，加速度为
重力加速度，，C项正确，D项错误。设运动员在点的速度为 ，
则从点飞出后速度大小的表达式为，可知从 点飞出后
速度大小与时间的关系图像不可能为直线，A、B两项错误。
例12 如图所示，斜面与水平方向的夹角为 ，在底端 点正上方与
顶端点等高处的点以速度水平抛出一小球，小球垂直于斜面落到
点，重力加速度为 ，则( )
C
A.小球在空中飞行的时间一定为
B.小球落到斜面上时的速度大小为
C.与长度的比值为
D.小球的位移方向垂直于
[解析] 小球的运动轨迹图如图所示，把小球在
点处的速度沿水平方向和竖直方向分解，小球垂
直于斜面落到点，所以在 点时有
，解得 ，A项错误;小球垂
直于斜面落到点，所以小球落到斜面上时的速度大小 ，B项错
误;根据几何关系，有
，，整理得与 的比值为
，C项正确;由位移方向与水平方向夹角的正切值是速度方向与水
平方向夹角的正切值的可知，位移方向不垂直于 ，D项错误。
角度3 球面约束
例13 如图所示，半径为 的竖直半球形碗固定于
水平面上，碗口水平且为直径， 点为碗的球
心。将一弹性小球（可视为质点）从 连线上的
某点沿 方向以某初速度水平抛出，经历时间
C
A. B. C. D.
（重力加速度为 ）小球与碗内壁第一次碰
撞后恰好返回 点。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不
变，法向速度等大反向，不计空气阻力，则、 两点间的距离为( )
[解析] 小球与碗内壁碰撞只有法向速度反向，
切向速度不变，根据运动的可逆性可知，要使
小球能反弹回 点，小球必须垂直打在圆弧上。
如图所示，设碰撞点为，连接 ，即为平抛
轨迹在点的切线。过点作于，则 为小球平抛水平位移的
中点，有，，在 中，
有，解得 ，C项正
确。
考点二 斜抛运动
理清 知识结构
知识梳理 构建体系
1.定义：将物体以初速度 ①__________或斜向下方抛出，物体只在②
______作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为 的③________曲线运动。
3.研究方法：运动的合成与分解
（1）水平方向：④______直线运动；（2）竖直方向：⑤________直线
运动。
斜向上方
重力
匀变速
匀速
匀变速
4.基本规律（以斜上抛运动为例，如图所示）
（1）水平方向：⑥________， 。
（2）竖直方向：⑦________， 。
考教衔接 以图说法
如图所示，某物体以速度大小 、与水平方向
夹角为 的方向斜向上抛出，不计空气阻力，则物
体的运动可视为两个分运动的合运动：（分运动 ）
水平方向上，以速度________做匀速直线运动；
（分运动 ）竖直方向上，以初速度________、加速
度___做竖直上抛运动。
突破 考点题型
角度1 斜抛运动的理解
例14 (2023·湖南高考)我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播
种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图所示，其轨迹在同一竖直
平面内，抛出点均为，且轨迹交于 点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速
度分别为和，其中方向水平， 方向斜向上。忽略空气阻力，关
于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是( )
