资源简介

(共22张PPT)
1.3 证明
第1章
三角形的初步认识
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
理解证明的概念与书写过程
理解证明的概念，熟悉证明的基本过程
明确概念与基本性质
能准确识别并定义三角形的外角，明确一个顶点有且只有两个互为对顶角的外角。
理解并掌握三角形外角的基本性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
理解并掌握外角和定理
能够灵活运用三角形的外角性质（外角等于不相邻两内角和）来进行角度计算或证明角之间的关系，特别是在图形中有多个三角形或复杂关系时，提供重要的解题思路。
课堂引入
“同学们，请仔细观察下面三张图片，这两条线是什么关系？
“为什么我们眼睛看到的，有时会和实际测量结果不一样？这说明什么？”
“在数学研究中，我们能仅仅依靠‘看起来像’‘感觉是’或者几次测量结果就下结论吗？”
新知探究
“仅仅依靠感官经验、少数几次操作或直观印象，在数学里是不够可靠的，甚至可能导致错误结论。为了追求知识的确定性和普遍性，数学家们发展了一种严谨的、讲道理的思维方式——证明。”
知识归纳：通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确。因此,要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论),一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明
今天我们就一起来揭开数学证明的神秘面纱，看看它是如何像侦探破案一样，依靠确凿的证据（已知定义、公理、定理）和严密的逻辑推理，得到无可辩驳的结论的。”
新知探究
(1)按题意画出图形。
(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论。
证明几何命题时,表述格式一般是:
在“证明”中写出推理过程。在解决几何问题时,有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写人证明中。辅助线通常画成虚线。
典例分析
（教材母题）例1 如图所示，DE∥BC，∠1=∠E，求证明：BE平分∠ABC
证明：因为DE∥BC（已知）
所以∠2=∠E（两直线平行，内错角相等）
又因为∠1=∠E（已知）
∴∠1=∠2
所以BE平分∠ABC（角平分线的定义）
回顾平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补
回顾角平分线的性质：角平分线分出来的两个角相等，提供证明思路。
变式训练
（教材母题）已知：如图所示AB∥CD，EP、FP分别平分∠BEF，∠DFE，求证：PEF+∠PFE=90°
证明：EP、FP分别平分∠BEF，∠DFE（已知）
∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DFE（角平分线的定义）
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠PEF+∠PFE=∠BEF+∠DFE=(∠BEF∠DFE)=×180°=90°
回顾平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补
回顾角平分线的性质：角平分线分出来的两个角相等，提供证明思路。
新知概况
课堂活动：神秘的“外来角”与“留守角”
同学们，欢迎来到神奇的‘三角形世界’！在前面的学习中，我们认识了三角形家族的一个基本秘密——内角和定理。
情境唤醒 ： 概念回顾
D
外角
我们还认识了一种出现在三角形边界上的特殊角度——外角
如图所示，延长AB与点D，在点B处除了∠ABC以外还有一个角是∠CBD，这样的角
叫做三角形的外角。一个三角形有6个外角。
新知概况
课堂活动：神秘的“外来角”与“留守角”
聚焦观察 ： 提出问题
提问1：在顶点B，外角∠ABD和它的邻居——相邻的内角∠ABC之间有什么关系呢？”
∠ABC+∠CBD=180°,三角形一个内角与他相邻的外角互补
思考：三角形还有另外两个内角——顶点A的内角∠BAC和顶点C的内角∠ACB。它们都在“家”的内部，远离这个‘外来者’∠CBD。”,这三个角之间又有什么关系呢？
新知概况
课堂活动：神秘的“外来角”与“留守角”
动手测量 ： 发现线索
动手操作：分小组活动，每组成员各随意画出2个三角形，用量角器量出三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）和∠B的外角度数。
∠A ∠B ∠C ∠B的外角 ∠A+∠C
通过测量我们发现：∠B的外角等于∠A+∠C；所以得出三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
典例分析
例2 如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线的一点，连接AE交CD与点F，若∠B=∠D，∠1+∠2=180°
（1）若∠E=25°，∠D=60°，求∠2的度数；
解：∵∠1=∠AFC，∠1+∠2=180°；∴∠AFC+∠2=180°
∴AB∥CD；∴∠DCE=∠B；∵∠D=∠DCE=60°
∵∠1=∠DCE+∠E，∠E=25°，∴∠1=60°+25°=85°
∵∠1+∠2=180°，∴∠2=180°-∠1=180°-85°=95°
（2）判断AD与BC的位置关系，说明理由
解：AD∥BC，理由如下
由（1）可知AB∥CD，∴∠B=∠DCE，∵∠B=∠D
∴∠D=∠DCE，∴AD∥BC
对顶角相等
两直线平行，同位角相等
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
变式训练
如图，已知，BD是△ABC的角平分线，且AD=DB=BC，求△ABC的各个内角的度数
①三角形的三条中线都在三角形内。
②三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心
解：∵BD=BC=AD，BD平分∠ABC
∴∠C=∠BDC，∠A=∠ABD=∠CBD;
∴∠ABC=2∠A，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A;
∴∠C=∠BDC=2∠A；∵∠A+∠ABC+∠C=180°；
