资源简介

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1.1.1认识三角形(一)
第1章
三角形的初步认识
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
理解三角形的定义与基本特征
掌握三角形的核心定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
识别三角形的三个基本构成要素：三个顶点、三条边、三个内角。
熟练的掌握三角的分类。
理解三角形的构成条件，并应用进行判断和作图
理解“任意两边之和大于第三边”这一三角形存在的根本条件。
能够运用此条件判断三条给定线段能否组成一个三角形。
理解三角形的内角和定义并能熟练的使用
理解三角形内角和等于180°并能进行证明
利用三角形内角和定理进行相关求解
课堂导入
观看视频，同学们说一说能从中间观察到哪些图形呢，分小组讨论一下。
美丽的雪山
傍晚的阳光
三角形的图象在我们生活中随处可见，同学们还见过哪些呢？举例说明
新知探究
三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形，通常用符号“△”表示
A
B
C
边
边
边



线段AB、BC、CA是三角形的三条边
由相邻两边组成的∠A、∠B、∠C称为三角形的内角，也称三角形的角
A、B、C称为三角形的顶点
注意事项
①在数三角形的个数时，要做到不遗漏，不重复
②不是独立的角不能用单独的字母表示
做一做
说出图形中所有的三角形，以及每一个三角形的三条边和三个内角。
△ABD,内角分别为∠A、∠ADB、∠DBA
△BDC,内角分别为∠CDB、∠C、∠CBD
△ABC,内角分别为∠A、∠B、∠C
新知探究
视频
观察下方视频，同学们说一说，在三角形变换的过程中出现了哪些三角形，那么我们是怎么分类的？
三个内角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形
有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形
有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形
按角度分类：
三角形除了按角分类，还可以按什么分类呢？
不等边三角形（三边均不等）
等腰三角形（两边相等，含等边三角形）
典例分析
例1 把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．
(1)按边分类：三边均不相等的 是不等边三角形；两条边相等的 是 等腰三角形；三条边相等的 是等边三角形．
(2)按角分类：都是锐角的 是锐角三角形；有直角的 是直角三角形；有钝角的 是钝角三角形．
②④⑤⑦
①③⑥⑧
①
①④⑥
③⑤⑦
②⑧
主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形
做一做
下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（ ）
根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案．
情境引入
观察下面图片，思考当∠C1AB在变小时，其他角度怎么变化，三个角的总和会发生变化吗？
请大家任意画一个三角形，用量角器量出它的三个内角的度数，算算它们的和是多少？
新知探究
实验方法：度量法
操作： 学生分组（2-4人一组），每人任意画不同类型的三角形（锐角、直角、钝角），用尽量精准的量角器量出三个内角的度数，记录在表格中（如下表），并计算内角和。
三角形序号 ∠A（度） ∠B（度） ∠C（度） ∠A+∠B+∠C（度）
1
2
3
观察与思考： 组内交流计算结果，比较不同三角形的内角和。
引导性问题： 大家计算的和都在180°附近吗？有什么细微差别？这些差别可能是由什么引起的？（测量误差、读数误差、画图误差）大家得到的结论是？ — 实验误差普遍存在，但结果趋近于180°。
新知探究
三角形内角和定理的证明
如图所示，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=90°
证明：如图所示，过点A作DE∥BC
∵DE∥BC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE
又∵D、A、E在同一条直线上
∴∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°∠B+∠BAC+∠C=180°
∴三角形的三个内角和等于180°
知识回顾：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°
典例分析
例2 如图所示，在△ABC中，∠A=57°，∠B=40°，DE∥BC，则∠AED的度数。
解：∵∠A=57°，∠B=40°
∴∠C=180°-∠A-∠B=83°
∵DE∥BC，∴∠AED=∠C=83°
本题考查了三角形的内角和及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
利用三角形内角和进行可求出∠C
需要回顾平行四边形的性质和判定。
变式训练
如图所示，AB∥CD，PE⊥AB，垂足为点F，如果∠PEC=45°，那么
∠EPF的度数。
解：如图所示，延长FP∠CD于M，∵AB∥CD，PF⊥AB，∴FM⊥CD∴∠PME=90°，∵∠PEC=45°，∴∠MPE=90°-∠PEC=45°，∴∠FPE=90°-∠MPE=135°
解题思路：延长FP∠CD于点M，由平行线的性质得到FM⊥CD，求出∠MPE=90°-∠PEC=45°，由邻补角的性质即可求解
新知探究
动手实践：准备一些不同的长度的小棒（如吸管、竹签、纸条）
实验一：取三个小棒分别为2cm、3cm、6cm，同学们尝试一下把他摆放成首尾相接的三角形
现象：发现怎么摆都无法“连接成一个封闭的图形”。最长的6cm棒太长了，短的两根（2cm+3cm=5cm < 6cm）根本够不着两端。
引导问题： “为什么拼不成？” — “因为两条短边接起来还够不到最长边的两端。
初步结论： 当两条边之和小于第三边时，不能构成三角形。
新知探究
实验二：取三根小棒（如3cm, 3cm, 6cm），同学们尝试一下把他摆放成首尾相接的三角形
发现只能在一条直线上首尾相接，形成一个扁平的、“退化”的“三角形”（实际是共线的线段）。
这和我们在纸上画的三角形一样吗？” — “不一样，它没有面积，是一条直线。”
当两条边之和等于第三边时，不能构成严格意义上的三角形（只有三条边共线时才能“连接”）。
新知探究
实验三：取三根满足条件的小棒（如3cm, 4cm, 5cm）。
