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1.5 全等三角形的判定
（第3课时）
第1章
三角形的初步认识
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
理解判定原理
掌握AAS（角角边）和ASA（角边角）的几何条件，明确两角及一边对应相等时三角形全等的逻辑依据。
应用判定方法解题
能根据已知条件（两角及一边）准确选择AAS或ASA判定三角形全等，并规范书写证明过程。
培养严谨推理能力
理解全等证明中“对应相等”的关键性，避免“边边角（SSA）”等常见误区。
结合尺规作图验证判定定理，深化对几何逻辑与直观想象的综合运用。
课前复习
“同学们，在前面一节课我们学习了利用两个三角形的两组对边及其夹角相等（SAS）即可证明两个三角形全等。
除了利用SSS、SAS来判断两个三角形的全等，还有其他的判断方法吗？思考一下
如图在△ABC和△DEF中，????????=????????∠????????????=∠????????????????????=????????,则△ABC≌△DEF（SAS）
?
注意书写格式，避免被扣分
新知探究
已知∠α=30°，∠β=70°，线段a=7cm，用直尺和量角器作出△ABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a=7cm
和同桌画的三角形对比一下，看能否完全重合呢？
在△ABC和△DEF中，∠????=∠????????????=????????∠????=∠????,所以△ABC≌△DEF（ASA）
?
两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）
例1 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，且∠A=∠BEC，
AD=BE，求证：△ABD≌△ECB
典例分析
证明：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，
∴∠ADB=∠EBC，
在△ADB和△EBC中，∠????=∠????????????????????=????????∠????????????=∠????????????
∴△ABD≌△ECB（ASA）
?
两直线平行，内错角相等，可得∠ADB=∠EBC
变式训练
如图，AC∥DF，∠B=∠DEF，BE=CF，求证：△ABC≌△DEF
证明：∵AC∥DF,
∴∠DFE=∠ACB
∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC
即BC=EF
在△ABC和△DEF中，∠????????????=∠????????????????????=????????∠????????????=∠????????????
∴△ABC≌△DEF(ASA)
?
AC∥DF可得∠DFE=∠ACB
注意题目中线段的公共部分
新知探究
在上面的学习中我们知道了可以用ASA来证明两个三角形全等，此外还可以用AAS来证明三角形全等，如图所示。
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS ”）。
在△ABC和△DEF中，∠????=∠????∠????=∠????????????=????????,所以△ABC≌△DEF（AAS）
?
例2 如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃?
典例分析
①只能确定一个角，所以无法复制
②中边角都不能确定，所以无法复制
③中确定一条边和两个角，可以复制
④中边角都不能确定，所以无法复制
变式训练
如图,一块三角形玻璃样板不慎被张字同学碰破了,成为四块碎片.聪明的张字经过仔细考虑认为，只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让工人师傅画一块与以前一样的玻璃样板,你认为下列选项中可行的是( )
A . 带1、2或2、3去就可以
B . 带1、4或3、4去就可以
C . 带1、4或2、3去就可以
D . 带其中的任意两块去都可以
只已知一个角，不可以
只已知一个角，不可以
已知一个边两个角，可以
已知一个边两个角，可以
B
例3 已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，一直线过顶点C，过点A、B分别作其垂线，垂足分别为E、F，求证：△AEC≌△CFB
典例分析
此处用了同角的余角相等
证明：∵∠ACB=90°
∴∠ECA+∠FCB=90°，
又∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEF=∠CFB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°
∴∠FCB=∠EAC
在△ACE和△CBF中，∠ ????????????=∠ ????????????∠ ????????????=∠ ????????????????????=????????
∴△AEC≌△CFB（AAS）
?
当题目中出现2个及其以上的直角时，可以利用同角或等角的余角相等来求角相等
变式训练
如图，AB∥CD，点E、F在线段AD上，且AE=DF，连接BF、CE，若∠B=∠C，请完成下列问题：
证明：∵AB∥CE，∴∠A=∠D
∵AE=DF，∴AE+EF=DF+EF，即AF=DE
∴在△ABF和△DCE中，∠????=∠????∠????=∠????????????=????????
∴△ABF≌△DCE（AAS）
?
