资源简介

2.3等腰三角形的性质定理
（第1课时）
第2章
特殊的三角形
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
理解性质定理
掌握“等边对等角”的核心内容：在等腰三角形中，两条相等的边（腰）所对的两个角（底角）必然相等。
应用与推理能力
能运用该性质解决简单的几何问题（如计算角度、证明角相等）。
结合三角形内角和定理（180°）进行综合计算，例如已知顶角求底角或反之。
联系实际与拓展
通过实际问题（如建筑、图形设计）体会等腰三角形的对称性及其应用。
初步探索等边三角形（特殊等腰三角形）中“三边相等，三角均为60°”的推论。
课堂导入
埃菲尔铁塔初始高度312米，现高330米 ，我们仔细观察会发现它是由很多个等腰三角形构成，那么等腰三角形除了两腰相等之外还有其他什么性质吗？
同学们可以交流一下。分别说一说
新知探究
每个同学在作业本上利用尺规作图分别画出三个不同的等腰三角形（不规定具体长度，自由发挥）。
将等腰三角形按对称轴对称观察一下
等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角。
新知探究
已知：如图所以，在△ABC中，AB＝AC。求证：∠B＝∠C。
证明：如图所示，作△ABC的角平分线AD。
在△ABD和△ACD中，
因为????????=????????(已知)∠????????????=∠????????????（角平分线的定义）????????=????????（公共边）
可得△ABD≌△ACD（SAS）。
所以∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）。
?
你能根据等腰三角形的轴对称性证明上述定理吗？
证明两个角度相等，可以证明两个角度所在的三角形全等
例1如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知∠ABO=60°，OC=OD，AB∥CD，则∠BOD的度数为_________．
典例分析
60°
60°
利用平行线的性质，推出∠OCD=∠ABO=60°，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解
解：∵AB∥CD∴∠OCD=∠ABO=60°
∵OC=OC,
∴∠ODC=∠OCD=60°
∴∠COD=180°-∠OCD-∠ODC=60°
∴∠BOD=180°-∠COD=120°
变式训练
如图是一个非机动车的交通指示牌，自行车车架的支撑部分可以看成两个共边的三角形，若AD∥BC，DB=DC，∠A=∠BDC=40°，则∠ABD °．
70
先根据等腰三角形等边对角以及三角形内角和，求出∠DBC的度数；再利用平行线同旁内角互补，算出∠ABC的度数；最后通过∠ABC与∠BDC的差，得到∠ABD的度数
解：∵DB=DC，∠BDC=40°
∴∠DBC=∠C=????????????°?∠????????????????=70°
∵AD∥BC，∠A=40°
∴∠ABC=180°-∠A=140°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=140°-70°=70°
?
例2 如图，在△ABC中，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC于点D．
典例分析
(1)若∠A=32°，求∠BDC的度数
(2)若AB=5cm，BC=3cm，求△BCD的周长
根据垂直平分线的性质可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，再根据三角形的外角性质即可求解。
解：∵AB的垂直平分线交AC于点D
∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=32°
∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+32°=64°
求出△DBC的周长=AB+BC，代入数据计算即可求得解
解：△BCD的周长=BD+DC+BC
=AD+DC+BC
=AC+BC
=AB+BC
∵AB=5cm,BC=3cm
∴△BCD的周长=5+3=8cm
变式训练
如图：在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD
(1)∠B=25°，则∠BAD的度数
(2)若AC=10，BC=14，求△ABD的周长
根据垂直平分线的性质得线段相等，再根据“等边对等角”和三角形内角和180°，即可求解
根据垂直平分线的性质得到线段相等，再等量代换可得△ABD为AB+BC即可
解：∵AB=AC，∠B=25°
∴∠C=∠B=25°，∠BAC=180°-∠B-∠C=130°
∵AC的垂直平分线交BC于点D，
∴AD=CD，∴∠DAC=∠C=25°
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=130°-25°=105°
解：∵AB=AC，AC=10，∴AB=10，
∵AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD=CD
又∵BC=14，
∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=10+14=24.
垂直平分线上的点到两端点的距离相等
新知探究
由“等腰三角形的两个底角相等”，可以得到以下推论：等边三角形的各个内角都等于60°。
例3 . (教材母题）求等边三角形ABC三个内角的度数。
解：如图所示，在△ABC中，
因为AB＝AC（已知），
所以∠B＝∠C（等腰三角形的两个底角相等）。
同理，∠A＝∠B。
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠A＝∠B＝∠C＝????????×180°＝60°
?
例4 如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且AD=CE，求∠BOD的度数．
典例分析
根据等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外性质等知识，先根据SAS证明△BCE≌△CAD，再根据三角形外角的性质求解
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE=∠CAD=60°，BC=CA
在△BCE和△CAD中，????????=????????∠????????????=∠????????????????????=????????,
∴△BCE≌△CAD（SAS）
∴∠CBE=∠ACD
∴∠BOD=∠OCB+∠CBE=∠OCB+∠ACD=∠ABC=60°
?