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于
C.两谷粒从到 的运动时间相等
D.两谷粒从到 的平均速度相等
√
[解析] 不计空气阻力，两谷粒在空中运动时都只受重力的作用，加速度
均为，A项错误;从点到点的运动，两谷粒运动的时间 ，C项
错误;两谷粒从点到点的水平位移 相等，故谷粒2的水平分速度
，谷粒2在最高点的速度即为水平分速度 ，B项正确;两谷粒
从点到点运动的位移相同，但运动时间，故两谷粒从到 的
平均速度不相等，D项错误。
角度2 斜抛运动的分解
1.利用分解思想，把斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直
方向的竖直上抛运动，分别在各个方向上利用运动学公式进行计算，然
后再合成。
2.让斜上抛物体上升到最高点，利用两个反方向的平抛运动进行求解。
例15 有时在欢迎英雄凯旋时会举行“飞机过水门”的
最高礼仪，寓意为“接风洗尘”。某次仪式中，两条水
柱分别从位于飞机的左、右方的两辆大型消防车上
A
A. B. C. D.
等高度相对斜向上射出，两水柱射出时的速度方向与水平方向的夹角分
别为 与 （如图所示），两水柱恰好在最高点相遇，不计空气阻
力和水柱间的相互影响，则两水柱射出时速度大小之比为( )
[解析] 两条水柱均做斜抛运动，它们在最高点相遇，则两水柱在竖直方
向上的运动情况相同，竖直分速度相等，即 ，可得
，A项正确。
角度3 斜抛运动的逆向处理方法
例16 如图所示，将一篮球从地面上方 点斜向上抛出，刚好垂直击中篮
板上点，不计空气阻力。若抛射点 向篮板方向水平移动一小段距离，
要使抛出的篮球仍能垂直击中 点，则下列方法可行的是( )
B
A.增大抛射角 ，同时增大抛出速度
B.增大抛射角 ，同时减小抛出速度
C.减小抛射角 ，同时减小抛出速度
D.减小抛射角 ，同时增大抛出速度
[解析] 由于篮球始终垂直击中 点，可应用逆向思维，把篮球的运动看
作从开始的平抛运动。当点水平向左移动一小段距离时，从 点水平
抛出的篮球仍落在点，则竖直高度不变，水平位移减小，球到 点的
时间不变，竖直分速度不变，水平方向由知
减小，减小，合速度大小 变小，速度与水平方向的夹
角的正切值变大，则 变大，B项正确。
方法总结
斜抛运动的解题技巧
1.斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可将其逆过程看作平抛运动。
2.分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。
角度4 斜上抛运动中的极值问题
1.运动到最高点时间总时间 。
2.射高 。
3.射程（当 时， 最大，射程最大）。
例17 单板滑雪 型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图1
所示的模型： 形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中
央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为 。某次练习过程中，运动
员以的速度从轨道边缘上的点沿轨道的竖直切面 滑
出轨道，速度方向与轨道边缘线的夹角 ，腾空后沿轨道边
缘的 点进入轨道。图2为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不
计空气阻力，取重力加速度的大小， ，
。求：
（1）运动员腾空过程中离开的距离的最大值 。
解答在点，设运动员在面内垂直方向的分速度为 ，
由运动的合成与分解规律得
设运动员在面内垂直方向的分加速度为 ，由牛顿第二定律得
由运动学公式得
联立以上几式并代入数据得 。
（2）、之间的距离 。
[答案] 在点，设运动员在面内平行方向的分速度为 ，由运
动的合成与分解规律得
设运动员在面内平行方向的分加速度为 ，由牛顿第二定律得
设腾空时间为，由运动学公式得
联立解得 。
角度5 类斜抛运动
例18 （多选）如图所示，一质量为
的物体受水平面内的恒力作用，在光滑水
平面上运动。从点经过时间运动到 点，
AC
A.物体所受的恒力方向与水平方向成 斜向右下
B.物体从点运动到点速度变化量大小为
C.该恒力大小为
D.从到的过程中，物体速率的最小值为
速度大小分别为，，方向分别与虚线成 ，
。下列说法正确的是( )
[解析] 速度为矢量，则根据题意可知初速度的方向与末速度的方向之间
的夹角为 ，作出其矢量图如图甲所示，根据矢量的合成法则可得速
度的变化量，其速度变化量的方向与成 角
斜向右下方，而根据题意可知，该恒力即为物体所受合力，由牛顿第二
定律知 ，恒力方向与速度变化量方向相同，B项错
误，A、C两项正确;根据以上分析，将初速度沿垂直恒力方向和沿着恒
力方向进行分解，其分解图如图乙所示，可知，当分速度 减为零时
速率最小，此时只有垂直恒力方向的分速度 ，根据几何关系可得最
小速率 ，D项错误。
练创新试题 知命题导向
1. 如图所示，一个罐子在空中沿水平直线以速度 向右做匀速运
