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2.3等腰三角形的性质定理
（第2课时）
第2章
特殊的三角形
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
理解三线合一的概念
掌握等腰三角形中“顶角平分线、底边中线、底边高线”三条重要线段重合的性质，明确这一性质是等腰三角形特有的几何特征。
证明三线合一的逻辑推理
能够通过全等三角形的判定（如SSS、SAS）或轴对称性质，严谨推导出三线合一的结论，理解其与等腰三角形对称性的内在联系。
应用性质解决实际问题
熟练运用三线合一简化几何证明（如角度相等、线段垂直或平分问题），并能在实际题目（如求周长、面积或构造辅助线）中灵活应用该性质。
旧知复习
我们上节课学习了等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角。
已知△ABC是等腰三角形
AB=AC，则∠B=∠C
60°
60°
60°
等边三角形的各个内角都等于60°。
等腰三角形除了有等边对等角的性质还有其他性质吗？
新知探究
每个同学在作业本上利用尺规作图分别画出∠BAC的平分线，BC边上的高以及BC边上的中线。
AD是△ABC的角平分线
∠BAD=∠DAC
AD是△ABC的BC边上的高
AD⊥BC
AD是△ABC的BC边上的中线BD=DC
观察我们所画出的角平分线、中线和高，它们有什么特点呢？
D
D
D
新知探究
已知：如图所示，AD平分∠BAC，∠ADB＝∠ADC。求证：AD⊥BC。
证明：如图所示，延长AD，交BC于点E。
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD(角平分线的定义)
∵AD=AD(公共边)，∠ADB=∠ADC（已知）
可得△ABD≌△ACD（ASA）。
所以AB＝AC（全等三角形的对应边相等）。
∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）
即AD⊥BC
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。
E
例1如图，在△ABC中，AB=BC，BE是△ABC的中线，AD⊥BC于点D，若∠DAB=36°，则∠EBC的度数为__________．
典例分析
根据三角形外角的性质得∠ABC=∠DAB+∠D=126°，由等腰三角形的性质可得BE是∠ABC的平分线，即可求出∠EBC的度数
解：∵AD⊥BC于点D
∴∠D=90°，∵∠DAB=36°
∴∠ABC=∠DAB+∠D=126°
∵AB=BC，BE是△ABC的中线，
∴BE是∠ABC的角平分线
∴∠EBC=????????∠ABC=63°
?
63°
等腰三角形“三线合一”的性质
变式训练
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD是△ABC的中线，点E在AC上，AE=AD，则∠DEC等于______．
由等腰三角形中三线合一，可得AD是△ABC的角平分线，再根据AE=AD得出∠ADE=∠AED，结合三角形内角和定理可得出答案
解：∵△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线
∴AD是△ABC的角平分线，
∵∠BAC=80°，∴∠DAC=????????∠BAC=40°
∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED，
∴∠AED=????????(180°-∠DAC)=????????×（180°-40°）=70°
∴∠DEC=180°-∠AED=180°-70°=110°
?
110°
等腰三角形三线合一的性质
例2 已知两边及其夹角，求作这个三角形．
已知：如图，线段a和∠α．
求作：△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α．
典例分析
作法：①作射线AD；②以O为圆心，任意长度为半径画弧，弧与两边分别交于两点M、N；③A点为圆心，ON的长度为半径画弧，与AD交于点E；④测量MN的距离，以E为圆心MN为半径画弧，交于点F，连接AF；⑤在∠A两边截取AB=AC=a,连接BC即可
O
M
A
N
D
E
F
B
C
变式训练
（教材母题）已知线段 a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，底边BC边上的高线长为h。
作法：如图所示。①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D；③在直线l上截取DA＝h，连结AB，AC。△ABC就是所求作的等腰三角形。
B
C
D
A
新知探究
例3 . 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，连接CE，交AD于点H．求证：AD垂直平分CE
解：∵∠ACB=90°，∴DC⊥AC，
又∵∠CAB的平分线交BC于点D，DE⊥AB.
