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2.4等腰三角形的判定定理
第2章
特殊的三角形
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
掌握判定定理
等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即该三角形是等腰三角形）。
应用判定解决几何问题
在证明题中，通过角相等推导边相等，或通过边相等构造等腰三角形。
结合全等三角形、平行线等知识，综合解决几何图形中的边角关系问题。
培养逻辑推理能力
学会规范书写几何证明过程，明确“已知—求证—证明”的逻辑链。
提升对复杂图形的分析能力
课堂导入
“同学们，观察教室的门（或出示图片），当门打开时，门框和门形成的三角形形状如何变化？在什么情况下，这个三角形看起来两边长度相等？”(观察下面视频)
视频
在开门的过程中，两边长度相等，形成等腰三角形。
如何用数学方法验证一个三角形是等腰三角形？除了测量两边长度，还有其他判定方法吗？
新知探究
在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的锐角，两角的另一边相交于点 A。量一量，线段 AB 与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗？你发现了什么规律？
B
C
A
AB
AC
线段AB与AC 相等
等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。
新知探究
如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C。求证：△ABC是等腰三角形。
证明：如图所示，作△ABC的角平分线AD。
在△ABD和△ACD中，
因为∠1 = ∠2（角平分线的定义），
∠B = ∠C（已知），AD = AD（公共边），
可得△ABD≌△ACD（AAS），
从而有AB＝AC（全等三角形的对应边相等），
所以△ABC是等腰三角形。
上述判定定理可以简单地说成：在同一个三角形中，等角对等边。
D
1
2
（教材母题）例1一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图 2-25，即测量点 A，B之间的距离。同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点 A 出发，沿着与直线 AB 成 60°角的 AC 方向前进至 C，在 C 处测得∠C＝30°。量出 AC的长，它就是河的宽度（即点 A，B之间的距离）。这个方法正确吗？请说明理由。
典例分析
解：这个方法正确。理由如下：
因为∠CAD＝∠B＋∠C（三角形的外角等于
与它不相邻的两个内角的和），
而∠B＝∠CAD－∠C＝60°－30°＝30°，
则∠B＝∠C，
所以AB＝AC（在同一个三角形中，等角对等边）。
变式训练
在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（?????）
A .∠ADB=∠ADC B . ∠B=∠C C . BD=CD D . AD平分∠BAC
当∠ADB=∠ADC时，
∵点D在BC上，∴∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AD⊥BC，故A选项不符合题意
∵AB=AC，∴∠B=∠C，不能得到AD⊥BC，故选项B符合
∵AB=AC。∴当BD=CD或AD平分∠BAC时，AD⊥BC，故选项C、D均不符合题意
B
例2 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，AC于点E，连接BE，如果∠ABE=2∠CBE，那么∠A的度数是_____________．
典例分析
由线段垂直平分线的性质可得EA=EB，则∠ABC=∠A，再由等边对等角得到∠ABC=∠C，根据已知条件可得∠ABC=????????∠A，据此根据三角形内角和定义建立方程即可求解
?
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，∴∠ABE=∠A,
∵AB=AC，∴∠ABE=2∠CBE
∴∠ABC=????????∠ABE=????????∠A
∵∠ABC+∠C+∠A=180°
∴????????∠A+????????∠A+∠A=180°∴∠A=45°
?
45°
变式训练
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，点E、M、F分别是AB、BC、AC上的点，ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是___________．
由等腰三角形的性质推出∠B=∠C，由平行线的性质可得∠BME=∠C，因此∠BME=∠B，判定BE=EM，同理CF=MF，得到四边形MEAF的周长等于AB+AC即可
解：∵AB=AC=5，∴∠B=∠C
∵ME∥AC，∴∠BME=∠C
∴∠BME=∠B，∴BE=EM
同理CF=MF，∵AB=AC=5
∴四边形MEAF的周长为
AE+EM+AF+MF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=5+5=10
10
新知探究
已知：在△ABC中，∠A = ∠B = ∠C，求证：△ABC是等边三角形（即 AB = BC = CA）
证明：因为 ∠A = ∠B，根据等角对等边，BC = AC。
因为 ∠B = ∠C，根据等角对等边，AC = AB。
因为 ∠A = ∠C，根据等角对等边，AB = BC。
综上，AB = BC = CA，即△ABC的三条边都相等。
在任意三角形中，等角对等边。也就是说，如果两个角相等，那么它们所对的边也相等。
等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
新知探究
已知：等腰三角形ABC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形
证明：①当∠A为底角时，因为△ABC是等腰三角形，所以∠A=∠B=60°，则顶角为180°-60°×2=60°，可得这个等腰三角形的三个角都相等，所以这个等腰三角形是等边三角形。
等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
因为已知 60°的角可能是等腰三角形的底角，也可能是顶角，所以分两 种情形：
②当∠A为顶角时，因为△ABC是等腰三角形，则底角为（180°-60°）÷2=60°，可得这个等腰三角形的三个角都相等，所以这个等腰三角形是等边三角形。
典例分析
如图所示，在一个房间内，一把长1.5米的梯子CD斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为75°，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为CE），此时梯子与地面夹角为45°，那么D、E两点间的距离是______米．