动，沿途连续漏出沙子，出沙口距水平地面的高度为 。沙子落到地面
后立即停止，不计空气阻力，已知重力加速度为 ，下列说法正确的是
( )
A.每粒沙子在空中的轨迹都是一条抛物线
B.每粒沙子从漏出开始计时， 时刻（落地前）沙子离
地面的高度
C.若罐子内的沙子在 时间内漏完，则地面上沙子的长
度大于
D.若将罐子以速度 水平抛出，漏出的沙子在空中形成
的几何图形是一条竖直直线
√
[解析] 由于惯性，每粒沙子漏出的瞬间，存在一个水平向右的初速度 ，
沙子开始做平抛运动，其在空中的轨迹为一条抛物线，A项正确;每粒沙
子从漏出开始计时，时刻沙子下落的高度 ，此时其离地面的
高度 ，B项错误;沙子漏出后做平抛运动，在水平
方向做匀速直线运动，地面上沙子的长度等于初始时刻漏出的沙子与末
时刻漏出的沙子在地面上的落点之间的距离，即等于 时间内罐子的位
移大小，若罐子内的沙子在时间内漏完，则地面上沙子的长度等于 ，
C项错误;若将罐子以速度 水平抛出，罐子连同沙子处于完全失重状态，
罐子中的沙子将不会漏出，沙子在空中始终随罐子一起做平抛运动，D
项错误。
2. （多选）一条河流某处存在高度差，小
鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，
以小鱼跃出水面处为坐标原点， 轴沿水平方
向， 轴沿竖直方向建立直角坐标系，小鱼的初
速度 ，到达最高点时的速度
，此时小鱼正好落到上游。在此过程中，小鱼可视为质点
且只受重力作用，取重力加速度, ，则( )
A.小鱼落点的坐标为
B.小鱼落点的坐标为
C.小鱼仅改变出水速度方向而大小不变，也可能落到上游
D.小鱼仅改变出水速度方向而大小不变，则一定不能落到上游
√
√
[解析] 小鱼在运动过程中只受重力作用，做斜抛运动，根据题意可知小
鱼出水时的竖直分速度 ，则运动时间
，小鱼落点的横坐标 ，小鱼落点的纵坐
标，即小鱼落点的坐标为 ，A项错误，
B项正确;设小鱼出水速度方向与水面的夹角 ，则沿 轴方向的
分速度，竖直方向的初速度 ，
此情况下小鱼要能落到上游，需满足 ，且有
，经计算可知 有解，则小鱼仅改变出水速度方
向而大小不变，也可能落到上游，C项正确，D项错误。
3. （多选）如图所示，小明进行排球练习时，将排球以初速
度大小发出，初速度与水平方向的夹角为 ，抛出点和落点 的连
线与水平方向的夹角也为 ，重力加速度为 ，忽略空气阻力。在此运
动过程中，下列说法正确的是( )
CD
A.排球运动时间为
B.、间的水平距离为
C.排球离连线的最远距离为
D.轨迹最高点与落点的高度差为
[解析] 将初速度分解为沿方向的分速度和垂直方向的分速度 ，
则有 ，，将重力加速度分解为沿 方向的
分加速度和垂直方向的分加速度，则有 ，
，垂直 方向根据对称性可得排球运动时间
，排球离连线的最远距离 ，A
项错误，C项正确;、间的水平距离 ，
B项错误;排球从抛出到运动到最高点所用时间 ，则从最高点
运动到落点所用时间 ，轨迹最高点与落点的高度差
，D项正确。
4. 某战斗小组在高为，倾角为 的山坡上举行战术训练，在
山顶和山腰正中间向位于山脚水平面上的目标水平发射炮弹，如图所示，
结果两发炮弹同时击中同一目标（击中目标位置可调整），不计空气阻
力，重力加速度为 ，下列判断正确的是( )
D
A.发射炮弹的时间间隔为
B.发射炮弹的时间间隔为
C.两发炮弹的初速度之差是一个定值
D.从山腰上发射的炮弹初速度越大，炮弹的初速度
之差可能越小
[解析] 山顶发射的炮弹的运动时间 ，山腰发射的炮弹的运动时
间，故发射炮弹的时间间隔为 ，A、B两
项错误;设山顶发射的炮弹初速度大小为 ，山腰上发射的初速度大小
为，则有，可得 ，
由此判断，当 时，从山腰上发射的炮弹初速度越大，两发炮弹
的初速度之差越小，当 时，从山腰上发射的炮弹初速度越大，
两发炮弹的初速度之差越大，C项错误，D项正确。第2讲　抛体运动
考点一　平抛运动
【理清·知识结构】
【知识梳理】
1.定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在①　　　　作用下的运动。
2.性质：是加速度为g的②　　　　曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
3.条件：v0≠0，沿③　　　　；只受④　　　　作用。
4.研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的⑤　　　　直线运动和竖直方向的⑥　　　　运动。
5.基本规律
(1)加速度关系：ax=⑦　　　　，ay=⑧　　　　，a=⑨　　　　。
(2)速度关系：vx=⑩　　　　，vy=　　　　，v=　　　　，tan θ==。
(3)位移关系：x=　　　　，y=　　　　，s=　　　　，tan α==　　　　。
(4)轨迹方程：y=　　　　。
【考教衔接】
1.图1所示实验表明：做平抛运动的小球，在　　　　方向上做　　　　运动。
