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2.2等腰三角形
第2章
特殊的三角形
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
理解等腰三角形的定义与构成
能准确识别 等腰三角形（两条边相等的三角形），明确其组成部分（腰、底边、顶角、底角）。
理解等边三角形的定义
能区分 等边三角形（三条边均相等）是特殊的等腰三角形，理解其“三边相等、三角相等”的构成特征。
通过观察与操作建立直观认识
通过实物模型、几何画图或折叠操作，直观感知等腰三角形的 对称性（单轴对称）与等边三角形的 多轴对称性（三条对称轴）。
课堂导入
同学们，仔细观察这些图片，它们在结构上有什么共同特点？
屋顶的侧面是一个等腰三角形
金字塔的每一个面都是等腰三角形
等腰三角形有什么特点呢，同学们交流一下
知识回顾
有两边相等的三角形叫作等腰三角形，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
腰
腰
底边
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
底角
底角
顶角
做一做
如图，点 D 在 AC 上，AB＝AC，AD＝BD。你 能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。
因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形
腰：AB、AC，底边：BC，顶角：∠A
因为AD=BD，所以△ADB是等腰三角形
腰：AD、DB，底边：AB，顶角：∠ADB
例1如图，已知锐角△ABC，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P，使△ABP，△CBP都是等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
典例分析
分析：本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和作法，分别作AB、BC边的垂直平分线相较于点P，连接AP、BP、CP即可
P
变式训练
如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．
在图1中，以AB为腰画一
个等腰锐角三角形△ABC
在图2中，以AB为腰画一
个等腰直角三角形△ABD
在图3中，以AB为腰画一
个等腰钝角三角形△ABE
C
D
E
例2 在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24cm和30cm的两部分，求BC的长．
典例分析
解：∵BD为AC边上的中线，所以AD=DC=AC
又∵AB=AC，∴AB=2AD
分两种情况讨论：
①当AB+AD=24cm，2AD+AD=24cm
解得AD=8cm，CD=8cm，∵BC+CD=30cm
∴BC=30-CD=22cm
②当AB+AD=30cm时，2AD+AD=30cm
解得AD=10cm，∴CD=10cm
∵BC+CD=24cm，∴BC=24-CD=14cm
∴BC的长为14cm或22cm
因为不知道哪部分是24cm，哪部分是30cm，所以需要分情况讨论
变式训练
将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到AB=10cm，BC=12cm．若移动支点C的位置，使△ABC是一个等腰三角形，则△ABC的周长为（ ）
A .32cm B .34cm C . 32cm或36cm D . 32cm或34cm
D
当AB=AC=10,
周长为10+10+12=32
当BC=AC=10,
周长为10+12+12=34
例3 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB=CE，连接AD求证：△ACD为等腰三角形．
典例分析
根据CD∥AB，所以∠DCA=∠BAC
由平行线的性质推出∠BAC=∠DCE，由垂直的定义得到∠B=∠DEC=90°，判定△ABC≌△CED（ASA），推出AC=CD即可求证
证明：∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCE，∵DE⊥AC
∴∠B=∠DEC=90°
∵AB=CE，∴△ABC≌△CED（ASA）
∴AC=CD
∴△ACD是等腰三角形
要证明等腰三角形，只需要证明两腰相等
变式训练
如图，已知：△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC和∠DAE都是顶角且∠BAC=∠DAE．求证：BD=CE
由等腰三角形的性质可得AD=AE，AB=AC，求出∠CAE=∠DAB，再证明△DAB≌△EAC（SAS）,即可得证。
证明：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC和∠DAE都是顶角且∠BAC=∠DAE
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE
∴∠CAE=∠DAB
在△DAB和△EAC中，,△DAB≌△EAC（SAS）
∴DB=CE
新知探究
在透明纸上任意画一个等腰三角形 ABC，画出它的顶角平分线AD，然后沿着AD所在的直线把△ABC 对折。你发现了什么？由此你得出什么结论？
因为∠BAD＝∠CAD，所以射线AB与AC重合。又因为AB＝AC，所以点 B 与点 C 重合，即直线 AD 两侧的图形能够完全重合。
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的
对称轴。
新知探究
三条边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形
特性 等腰三角形 等边三角形
边 两边相等 三边相等
角 两底角相等 三个角均为60°
对称轴 1条对称轴 3条对称轴
三边相等，AB=AC=BC
60°
60°
60°
例3 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数为_________．
典例分析
C1
C2
C3
C4
C5
5个
变式训练
如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个4×4方格纸中，找出格点P使△MNP为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数 。
P1
P2
P3
P4
P5
5个
例4 如图，已知△ABC和△ADE，点C在边AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，若∠BAC=60°，求∠ACE的度数．
典例分析
根据SAS证明△ABC≌△ADE，由全等三角形的性质得AC=AE，∠BAC=∠DEA=60°，即可证△ACE为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解。
解：在△ABC和△ADE中，,
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴AC=AE，∠BAC=∠DAE=60°
∴△ACE是等腰三角形。∴∠ACE=60°
变式训练
如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
(1)求∠F的度数；
(2)若CD=2，求DE的长
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°,∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°
∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，
∴∠F=90-∠EDC=30°
解：∵∠ACB=60°，∠EDC=60°
∴△EDC是等边三角形
∴ED=DC=2
课堂练习
1．在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若△ABC的周长为24，一边长为6，则此等腰三角形的底边长是 .