解：连接DE
∵∠ACD=75°，∠BCE=45°
∴∠DCE=180°-75°-45°=60°
∵梯子长度不变∴CD=CE=1.5米
∴△DCE是等边三角形 ∴DE=CD=1.5米
连接DE，先计算出∠DCE=60°，结合梯子长度不变得出CD=CE。判定△DCE是等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质，得到DE=CD=1.5米，从而求出D、E两点间距离。
1.5
变式训练
将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知α=60°．点B，C对应的刻度分别为1cm，3cm，则线段AC的长为______cm
解：∵直尺的两边平行，
∴∠ACB=∠α=60°，∵含30°角的直角三角尺，
∴∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，
∵点B、C表示的刻度分别为1cm、3cm
∴BC=2cm，∴AC=BC=2cm
∴线段AC的长为2cm
根据平行线的性质得出∠ACB=60°，进而可得△ABC是等边三角形，根据等边三角的性质即可求解
2
课堂练习
1．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm．若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（????? ??）
A .9cm B . 18cm C .24cm D .27cm
B
因为OA=OB,∠AOB=60°所以△ABC是等边三角形，AB=AO=18cm
课堂练习
2.在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个内角是60°的三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④底边相等的两个等腰三角形全等．正确的命题有（?? ???）
A .1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
B
因为一个外角是120°,所以与外角相邻的内角是60°，又因为是等腰三角形，所以①正确
因为三角形两个内角是60°，所以剩余的内角180°-2×60°=60° ，三个内角是60° 的三角形是等边三角形，②正确
有一边可能是底边，所以③错误
底边相等，但等角不一定相等，故底边相等的两个等腰三角形全等，④错误
课堂练习
3．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，则∠OBD的度数是___________．
30°
解：连接AB
∵OA=OB=AB，∴△ABC是等边三角形
∴∠OBA=60°
∵BD⊥OA，
∴∠OBD=????????∠OBA=30°
?
OA=OB=AB，则△ABC是等边三角形，
根据作图可得OA=OB=AB，则△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解。
课堂练习
4 .如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B=∠C=60°，AB=4，则CD的长度为________．
解：∵∠B=∠C=60°，
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴△ABC为等边三角形
∵AB=4,
∴BC=AB=AC=4
∵AD为角平分线
∴BD=CD=????????BC=2
?
2
由∠B=∠C=60°及三角形的内角和，得出∠BAC=60°，从而△ABC为等边三角形，再由等腰三角形的“三线合一”性质，得出BD=CD，而已知AB=4,则可得出答案
课堂练习
5．如图，已知∠AOB=60°，C为射线OA上一点，请用尺规作图法，在∠AOB内部求作Rt△CPO，使∠CPO=90°且∠COP=30°．（保留作图痕迹，不写作法）
证明：∵由作图可知：CO=CD,
∵∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形
∴由作图可知：OP⊥CD
∴∠COP=????????∠COD=30°
∴Rt△CPO即为所求。
?
以点C为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，连接CD，然后作CD的垂直平分线交CD于点P，即为所求。
D
课堂练习
6．如图，已知AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，求证：△ADF是等腰三角形
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）
∵DE⊥BC，∴∠FEB=∠FEC=90°
∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°
∴∠EFC=∠EDB（等角的余角相等）
∵∠EDB=∠ADF（对顶角相等）
∴∠EFC=∠ADF
∴△ADF是等腰三角形
根据等腰三角形的形状得到∠B=∠C，再根据等角的余角相等得到∠EFC=∠EDB，再由∠EDB=∠ADF，根据等角对等边判断△ADF是等腰三角形
课堂练习
7．如图，在7×7的网格中，点A，B，C在格点上，AC=BC，∠A=45°，∠ACB=∠ACD=90°，CM平分∠ACD，点N是线段AC的中点，过点N作EF⊥AC分别交AB，CM于点E，F．求证：FN=EN．
证明：∵∠ACD=90°，∠A=45°，CM平方∠ACD
∴∠NCF=45°=∠A
∵点N是AC中点，
∴CN=AN,
∵∠CNF=∠ANE，∴△CNF≌△ANE（ASA）
∴FN=EN
先根据已知条件求出∠NCF=45°=∠A，再利用中点CN=AN，最后通过对顶角相等∠CNF=∠ANE证明，△CNF≌△ANE（ASA）,从而得到FN=EN
课堂小结
在证明题中，通过全等三角形（如AAS、ASA）或平行线性质（如内错角相等）间接证明两角相等，再应用判定定理。
识别常见模型（如“角平分线+平行线→等腰三角形”）。
综合应用与几何模型
核心内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即三角形为等腰三角形）。
符号表示：在△ABC中，若∠B = ∠C，则AB = AC。
关键点：判定定理与性质定理（等边对等角）互为逆命题，需注意区分使用条件。
判定定理：等角对等边
核心内容：通过图形的对称性判断等腰三角形。
垂直平分线：若某一边的垂直平分线经过对角顶点，则三角形为等腰。
角平分线+高/中线：若一个角的平分线与对边的高或中线重合，可推导出等腰三角形。
轴对称性判定
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04
02
感谢聆听!

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