变式训练
如图，△ABC是等边三角形，D是BC上的点，点E在△ABC外，且CE∥AB，CE=BD．求证：△ABD≌△ACE．
解：∵△ABC为等边三角形
∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC
∵CE∥AB,∴∠ACE=∠CAB=60°
∴∠B=∠ACE=60°
在△ABD和△ACE中，????????=????????∠????=∠????????????????????=????????
∴△ABD≌△ACE（SAS）
?
由等边三角形得到∠B=∠CAB=60°，AB=AC，然后证明出∠B=∠ACE=60°，进而证明△ABD≌△ACE（SAS）．
课堂练习
1．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠C=76°．观察图中的尺规作图痕迹，可知∠BAF的度数为（???? ?）
A .10° B . 12° C .16° D . 20°
B
此作图过程可知在作线段的垂直平分线
解：由尺规作图知，直线DE是AC的垂直平分线
∴FA=FC
∴∠FAC=∠C=76°
∵∠BAC=180°-∠C-∠ABC=64°
∴∠BAF=∠FAC-∠BAC=12°
课堂练习
2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=50°，∠ABD=30°，则∠ACF的度数为（　　）?
A .30° B . 40° C . 45° D . 50°
由角平分线的定义可得∠CBD=∠ABD=30°，由线段垂直平分线的性质可得BF=CF，由等边对等角可得∠CBD=∠FCB=30°，最后再由三角形内角和定义计算即可的解
解：∵BD平分∠ABC
∴∠CBD=∠ABD=30°
∵EF垂直平分BC，∴BF=CF
∴∠CBD=∠FCB=30°
∴∠ACF=180°-∠A-∠ABD-∠CBD-∠FCB=40°
B
课堂练习
3．如图，在△ABC中，BA=BC，在边BC和AB的延长线上分别截取BD，BE，使BD=BE，再分别以点D，E为圆心，以大于????????DE的长为半径作弧，两弧在∠DBE内交于点P，作射线BP．若∠A=50°，则∠EBP的度数是________．
?
50°
解：根据基本作图，得∠EBP=∠CBP
∵BA=BC，∠A=50°
∴∠A=∠C=50°
∵∠EBP+∠CBP=∠A+∠C
∴2∠EBP=2∠A
∴∠EBP=∠A=50°
根据基本作图，得∠EBP=∠CBP，根据BA=BC得∠A=∠C=50°，利用三角形外角性质，解答即可。
课堂练习
4 .图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB∥CD，AC∥OD，OD=OC，∠BAC=51°，则∠DOC的度数为_______．
解：∵AB∥CD
∴∠BAC=∠ACD=51°
又∵AC∥OD
∴∠ODC=∠ACD=51°
∵OD=OC
∴∠ODC=∠OCD=51°
∴∠DOC=180°-51°-51°=78°
78°
先利用平行线的性质可得∠BAC=∠ACD=51°，∠ODC=∠ACD=51°，然后根据等边对等角求得∠ODC=∠OCD=51°，利用三角形内角和定理即可
课堂练习
5．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠O=25°，则∠ODE的度数是 .
解：∵OC=OD=DE，∠O=25°
∴∠ODC=∠C=25°，∠DCE=∠DEC∵∠ECD=∠O+∠ODC=50°
∴∠ECD=50°，∴∠ODE=180°-∠O-∠OED=105°
105°
课堂练习
6．如图，为提高居民生活质量，现计划在A、B、C三个居民小区附近建造一个超市（用点D表示）．
解：∵DA=DB=DC，
∴∠DAB=∠DBA=70°，∠DBC=∠C,
∴∠ADB=180°-2×70°=40°
∵∠ADC=110°
∴∠BDC=110°-40°=70°
∴∠C=∠DBC=????????(180°-70°)=55°
?
(1)若想使得超市到三个小区的距离相等，请你使用尺规找出点D（保留作图痕迹，不需要写作图过程）
(2)连接AD、BD、CD，若∠BAD=70°，∠ADC=110°，求∠BCD的度数。
解：如图所示
D
课堂练习
7．如图：在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
（1）试说明：AD⊥BC
解：连接AE
∵AB的垂直平分线EF交BC于点E
∴AE=BE，∵BE=AC
∴AE=AC，∵D为线段CE的中点，
∴AD⊥BC
（2）若∠B=35°，求∠C的度数
解：∵AE=BE
∴∠BAE=∠B=35°
∴∠AEC=2∠B=70°
∵AE=AC
∴∠C=∠AEC=2∠B=70°
课堂小结
实际应用：桥梁支架、屋顶设计等利用等腰三角形的对称性和稳定性。
逆向思考：后续将学习“等角对等边”，构成判定等腰三角形的重要依据。
特殊情形：等边三角形是等腰三角形的特例，三边相等→三角均为60°。
拓展与联系实际
内容：等腰三角形的两腰相等，则两底角必相等（简称“等边对等角”）。
符号语言：在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。
性质定理核心
角度计算：结合三角形内角和定理，已知顶角可求底角
证明角相等：通过构造辅助线（如底边中线或高）或直接利用性质定理证明两角相等。
几何推理应用
01
03
04
02
感谢聆听!

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