（1）说明△ABF≌△DCE;
（2）猜想BF与CE的关系，并说明理由
解：BF=CE，BF∥CE，理由如下：
∵△ABF≌△DCE，∴BF=CE，∠AFB=∠DEC
∴BF∥CE
注意：AF和ED有共同部分EF
利用等式的基本性质：等式两边同时减去一个数，等式仍然成立
课堂练习
1．小明利用全等三角形的知识测量河流的宽度AB，设计了如图所示的方案.在河边选了一点O，然后在BO的延线上找一点C，使OC=OB，在C点沿与河边垂直的方向直走到点D，观察到A,O,D,三点在同一直线上，测得CD的长，就是河流的宽度AB，小明这种测量方法的原理是（ ）
C
A . SSS B . SAS
C . ASA D . AAS
对顶角相等，所以∠AOB=∠COD
因为AB⊥BC，CD⊥BC，所以∠ABO=∠DCO
课堂练习
2．如图，已知点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥DF，AE=DF，∠E=∠F，若AD=16cm,
BC=4cm，则CD的长为（ ）
A
A . 6cm B . 7cm
C . 8cm D . 9cm
AE∥DE，所以∠A=∠D
可证的△AEC≌△DFB
解：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，
在△AEC和△DFB中，∠????=∠????∠????=∠????????????=????????,∴△EAC≌△FDB（ASA）
∴AC=BD,∴AC-BC=BD-BC,∴AB=CD
∵AB+BC+CD=16cm,BC=4cm，∴CD=????????(AB-BC)=6cm
?
课堂练习
3．如图,为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得∠ABC=65°，∠ACB=30°,然后在M处立了标杆，使∠CBM=65°，∠MCB=30°，测得MB的长是15米，则A，B两点间的距离为 米
解：由题知，∠ABC=∠CBM=65°，∠ACB=∠MCB=30°
∵在△ABC和△MBC中∠????????????=∠????????????????????=????????∠????????????=∠????????????
∴△ABC≌△MB（ASA）
∴AB=BM=15米
∴A、B两点之间的距离为15米
?
15
注意题目中的公共边
课堂练习
4 .如图，∠C=∠D=90°，若利用AAS证明△ABC≌△BAD，需添加的条件是 （写成一种即可）
解：在△ABC和△BAD中，∠????=∠????∠????????????=∠????????????????????=????????
∴△ABC≌△BAD（AAS）
∴利用AAS证明△ABC≌△BAD，需要添加的条件是
∠ABC=∠BAD（答案不唯一）
?
∠ABC=∠BAD
思考一下，还有其他条件可以添加吗？
课堂练习
5．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相较于点O，求证：△AEC≌△BED，请补全证明过程，并写在括号里。
证明：∵∠1=∠2
∴∠1+ =∠2+ ；
∴∠AEC= .
在△AEC和△BED中
∵ = ==
∴△AEC≌△BED（ ）
?
∠AED
∠AED
∠BED
∠BED
∠AEC
∠A
∠B
AE
BE
AAS
利用公共角转化为两角相等
课堂练习
6．已知，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE交于点F，CF=BF，AC=AB，求证：
（2）AD=AE
证明：如图，连接AF，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠FDC=∠FEB=90°
在△CDF与△BEF中，∠????????????=∠????????????∠????????????=∠????????????????????=????????
∴△CDF≌△BEF（AAS）,∴FD=FE
?
证明：由（1）可知△CDF≌△BEF ∴CD=BE
又∵AC=AB，∴AC-CD=AB-BE，∴AD=AE
（1）FD=EF
课堂练习
7．如图，已知△ACE的边CE与△BDF的边DF在一条直线上，AC=BD，CF=DE，∠C=∠D，请你从下列三个选项：①∠A= ∠B；②AC=CE；③AE=BF中，选择一个合适的选项作为结论，并证明
（1）你选择的结论是 。（填序号）
证明：∵CF=DE，∴CF+EF=DE+EF；
∴CE=DF,
在△ACE和△BDF中，????????=????????∠????=∠????????????=????????
∴△ACE≌△BDF(SAS),∴∠A=∠B或AE=BF
?
（2）根据你选择的结论，写出该结论的证明过程
①③
课堂小结
证明步骤：先标注已知角、边，再根据条件选择ASA或AAS，最后写出全等结论
易错提示：避免混淆SSA（非全等判定）与AAS，强调“对应相等”的顺序性。
应用要点
ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等，则两三角形全等（∠A=∠A'，∠B=∠B'，夹边AB=A'B'）
AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等，则两三角形全等（∠A=∠A'，∠B=∠B'，非夹边AC=A'C'）。
基本定义与条件
相同点：均需两个角对应相等+一条边相等不同点：ASA的边是两角的夹边，AAS的边是其中一角的对边（通过三角形内角和可互相转化）
关键区别与联系
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