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，∴∠A=36°
∴∠ABC=∠C=2∠A=72°
角平分线的性质：角平分线分出的两个角相等
等腰三角形的性质：等边对等角
变式训练
三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形
为了验证如图所示的四边形ABCD中AB与CD所在直线的夹角是否为50°，如下方案
方案一 :测量出ㄥB和ㄥC的度数
方案二:测量出ㄥA和ㄥD的度数
下列判断正确的是( )
A.方案一正确、方案二正确
C.方案一正确、方案二不正确
B.方案一不正确、方案二正确
D.方案一不正确、方案二不正确
解：（1）测量∠B和∠C，利用三角形内角和即可得出AB和CD的夹角；
（2）测量∠A和∠D，利用邻角互补可得到∠A和∠D的外角，再根据三角形内角和定理即可；
课堂练习
1．能说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题的反例是（ ）
A .a=2，b=1 B .a=2，b=-1 C . a=-2，b=1 D .a=-1，b=-2
当a=2，b=1时，22＞12，2＞1，所以a2＞b2，则a＞b是真命题
当a=2，b=-1时，22＞（-1）2，2＞-1，所以a2＞b2，则a＞b是真命题
当a=-2，b=1时，（-2）2＞12，-2＜1，所以a2＞b2，则a＞b是假命题
当a=-1，b=-2时，（-1）2＜（-2）2，-1＞-2，与题目中a2＞b2，则a＞b不符
C
课堂练习
2．证明命题“三角形不公定点的三个外角的和等于360°”是真命题
已知：如图∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角；求证：∠1+∠2+∠=360°
证明：∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠ACB+∠BAC，∠3=∠ABC+∠BAC,
∴∠1+∠2+∠3=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°
∴∠1+∠2+∠3=360°
∴命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°“是命题。
课堂练习
4．已知：如图，△ABC的两条高BE、CF相交与点O，求证：∠BOC=180°-∠A
证明：∵BE、CF是△ABC的两条高线（ ）,
∴∠OEC=∠BFC=90°（ ）,
∵∠ACF+∠A=∠BFC=90°（ ）,
∴∠ACF=90°-∠A.
∴∠BOC=∠OEC+∠ACF=90°+90°-∠A=180°-∠A
已知
三角形高的定义
三角形外角的性质
本题主要考查了三角形高的定义，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键
课堂练习
3.空竹在中国有悠久的历史,明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法.抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化瑰宝”.2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录.嘉嘉在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，AB∥CD，∠E=20°，∠ECD=105°，则∠A的度数为 .
解：如图延长DC到AE与点F
∵∠ECD=∠E+∠EFC，∠E=20°，∠ECD=105°
∴∠EFC=∠ECD-∠E=105°-20°=85°
∵AB∥CD
∴∠A=∠EFC=85°
F
85°
课堂练习
5．一副三角板按如图所示的方式摆放，∠B=∠D=90°，∠A=60°，∠E=45°，若AC∥DF，则
∠1=度数为 。
2
3
解：∵∠B=∠D=90°，∠A=60°，∠E=45°
∴∠C=180°-∠B-∠A=180°-90°-60°=30°；
∠F=180°-∠D-∠E=180°-90°-45°=45°；
∵AC∥DF，
∴∠3=∠F=45°，∴∠2=∠3-∠C=45°-30°=15°；
∴∠1=∠2=15°
课堂练习
6．如图，AB∥CD，∠CDE=118°，点G为直线AB上点，GF交∠DEB的平行线EF于F，∠AGF=141°，则∠F= 。
解：∵AB∥CD，∠CDE=118°；
∴∠AED=180°-118°=62°，∠DEB=118°
∵GF交∠DEB的平分线EF与F
∴∠DEF=∠DEB=59°
∴∠GEF=62°+59°=121°；
∵∠AGF=141°
∴∠F=∠AGF-∠GEF=141°-121°=20°
课堂练习
7．如图，AB∥CD，点E是BC的延长线上的一点，AE交CD于点F，∠1=∠2，∠3=∠4
（1）求证：AD∥BE
证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE
∴∠BAE=∠CAD，∵AB∥CD，∴∠4=∠BAE
∴∠4=∠CAD，∵∠3=∠4，∴∠3=∠CAD，∴AD∥BE
（2）若∠B=60°，∠E=50°，求∠CAE的度数
解：∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE=60°，∵∠E=50°
∴∠4=180°-∠E-∠DCE=70°，
∵∠3=∠4，∴∠3=70°，
∵∠3是△ACE的一个外角，
∴∠CAE=∠3-∠E=20°
课堂小结
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形外角性质
通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确。因此,要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论),一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明
证明的概念
延长AB与点D，在点B处除了∠ABC以外还有一个角是∠CBD，这样的角
叫做三角形的外角。
三角形外角的概念
01
02
03
04
感谢聆听!

展开更多......

收起↑