2.做平抛运动的物体，其轨迹是一条　　　　线。如图2所示，某物体以速度v0水平抛出，已知重力加速度为g，经过时间t，该物体的水平分速度vx=　　　　，竖直分速度vy=　　　　，实际速度v与水平方向的夹角θ的正切值tan θ=　　　　。
3.环保人员在一次检查时发现，有一根排污管正在向外满口排出大量污水。这根管道水平设置，如图所示，环保人员利用一把卷尺，测出管口的直径d、管口离地面的高度h及污水喷出的水平距离x。重力加速度为g，则该管道的排污量(每秒钟排污的体积)V=　　　　。
【突破·考点题型】
角度1　平抛运动的特点与规律
规律
特点 飞行时间 由t=知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程 x=v0t=v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地速度 v==，落地速度与x轴正方向的夹角满足tan θ==
速度 变化量 平抛运动的加速度a=g恒定，做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量大小Δv=gΔt相同，方向竖直向下
考向1　平抛运动规律的理解
游乐场内两支玩具枪在同一位置先后沿水平方向各射出一颗子弹，打在远处的同一个靶上。A为甲枪射出的子弹留下的弹孔，B为乙枪射出的子弹留下的弹孔，两弹孔在竖直方向上相距h，如图所示，不计空气阻力。关于两枪射出的子弹初速度大小，下列判断正确的是 (　　)
A.甲枪射出的子弹初速度较大
B.乙枪射出的子弹初速度较大
C.甲、乙两枪射出的子弹初速度一样大
D.无法比较甲、乙两枪射出的子弹初速度的大小
考向2　平抛运动规律的应用
(2024·北京高考)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求：
(1)水从管口到水面的运动时间t。
(2)水从管口排出时的速度大小v0。
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
(2022·全国甲卷)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小取g=10 m/s2，忽略空气阻力，求抛出瞬间小球的速度大小。
角度2　平抛运动的两个推论
图示 推论
1.任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点有：xB=
2.在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α=2tan θ
(多选)如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，不计空气阻力，三个小球均落在斜面上的D点，测得AB∶BC∶CD=5∶3∶1，由此可判断(　　)
A.A、B、C处三个小球的运动时间之比为1∶2∶3
B.A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1
C.A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1
D.A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交
在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的 (　　)
A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
角度3　类平抛运动
类平抛运动特点 求解技巧
(1)受力特点：物体所受合力为恒力，与初速度方向垂直 (2)运动特点：物体在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a= (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动 (2)特殊分解法：以抛出点为原点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解
如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平地面上，不计阻力，则下列说法正确的是 (　　)
A.A、B的运动时间相同
B.A、B沿x轴方向的位移相同
C.A、B运动过程中的加速度大小相同
D.A、B落地时速度大小相同
角度4　平抛运动中的临界与极值问题
如图所示，窗子上、下沿间的高度H=1.6 m，竖直墙的厚度d=0.4 m，某人在距离墙壁L=1.4 m、距窗子上沿h=0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，重力加速度取g=10 m/s2。则可以实现上述要求的速度大小是(　　)
A.2 m/s
B.4 m/s
C.8 m/s
D.10 m/s