∴CD=DE，∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，
∴∠ADC=180°-∠ACB-∠CAD=180°-90°-∠EAD=90°-∠EAD
∠ADE=180°-∠AED-∠EAD=180°-90°-∠EAD=90°-∠EAD
∴∠ADC=∠ADE，即ADA平分∠CDE
又∵CD=DE
∴AD垂直平分CE（等腰三角形的三线合一）
先根据角平分线的性质定义可得CD=DE，再根据三角形的内角和定理求出∠ADC=∠ADE，然后根据等腰三角形的三线合一即可求证
变式训练
如图：在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
解：连接AE
∵AB的垂直平分线EF交BC于点E,∴AE=BF
∵BE=AC，∴AE=AC
∵D为线段CE的中点，∴AD⊥BC
(1)求证：AD⊥BC
(2)若∠B=35°，求∠C的度数
解：∵AE=BE，∴∠BAE=∠B=35°
∴∠AEC=2∠B=70°
∵AE=AC，∴∠C=∠AEC=2∠B=70°
课堂练习
1．墙上钉了一根木条，陈老师想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平．在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处挂了一个重锤．陈老师将BC边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点A．如果重垂线过点A，那么这根木条就是水平的．这其中的道理是（???????）
A .等边对等角 B . 垂线段最短 C .等腰三角形的“三线合一” D .线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
C
BD=DC
AB=AC
解：∵在三角测平架中，AB=AC
∴AD为等腰△ABC的底边BC上的高
又∵AD自然下垂
∴BC处于水平位置
∴等腰三角形底边上的中线就是底边上的高
课堂练习
2．在△ABC中，AB=AC，过A点作AD⊥BC，垂足为点D，下列结论不正确的是（?????）
A .∠B=∠C B . ∠BAD=∠CAD C . BD=CD D . BD=????????AB
?
D
等腰三角形“三线合一”可得∠BAD=∠DAC，BD=CD，故B、C选项正确，
△ABC是等腰三角形，利用“等边对等角”可得∠B=∠C，故A选项正确
课堂练习
3．如图，分别以线段AB的端点A，B为圆心，取大于????????AB长为半径，作两条相交的弧，交点记为C，D，点E在射线DC上．若∠ACB=100°，∠AED=30°，则∠EAC=_________°．
?
20
解：根据题意可知，CD垂直平分线段AB
∴CA=CB，CD⊥AB，∴∠ACD=????????∠ACB=50°
∵∠ACD=∠AED+∠EAC，
∴∠EAC=∠ACD-∠AED=50°-30°=20°
?
此过程在作线段AB的垂直平分线
CD垂直平分线段AB，再根据垂直平分线的性质可得出CA=CB,CD⊥AB，再根据等腰三角形的性质可得∠ACD=????????∠ACB，然后利用三角形外角的性质即可求出答案
?
课堂练习
4 .如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的角平分线，若△ABC的周长为16cm，△ABD的周长为12cm，则AD的长为___________cm．
解：∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线
∴BD=CD
∵△ABC的周长为16cm，△ABD的周长为12cm
∴AB+AC+BC=16，AB+AD+BD=12
∴2AB+2BD=16，2AB+2AD+2BD=24
∴2AD=24-16=8
∴AD=4
78°
等腰三角形”三线合一”的性质
课堂练习
5．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AB上一点，连接ED并延长至点F，使DF=ED，连接CF．求证：∠AED+∠F=180°．
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，
∵∠BDE=∠CDF，DF=ED,
∴△BDE≌△CDF（SAS)
∴∠B=∠DCF
∴BE∥CF，即AB∥CF
∴∠AED+∠F=180°
根据三线合一可得BD=CD，进而证明△BDE≌△CDF（SAS)得出∠B=∠DCF，可得AB∥CF，根据平行线的性质，即可得证。
课堂练习
6．如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
(1)在图（1）中画出一个△ABP，使?????????????????=?????????????????，P为格点（点P不在点C处）；
?
(2)在图（2）中的边BC上找一点D，使点D到AB和AC所在直线距离相等．
解：如图所示
解：如图所示
P
D
F
E
课堂练习
7．如图，在△ABC中，∠A=100°，D为AC边上一点，连接BD，BD=DC，过点D作BC的垂线，垂足为E．
（1）若∠ABD=20°，求∠C的度数
解：∵∠A=100°，∠ABD=20°，
∴∠ADB=180°-100°-20°=60°
∵BD=DC，∴∠DBC=∠C=????????∠ADB,
∵∠ADB=∠DBC+∠C=60°
∴∠C=30°
?
（2）若CE=5，△BDC的周长为24，求BD的长
解：∵BD=DC，BC⊥DE,
∴BE=CE=5
∵?????????????????=BD+CD+BE+CE=2BD+2CE=24
∴BD=7
?
课堂小结
简化证明：快速得出角相等、线段垂直或平分关系（如：若已知高线，则同时得到中线和角平分线）。
辅助线构造：当题目缺少关键条件时，可通过添加等腰三角形的“三线”辅助线转化问题。
三线合一的应用场景
性质表述：等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条线段互相重合（即“三线合一”）。
关键点：仅适用于等腰三角形（两腰相等）。
三线均从顶角顶点出发指向底边，本质上是同一条线段在不同几何关系中的体现。
三线合一的概念与内容
①轴对称性法：利用等腰三角形是轴对称图形（对称轴为顶角平分线所在的直线），直接推出对称轴上的中线和高线重合。
②全等证明法
三线合一的证明方法
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04
02
感谢聆听!

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