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1.2 定义与命题
第1章
三角形的初步认识
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
精准掌握数学定义
学会识别并规范表述定义，能用清晰语言描述数学对象的核心特征
区分命题与非命题，分析结构
能判断语句是否为命题（必须有可判断真假的陈述句）。
改写技巧：将命题规范表述为 “如果…那么…” 形式
掌握判断真假命题的方法
真命题：用定义、定理、公式进行逻辑证明（如“三角形内角和为180°”）
假命题：通过构造反例推翻
课堂引入
活动名称：“猜猜我是谁”
情境游戏：猜猜我是谁
“它是一种长方形物体，能发光、发声，人们用它来通讯、娱乐..”
平板！
遥控器！
电视机！
电脑！
思考：为什么大家的答案不一致 如何描述才能准确唯一确定对象
新知探究
活动探究：小组合作，为“平行四边形“下定义。
1.观察下面图形，分组讨论哪些是平行四边形 平行四边形有什么特征？
2.哪些特征能唯一确定平行四边形？
定义：“两组对边分别平行的四边形叫平行四边形”
知识点：人们在进行交流、沟通时常需要应用许多名称和术语。为了不产生歧义,对这些名称和术语的含义必须有明确的规定。一般地,能明确说明某一名称或术语的意义的句子,叫作该名称或术语的定义。
做一做
（教材母题）说出下列数学名词的定义
（1）无理数 （2）直角三角形 （3）角平分线 （4）平方根
解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数；
（2）直角三角形是指其中一个内角是直角（即90度角）的三角形；
（3）从一个角的顶点出发，将这个角分成两个大小相等的角的一条射线；
（4）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
新知探究
活动探究：老师说出以下6个语句，认为是命题的同学举起左手，认为不是命题的同学举起右手。
①画∠AOB的平分线
②对顶角相等吗？
③直角都相等
④如果a2=b2,那么a=b
⑤延长线段AB
⑥长方形的四个角都是直角
那我们应该怎么判断语句是否为命题呢？
新知概况
思考：如何判断一个语句是否为命题？命题的定义是什么？
一般地,判断某一件事情的句子叫作命题；
我们在数学上学习的命题一般由条件和结论两部分组成。条件是已知事项,结论是由已知事项得到的事项。这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式,其中以“如果”开始的部分是条件“那么”后面的部分是结论么同位角相等”
小组活动：判断是否为命题
1.三角形的内角和180°
2.你的头发真长啊
3.2+3=5
4.请把窗户关上
典例分析
例1 下面语句哪些是命题，哪些不是命题，说出理由。
（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）正数都大于0；
（3）如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互补；
（4）太阳不是行星；（5）对顶角相等吗？（6）作一个角等于已知角；
注意：判断一个语句是否为命题需要注意以下两点
①必须为陈述句
②必须有明确的真值（即能判断真假）
思路点拨：判断一件事情的语句，叫做命题；命题是有个能进行判断的语句，必须是陈述句。
解析：（1）（2）（3）是命题，它们都能对事情作出肯定的判断；（4）是命题，它对事情作出否定的判断；（5）不是命题，它表示疑问；（6）不是命题，它只是描述一个作图过程，不含判断意思。
典例分析
例2 （教材母题）指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果…那么……”的形式
（1）等底等高的两个三角形面积相等:
（2）对顶角相等；
（3）同位角相等,两直线平行。
注意：需要正确写成命题的条件和结论
解析：（1）这个命题的条件是“两个三角形有一条边和这条边上的高线对
应相等”,结论是“这两个三角形的面积相等”。可以改写成:“如果两个三角形有一条边和这条边上的高线对应相等,那么这两个三角形的面积相等。”
（2）这个命题的条件是“两个角是对顶角”,结论是“这两个角相等”
可以改写成:“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等。”
（3）这个命题的条件是“两条直线被第三条直线所截得的同位角相等”结论是“这两条直线平行”。可以改写成:“如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等,那么这两条直线平行。”
变式训练
下面语句是命题的有 （填序号）
①你的判断正确吗？
②长方形的四个角都是直角。
③古朴厚重的建筑。
④2与3的的等于4
⑤如果a=b，b=c，则a=c
①三角形的三条中线都在三角形内。
②三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心
②④⑤
解：①是疑问句，所以不是命题；②是命题；③不能进行判断，所以不是命题；④是命题；⑤是命题
注意：看是否为命题只需要看是否为陈述句，是否能进行判断，至于结果是真还是假则不需要看
变式训练
三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形
将下面的命题改写成“如果......,那么......”的形式，并指出题设和结论．
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两点确定一条直线；
解：（1）如果两平行线被第三条直线所截，那么同位角相等；
题设：两平行线被第三条直线所截，结论：那么同位角相等；
（2）如果过已知两点画直线，那么有且只能画一条直线；
题设：如果过已知两点画直线，结论：有且只能画一条直线；
新知探究
判断下面命题是正确的还是错误的，如果错误，请举出反例。
①同位角相等，两直线平行；
②相等的角是内错角；
③如果|a|=|b|,那么a=b；
④两个锐角互余。
解：①正确；
②错误，反例：对顶角相等，但不是内错角；
③错误，反例：|2|=|-2|，但2≠-2
④错误，反例：30°+20°=50°，不互余。
正确的命题称为真命题;不正确的命题称为假命题。要判定一个命题是真命题,常常通过推理的方式,即根据已知事实来推断未知事实;也有一些命题是人们经过长期实践,公认为正确的。
典例分析
例3 请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假
（1）如果两个角是直角，那么这两个角相等；
（2）绝对值相等的两个数相等；
（3）两个钝角的和一定大于180°。