套圈游戏是一项趣味活动，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45 m处水平抛出半径为0.1 m的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为1.0 m、高度为0.25 m的竖直细圆筒(半径相对于圆环半径可以忽略不计)。若重力加速度取g=10 m/s2，则小孩抛出圆环的初速度可能是 (　　)
A.4.3 m/s B.5.6 m/s
C.6.5 m/s D.7.5 m/s
一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的取值范围是 (　　)
A.≤vB.≤v<
C.≤v<
D.≤v<
【强化·学科思维】
平抛运动常见的三种约束
约束 方法 内容 图示 总结
竖直面约束 运动分解 水平位移d相同，运动时间t=与初速度大小有关 水平初速度v0不同时，落点不同
斜面约束 分解速度 水平：vx=v0 竖直：vy=gt tan θ== 可得t= 分解速度，构建速度三角形
分解位移 水平：x=v0t 竖直：y=gt2 tan θ= 可得t= 分解位移，构建位移三角形
球面约束 分解位移 竖直：h=gt2 水平：R±=v0t 联立两方程求t 分解位移，构建位移三角形
角度1　竖直面约束
(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，弹丸在墙上留下的弹痕如图所示。已知Oa=ab=bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力) (　　)
A.初速度之比为∶∶
B.初速度之比为1∶∶
C.从射出至打到墙上的过程速度总增量之比为1∶∶
D.从射出至打到墙上的过程速度总增量之比为∶∶
角度2　斜面约束
(2022·广东高考)滑雪道的示意图如图所示。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像可能是 (　　)
A　　　 　B　　　　C　　　　D
如图所示，斜面AC与水平方向的夹角为α，在底端A点正上方与顶端C点等高处的E点以速度v0水平抛出一小球，小球垂直于斜面落到D点，重力加速度为g，则 (　　)
A.小球在空中飞行的时间一定为
B.小球落到斜面上时的速度大小为
C.CD与DA长度的比值为
D.小球的位移方向垂直于AC
角度3　球面约束
如图所示，半径为R的竖直半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB为直径，O点为碗的球心。将一弹性小球(可视为质点)从AO连线上的某点 C沿CO方向以某初速度水平抛出，经历时间t=(重力加速度为g)小球与碗内壁第一次碰撞后恰好返回C点。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变，法向速度等大反向，不计空气阻力，则C、O两点间的距离为(　　)
A. B.
C. D.
考点二　斜抛运动
【理清·知识结构】
【知识梳理】
1.定义：将物体以初速度v0①　　　　或斜向下方抛出，物体只在②　　　　作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为g的③　　　　曲线运动。
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：④　　　　直线运动；(2)竖直方向：⑤　　　　直线运动。
4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x=⑥　　　　，F合x=0。
(2)竖直方向：v0y=⑦　　　　，F合y=mg。
【考教衔接】
如图所示，某物体以速度大小v0、与水平方向夹角为θ的方向斜向上抛出，不计空气阻力，则物体的运动可视为两个分运动的合运动：(分运动a)水平方向上，以速度　　　　做匀速直线运动；(分运动b)竖直方向上，以初速度　　　　、加速度　　　做竖直上抛运动。
【突破·考点题型】
角度1　斜抛运动的理解
(2023·湖南高考)我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是 (　　)
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于v1
C.两谷粒从O到P的运动时间相等
D.两谷粒从O到P的平均速度相等
角度2　斜抛运动的分解
1.利用分解思想，把斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，分别在各个方向上利用运动学公式进行计算，然后再合成。
2.让斜上抛物体上升到最高点，利用两个反方向的平抛运动进行求解。
有时在欢迎英雄凯旋时会举行“飞机过水门”的最高礼仪，寓意为“接风洗尘”。某次仪式中，两条水柱分别从位于飞机的左、右方的两辆大型消防车上等高度相对斜向上射出，两水柱射出时的速度方向与水平方向的夹角分别为45°与30°(如图所示)，两水柱恰好在最高点相遇，不计空气阻力和水柱间的相互影响，则两水柱射出时速度大小之比为 (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