学生很容易拼成三角形。
可以形成有面积的三角形。
通过上面三个实验的对比，得出结论：要使三条线段构成三角形，必须满足任意两边之和都大于第三边。
典例分析
例3 判断下面各线段，哪些首位顺次相接能组成三角形，哪些不能组成三角形，请说明理由。
（1）3, 4, 6 （2）5 ,6 ,11 （3）2 ,2 ,6
总结：判断是否能构成三角形，只需要判断三角形中最短的两边和与第三边的关系。
分析:要判断三条线段能否组成三角形,依据“三角形的任意两边之和
大于第三边”,只要把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较。如果最长的一条线段小于另外两条线段的和,那么这三条线段就能组成三角形;如果最长的一条线段大于或等于另外两条线段的和,那么这三条线段就不能组成三角形。
解析：（1）最短两边分别为3,4，最长一边为6,3+4＞6，能构成三角形
（2）最短两边分别为5,6，最长一边为11，5+6=11，所以不能构成三角形
（3）最短两边分别为2,2，最长一边为6，2+2＜6，所以不能构成三角形
回顾：三角形的两边之差有什么关系呢？
变式训练
小刚要从长度分别为5cm，6cm，11cm，16cm的四根木棒中选出三根围成一个三角形，那么他应该选择哪三根木棒？为什么？
考查三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
解答：四根木棍从中选取三根共有以下的选取方式：①5cm、6cm、11cm；②5cm、6cm、16cm；③5cm、11cm、16cm；④6cm、11cm、16cm
根据三角形的形成的条件：最短两边之和大于第三边，①5+6=11，不能构成三角形；②5+6＜16，不能构成三角形；③5+11=16，不能构成三角形；④6+11＞16，能构成三角形。
∴他应该选取6cm、11cm、16cm。
课堂练习
1．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．4，6，9 C．2，9，6 D．2，2，4
最短两边是1，2；1+2=3，所以不能构成三角形
最短两边是4,6；4+6＞9，所以能构成三角形
最短两边是2,6；2+6＜9，所以不能构成三角形
最短两边2,2；2+2=4，所以不能构成三角形
课堂练习
2．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
等边三角形是特殊的等腰三角形，所以不能分开说
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
课堂练习
3．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠B=35°，则∠2的度数为（ ）
解：∵AE平分∠BAC，∠1=40°，∴∠BAC=2∠1=80°，∵∠B=35°；
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-35°-80°=64°
又∵AD⊥BC，∴∠2=180°-∠ADC-∠C=25°
A．A。15° B．25° C．35° D. 45°
AD⊥BC，所以∠ADC=90°
AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠EAC
课堂练习
4.一位同学符合要求的读写姿势如图所示，眼睛到笔尖的距离为36cm，以她的眼睛B，肘关节C和笔尖A为顶点的的△ABC三个内角的度数比为2:3:4，则此三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
解：∵△ABC的三个内角的度数比为2:3:4,
∴可设△ABC的三个内角的度数分别为2k，3k，4k
则△ABC中最大的角的度数为：
∵80°＜90°
∴△ABC是锐角三角形
课堂练习
5.已知三角形两边的长分别是4cm和9cm
(1)求第三边的取值范围；
(2)若第三边的长是偶数，求第三边的长；
(3)求周长的取值范围（第三边的长是整数）．
解：（1）设第三边长为xcm，
9-4=5（cm），
9+4=13（cm），
∴第三边的取值范围是5cm（2）由题意可知，其中偶数为6，8，10，12，
∴第三边的长为6cm，8cm，10cm，12cm．
（3）周长=4+9+第三边，
∵5cm<第三边<13cm，
∴18cm<周长<26cm．
课堂练习
6．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为和的木棒，如果第三根木棒的长度是偶数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？
解：设第三根的长是xcm．
根据三角形的三边关系，则3因为x是偶数，因而第三根的长度是大于3cm且小于13cm的所有偶数，共有5个数．
答：小颖有5种法．第三根木棒的长度可以是4cm，6cm，8cm，10cm，12cm．
课堂练习
7．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
解：（1）∵AE⊥BC，∴∵AE=5，∴BC=12，∵D是BC的中点，∴CD==6
（1）若点D为边BC的中点，AE=5，△ABC的面积为30，求CD的长；
（2）若AD平分∠BAC，∠C=68°，∠B=36°，求∠DAE的度数
（2）∵∠C=68°，∠B=36°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=76°，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=
∴∠ADE=∠B+∠BAD=74°
∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=16°
课堂小结
①按角分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形
②按边分类：不等边三角形、等腰三角形
三角形的分类
①定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
②顶点： 三条线段相接的点。通常用大写字母表示
③边： 连接相邻顶点的线段。通常用小写字母表示其长度
④内角： 三角形相邻两边的夹角。简称“角”。
三角形中基本概念
三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边
三角形三个重要的不等关系
01
02
03
04
三角形内角和定理
三角形的内角和等于180°
感谢聆听!

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