6
当腰长为6时，则底边长为24-6-6=12cm，∵6+6=12，所以不能形成三角形（舍）
当底边为6时，则腰长为（24-6）÷2=9cm，∵6+9＞9，所以能形成三角形
课堂练习
2．给出下列三角形：①有两条边相等的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③有两个外角相等的三角形；④一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A .①② B . ②④ C . ①③ D . ②③
两条边相等的三角形是等腰三角形，不能证明是等边三角形
一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
两个外角相等只能说明与这两个外角相邻的内角相等，故只能说明是等腰三角形
如图所示：由题意知：AB=AC，CD⊥AB，DB=DA,可得△ADC≌△BDC，故AC=CB=AB
B
课堂练习
3．一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ．
解题思路：设等腰三角形的腰长为x,底边长为y，分两种情况：当腰和腰的一半的和为6与当腰和腰的一半的和为12时，分别列出方程组结合三角的三边关系即可。
2
解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y
①当腰和腰的一半为6时，则
解得x=4，y=10,
此时三角形的三边为4、4、10，不能构成三角形（舍）
②当腰和腰的一半为12时，则
解得x=8，y=2
此时三角形的三边为8、8、2，能构成三角形
所以三角形的底边长为2
课堂练习
4 .如图，△ABC中，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，与边AB、BC相交于E，F并构成以为底边的等腰△EBF，则△EBF的周长为________．
解：∵线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF
又∵DC=4cm，∴DC=EF=4，且CF=7cm
又∵BC=12cm。∴BF=12-7=5cm
∵△EBE是以BF为底边的等腰三角形
∴BE=EF=4cm
则△EBF的周长为BE+EF+BF=4+4+5=13cm
13cm
由图形平移，即DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，可得到2个信息，DC=EF=4，且CF=7,再结合等腰三角形的腰长相等计算周长即可。
课堂练习
5．已知线段a、b．求作等腰三角形ABC，使底边AB=a，底边上的高CD=b．（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
A
B
C
作线段AB=a，再作线段AB的垂直平分线，垂足为点D，再在线段AB的垂直平分线上截取CD=b，连接AC、BC，即可得到等腰三角形ABC
课堂练习
6．已知，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别用a、b、c表示，其中a、b满足（a-5）2+|b-10|=0。
（1）直接写出a= ，b= 。
（2）若△ABC为等腰三角形，请求出△ABC的周长
解：由（1）得，a=5，b=10,
若5是腰长，则三角形的三边长为：5、5、10
5+5=10，不能组成三角形；
若5是底边长，则三角形的三边长为：5、10、10
5+10＞10，能组成三角形
∴△ABC的周长为5+10+10=25
5
10
利用平方和绝对值的非负性即可求解
课堂练习
7．如图，△AOB和△COD均为等边三角形，连接AC、BD交于点P．
（1）求证：△AOC≌△BOD
解：证明：∵△AOB和△COD均为等边三角形
∴OA=OB,OC=OD，∠AOB=∠COD=60°
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC
∴∠AOC=∠BOD
∴△AOC≌△BOD（SAS）
（2）求∠APB的度数
解：∵△AOB是等边三角形
∴∠OAB=∠OBA=60°
∵△AOC≌△BOD
∴∠OAC=∠OBD
∴∠APB=180°-∠PAB-∠PBA
=180°-（∠BAO-∠CAO）-(∠ABO+∠OBD)
=180°-60°+∠OAC-60°-∠OBD=60°
课堂小结
边长判定：
若三角形有两条边相等 → 等腰三角形；
若三条边均相等 → 等边三角形。
角度判定（初步）：
若三角形有两个角相等 → 等腰三角形（不展开证明）；
若三个角均为60° → 等边三角形。
简单分类与识别方法
等腰三角形：有且只有两条边长度相等的三角形，相等的边称为腰，第三边称为底边，两腰的夹角为顶角，底边对的两个角为底角。
等边三角形：三条边长度均相等的三角形（是等腰三角形的特例），其三个内角均为60°。
基础定义与构成要素
等腰三角形：
具有1条对称轴（顶角平分线所在直线，同时也是底边的垂直平分线、中线和高）。通过折叠可验证两底角重合，体现对称性。
等边三角形：具有3条对称轴（每条边的垂直平分线），旋转对称性为120°。所有边长、角度均相等，结构完全对称。
直观特征与对称性
01
03
04
02
感谢聆听!

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