角度3　斜抛运动的逆向处理方法
如图所示，将一篮球从地面上方B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上A点，不计空气阻力。若抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，要使抛出的篮球仍能垂直击中A点，则下列方法可行的是 (　　)
A.增大抛射角θ，同时增大抛出速度v0
B.增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0
C.减小抛射角θ，同时减小抛出速度v0
D.减小抛射角θ，同时增大抛出速度v0
方法总结 斜抛运动的解题技巧 1.斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可将其逆过程看作平抛运动。 2.分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。
角度4　斜上抛运动中的极值问题
1.运动到最高点时间t= 总时间t总=。
2.射高ym=。
3.射程xm=(当θ=45°时，sin 2θ最大，射程最大)。
单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图1所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM=10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α=72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图2为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g=10 m/s2，sin 72.8°=0.96，cos 72.8°=0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d。
(2)M、N之间的距离L。
角度5　类斜抛运动
(多选)如图所示，一质量为m的物体受水平面内的恒力作用，在光滑水平面上运动。从A点经过t时间运动到B点，速度大小分别为va=v，vb=v，方向分别与虚线AB成α=60°，β=30°。下列说法正确的是 (　　)
A.物体所受的恒力方向与水平方向成60°斜向右下
B.物体从A点运动到B点速度变化量大小为(-1)v
C.该恒力大小为
D.从A到B的过程中，物体速率的最小值为
练创新试题·知命题导向
1.如图所示，一个罐子在空中沿水平直线以速度v向右做匀速运动，沿途连续漏出沙子，出沙口距水平地面的高度为H。沙子落到地面后立即停止，不计空气阻力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.每粒沙子在空中的轨迹都是一条抛物线
B.每粒沙子从漏出开始计时，t时刻(落地前)沙子离地面的高度h=gt2
C.若罐子内的沙子在t时间内漏完，则地面上沙子的长度大于vt
D.若将罐子以速度v水平抛出，漏出的沙子在空中形成的几何图形是一条竖直直线
2.(多选)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向建立直角坐标系，小鱼的初速度v0=3.75m/s，到达最高点时的速度v=2.25m/s，此时小鱼正好落到上游。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用，取重力加速度g=10m/s2，sin 53°=0.8，则 (　　)
A.小鱼落点的坐标为(0.375 m，0.5 m)
B.小鱼落点的坐标为(0.675 m，0.45 m)
C.小鱼仅改变出水速度方向而大小不变，也可能落到上游
D.小鱼仅改变出水速度方向而大小不变，则一定不能落到上游
3.(多选)如图所示，小明进行排球练习时，将排球以初速度大小v0发出，初速度与水平方向的夹角为θ，抛出点P和落点Q的连线与水平方向的夹角也为θ，重力加速度为g，忽略空气阻力。在此运动过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.排球运动时间为
B.P、Q间的水平距离为
C.排球离PQ连线的最远距离为
D.轨迹最高点与落点的高度差为
4.某战斗小组在高为2h，倾角为45°的山坡上举行战术训练，在山顶和山腰正中间向位于山脚水平面上的目标水平发射炮弹，如图所示，结果两发炮弹同时击中同一目标(击中目标位置可调整)，不计空气阻力，重力加速度为g，下列判断正确的是 (　　)。
A.发射炮弹的时间间隔为
B.发射炮弹的时间间隔为2
C.两发炮弹的初速度之差是一个定值
D.从山腰上发射的炮弹初速度越大，炮弹的初速度之差可能越小
参考答案
考点一　
知识梳理
①重力　②匀变速　③水平方向
④重力　⑤匀速　⑥自由落体　⑦0　⑧g　
⑨g　⑩v0　gt　　v0t
gt2　　　x2
考教衔接
1.竖直　自由落体
2.抛物　v0　gt　
3.