解：（1）条件为两个角是直角；结论为这两个角相等直角为90°，故原命题是真命题；
（2）条件为两个数绝对值相等；结论为这两个数相等绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题;
（3）条件为两个角是钝角；结论为这两个角的和一定大于180°；钝角大于90，故两个钝角的和一定大于180°，故原命题是真命题。
要说明一个命题是假命题,通常可以用举反例的方法。命题的反例是
指具备命题的条件,但不具备命题的结论的实例。
新知探究
用推理的方法判断为正确的命题叫作定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。
例如,前面我们已经学过的“对顶角相等”“三角形的任意两边之和大于第三边”“两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行”等都是定理。
提分笔记
定义和定理的区别
定义：对事物或概念的内涵和外延进行确切而简要的说明，它揭示了事物的本质特征；
定理：在已有知识的基础上，通过逻辑推理证明为正确的命题，它可以作为进一步推理的依据。
课堂练习
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行
C．如果两个角的两条边分别垂直，那么这两个角一定相等
D．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
解：A.两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意；
B.同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行，原命题是真命题，符合题意；
C.如果两个角的两条边分别垂直，那么这两个角一定相等或互补，原命题是假命题，不符合题意；
D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题，不符合题意；
判断命题是真命题还是假命题，最有利的方法是列举反例进行说明即可
课堂练习
2．下列语句哪个是真命题（ ）
A．a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c
B．a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．过一点作直线l的垂线
D．两个锐角的和是钝角
解：a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，则，故A是真命题；
在同一平面内，a，b，c是三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c,故B是假命题；
过一点作直线l的垂线，不是命题，故C是假命题；
两个锐角的和不一定是钝角，故D是假命题，
解题思路：分别根据平行公理，平面内两条直线的位置关系，垂直的含义，锐角，钝角的定义，根据基础概念再逐一分析判断即可．
课堂练习
3．如图，已知直线AB、CD，连接AD、BC，点E、F分别在BC、CD上，连接EF，现在有以下选项：
①∠1+∠2=180°；②∠3=∠A；③AB∥CD。
（1）请你以①②为题设，③为结论，用“如果......那么......”的形式写出这个命题
（2）判断（1）中所写命题的真假，若为真命题，则说明理由；
若为假命题，则举反例。
解：（1）如果∠1+∠2=180°，∠3=∠A，那么AB∥CD
（2）证明：该命题为真命题，理由如下：
∵∠1+∠2=180°，∴AD∥EF，∴∠3=∠D，∵∠3=∠A，∴∠A=∠D
∴AB∥CD
课堂练习
4．请将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，再指出命题的条件和结论．
(1)同号两数的和一定不是负数；
(2)若x=2，则1-5x=0；
(3)互为倒数的两个数的积为1．
（1）解：如果两个数是同号，那么这两个数的和一定不是负数．条件是两个数是同号，结论是这两个数的和一定不是负数；
（2）解：如果x=2，那么1-5x=0．条件是x=2，结论是1-5x=0；
（3）解：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．条件是两个数互为倒数，结论是这两个数的积为1．
课堂练习
5．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，举出一个反例．
(1)两个负数之和仍为负数；
(2)一个钝角与一个锐角的差是锐角．
（1）解：题设：两个数都是负数；结论：和为负数．正确；
（2）解：题设：两个角是一个钝角和一个锐角；结论：这两个角的差是锐角．错误；
反例：100°和5°（不唯一）．
课堂练习
6．如图所示，若DE∥BC，∠1=∠3，∠CDF=90°
（1）求证：FG⊥AB
（2）若把原题设中“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是真命题吗？请说明理由。
解：（1）证明：∵DE∥BC，∴∠1=∠2
∵∠1=∠3，∠CDF=90°，∴∠2=∠3,
∴DC∥FG，∴∠BFG=∠CDF=90°，
∴FG⊥AB
（2）是真命题，
理由：∵FG⊥AB，∠CDF=90°
∴∠BFG=90°=∠CDF，∴DC∥FG，
∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2，
∴DE∥BC
课堂练习
7．如图，如果∠1=∠2，那么AB∥CD，判断这个命题的真假．若是真命题，则写出推理的根据；若是假命题，则添加一个条件，使该命题成为真命题，并给予证明．
解：假命题，添加BE∥DF，理由如下
∵BE∥DF，∴∠EBD=∠FDN，
∵∠1=∠2，∴∠EBD-∠1=∠FDN-∠2
∴∠ABD=∠CDN，
∴AB∥CD
课堂小结
命题一般由条件和结论两部分组成。条件是已知事项,结论是由已知事项得到的事项。这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式,
命题的改写
定义：对事物或概念的内涵和外延进行确切而简要的说明，它揭示了事物的本质特征；
定理：在已有知识的基础上，通过逻辑推理证明为正确的命题，它可以作为进一步推理的依据。
定理与定义的区别
一般地,能明确说明某一名称或术语的意义的句子,叫作该名称或术语的定义。
定义的相关概念
一般地,判断某一件事情的句子叫作命题；
正确的命题称为真命题;不正确的命题称为假命题。
命题及其命题的判定
01
02
03
04
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