解析　污水喷出后做平抛运动，设初速度为v0，做平抛运动的时间为t，有x=v0t，h=gt2，解得v0=x，则V==。
例1　A
例2　解答　(1)水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向h=gt2
解得水从管口到水面的运动时间t=。
(2)由平抛运动规律得，水平方向d=v0t
解得水从管口排出时的速度大小v0=d。
(3)管口单位时间内流出水的体积Q=Sv0=Sd。
例3　解答　由题意知图中相邻两小球影像间隔的时间t=4Δt=4×0.05 s=0.2 s
设图中相邻两小球影像间的水平距离均为x，竖直距离分别为y1、y2，则
y1=gt2=0.2 m，y2=g(2t)2-y1=0.6 m
s1=，s2=
由题意有=
由平抛运动规律有x=v0t
解得v0= m/s。
例4　BC　解析　由于沿斜面AB∶BC∶CD=5∶3∶1，故三个小球竖直方向运动的位移之比为9∶4∶1，运动时间之比为3∶2∶1，A项错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tan α=2tan θ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，B项正确；由tan α= 知三个小球的初速度大小之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，C项正确；三个小球的运动轨迹(抛物线)在D点相交，因此不会在空中相交，D项错误。
例5　A　解析　如图所示，可知x=vt，xtan θ=gt2，则vy=gt=2vtan θ，则落至斜面的速率v落==v，即v落∝v，甲、乙两球抛出速度为v和，则可得落至斜面时速率之比为2∶1，A项正确。
例6　D　解析　设O点与水平面的高度差为h，对A有h=g，得t1=，对B有=gsin θ·，得t2=，故t1例7　B　解析　小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大，此时有L=vmaxt1，h=g，代入数据解得vmax=7 m/s；小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小，则有L+d=vmint2，H+h=g，代入数据解得vmin=3 m/s。故v的取值范围是3 m/s≤v≤7 m/s，B项符合题意。
例8　B　解析　根据h1-h2=gt2，得t=0.2 s，则平抛运动的最大初速度v1==6.0 m/s，最小初速度v2==5.0 m/s，则5.0 m/s例9　D　解析　发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动。当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有3h-h=，=v1联立得v1=。当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有=v2t2，3h=g，联立得v2=。所以要使乒乓球落到球网右侧台面上，v的取值范围为≤v<，D项正确。
例10　AC　解析　水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，水平方向上做匀速直线运动。又因为竖直方向上Oa=ab=bc，即Oa∶Ob∶Oc=1∶2∶3，由h=gt2可知ta∶tb∶tc=1∶∶，由水平方向x=v0t可得va∶vb∶vc=1∶∶=∶∶，A项正确，B项错误；由Δv=gt，可知从射出至打到墙上的过程速度总增量之比为1∶∶，C项正确，D项错误。
例11　C　解析　设斜坡倾角为θ，运动员在斜坡MN段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有mgsin θ=ma1，a1=gsin θ；运动员在水平NP段做匀速直线运动，加速度a2=0；运动员从P点飞出后做平抛运动，加速度为重力加速度，a3=g，C项正确，D项错误。设运动员在P点的速度为v0，则从P点飞出后速度大小的表达式为v=，可知从P点飞出后速度大小与时间的关系图像不可能为直线，A、B两项错误。
例12　C　解析　小球的运动轨迹图如图所示，把小球在D点处的速度沿水平方向和竖直方向分解，小球垂直于斜面落到D点，所以在D点时有tan α==，解得t=，A项错误；小球垂直于斜面落到D点，所以小球落到斜面上时的速度大小v=，B项错误；根据几何关系，有DA=，CD=，整理得CD与DA的比值为，C项正确；由位移方向与水平方向夹角的正切值是速度方向与水平方向夹角的正切值的可知，位移方向不垂直于AC，D项错误。
例13　C　解析　小球与碗内壁碰撞只有法向速度反向，切向速度不变，根据运动的可逆性可知，要使小球能反弹回C点，小球必须垂直打在圆弧上。如图所示，设碰撞点为D，连接OD，即为平抛轨迹在D点的切线。过D点作DE⊥AB于E，则O为小球平抛水平位移的中点，有ED=gt2=，CO=OE，在Rt△ODE中，有(ED)2+(OE)2 = R2，解得CO=，C项正确。
考点二　
知识梳理
①斜向上方　②重力　③匀变速　④匀速　⑤匀变速　⑥v0cos θ　⑦v0sin θ
考教衔接
v0cos θ　v0sin θ　g
例14　B　解析　不计空气阻力，两谷粒在空中运动时都只受重力的作用，加速度均为g，A项错误；从O点到P点的运动，两谷粒运动的时间t2>t1，C项错误；两谷粒从O点到P点的水平位移x=vt相等，故谷粒2的水平分速度v2xt1，故两谷粒从O到P的平均速度不相等，D项错误。
例15　A　解析　两条水柱均做斜抛运动，它们在最高点相遇，则两水柱在竖直方向上的运动情况相同，竖直分速度相等，即v1sin 45°=v2sin 30°，可得=，A项正确。
例16　B　解析　由于篮球始终垂直击中A点，可应用逆向思维，把篮球的运动看作从A开始的平抛运动。当B点水平向左移动一小段距离时，从A点水平抛出的篮球仍落在B点，则竖直高度不变，水平位移减小，球到B点的时间t=不变，竖直分速度vy=不变，水平方向由x=vxt知x减小，vx减小，合速度大小v0=变小，速度与水平方向的夹角的正切值tan θ=变大，则θ变大，B项正确。
例17　解答　(1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得v1=vMsin 72.8°
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得mgcos 17.2°=ma1
由运动学公式得d=
联立以上几式并代入数据得d=4.8 m。
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得v2=vMcos 72.8°
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得mgsin 17.2°=ma2
设腾空时间为t，由运动学公式得t=
L=v2t+a2t2
联立解得L=12 m。
例18　AC　解析　速度为矢量，则根据题意可知初速度的方向与末速度的方向之间的夹角为90°，作出其矢量图如图甲所示，根据矢量的合成法则可得速度的变化量Δv==2v，其速度变化量的方向与AB成60°角斜向右下方，而根据题意可知，该恒力即为物体所受合力，由牛顿第二定律知F=ma=m=，恒力方向与速度变化量方向相同，B项错误，A、C两项正确；根据以上分析，将初速度沿垂直恒力方向和沿着恒力方向进行分解，其分解图如图乙所示，可知，当分速度vay减为零时速率最小，此时只有垂直恒力方向的分速度vax，根据几何关系可得最小速率vax=vacos 30°=v，D项错误。
练创新试题
1.A　解析　由于惯性，每粒沙子漏出的瞬间，存在一个水平向右的初速度v，沙子开始做平抛运动，其在空中的轨迹为一条抛物线，A项正确；每粒沙子从漏出开始计时，t时刻沙子下落的高度h0=gt2，此时其离地面的高度h=H-h0=H-gt2，B项错误；沙子漏出后做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，地面上沙子的长度等于初始时刻漏出的沙子与末时刻漏出的沙子在地面上的落点之间的距离，即等于t时间内罐子的位移大小，若罐子内的沙子在t时间内漏完，则地面上沙子的长度等于vt，C项错误；若将罐子以速度v水平抛出，罐子连同沙子处于完全失重状态，罐子中的沙子将不会漏出，沙子在空中始终随罐子一起做平抛运动，D项错误。
2.BC　解析　小鱼在运动过程中只受重力作用，做斜抛运动，根据题意可知小鱼出水时的竖直分速度v0y = = 3m/s，则运动时间t==0.3 s，小鱼落点的横坐标x=vt=0.675 m，小鱼落点的纵坐标y==0.45 m，即小鱼落点的坐标为(0.675 m，0.45 m)，A项错误，B项正确；设小鱼出水速度方向与水面的夹角θ=60°，则沿x轴方向的分速度v0x=v0cos θ=，竖直方向的初速度v0y=v0sin θ=v0，此情况下小鱼要能落到上游，需满足v0xt'≥0.675 m，且有v0yt'-gt'2=0.45 m，经计算可知t'有解，则小鱼仅改变出水速度方向而大小不变，也可能落到上游，C项正确，D项错误。
3.CD　解析　将初速度分解为沿PQ方向的分速度v1和垂直PQ方向的分速度v2，则有v1=v0cos 2θ，v2=v0sin 2θ，将重力加速度分解为沿PQ方向的分加速度a1和垂直PQ方向的分加速度a2，则有a1=gsin θ，a2=gcos θ，垂直PQ方向根据对称性可得排球运动时间t=2=，排球离PQ连线的最远距离dmax==，A项错误，C项正确；P、Q间的水平距离x=v0cos θ×=，B项错误；排球从抛出到运动到最高点所用时间t1=，则从最高点运动到落点所用时间t2=t-t1=，轨迹最高点与落点的高度差h=g=，D项正确。
4.D　解析　山顶发射的炮弹的运动时间t1=，山腰发射的炮弹的运动时间t2=，故发射炮弹的时间间隔为t1-t2=(2-)，A、B两项错误；设山顶发射的炮弹初速度大小为v1，山腰上发射的初速度大小为v2，则有v1-v2=h，可得2(v1-v2)=-(2-)v2，由此判断，当v1>v2时，从山腰上发射的炮弹初速度越大，两发炮弹的初速度之差越小，当v1

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