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(共20张PPT)
1.6 线段垂直平分线的性质
第1章
三角形的初步认识
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
理解性质
学生能准确描述垂直平分线的定义，掌握“垂直平分线上的任意一点到线段两端距离相等”这一核心性质，并能用几何语言。
应用性质解决问题
学生能运用垂直平分线的性质解决简单的几何问题（如证明三角形全等、求线段长度或角度），并能结合尺规作图完成给定线段的垂直平分线操作。
逻辑推理能力
通过例题，学生能逐步理解性质与逆定理的关系（即“到线段两端距离相等的点必在其垂直平分线上”），
课堂导入
村庄A和B在一条河流两侧，为了方便居民的生活，需要在两个村庄之间建立一个消防站，如图所示
"寻找最公平的位置"——探索垂直平分线的奥秘
同桌讨论一下：应该把消防站建立在何处，才能使得它到两个村庄之间的距离相等呢
新知探究
督箭发射的过程中，两段弓弦AB,AC有什么关系 若箭所在的直线为AD,则AD与BC有什么关系
AD⊥BC，BD=DC
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
新知探究
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
如图所示：直线l⊥AB于点O，且OA=OB。C是
直线l上的任意一点。
求证：CA=CB
证明：∵l⊥AB，∴∠COA=∠CBO
在△CAO和△CBO中
∴△CAO≌△CBO(SAS)
∴CA=CB（全等三角形的对应边相等）
（教材母题）例1已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线。
典例分析
要作线段AB的垂直平分线，只需找出线段AB的垂直平分线上的两个点，这两个点到点A，B的距离分别相等。
作法：1.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D。2.作直线CD；直线CD就是线段AB的垂直平分线。
变式训练
如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹．
先分别以A，B为圆心，以大于AB的半径画圆，然后连接两交点的直线交河面的点即为小水塘的位置，
例2 如图，在△ABC中，AB=AC=12cm，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，且△BCD的周长为22cm，求底边BC的长
典例分析
解题思路：由DE垂直平分AC，可得AD=DC，则可求出△BDC的周长为BC+AB，把AB的值代入即可求出BC
解：∵DE垂直平分AC∴AD=DC，
∴△BCD的周长为BC+BD+DC=BC+BD+AD=BC+AB=22cm
∵AB=AC=12cm
∴BC+12=22，解得BC=10cm
∴底边BC的长为10cm
变式训练
如图，在△ABC中，AC⊥BC，DE⊥AB于点E、AD是CE的垂直平分线，求证：AD平分
∠BAC
解题思路：此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，先证明△AED≌△ACD(SAS)，得到∠DAE=∠DAC，即可得到结论
证明：∵DE⊥AB，AC⊥BC，∴∠AED=∠ACB=90°
又∵AD是CE的垂直平分线，
∴AE=AC、ED=DC
∴在△AED和△ACD中，∴△AED≌△ACD(SAS)
∴∠DAE=∠DAC，∴AD平分∠BAC
证明AD平分∠BAC，只需要证明∠DAE=∠DAC即可
例3 如图，在△ABC中，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、E。若AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为 cm
典例分析
解题思路：主要考查作图和垂直平分线的性质，根据题意得到MN的垂直平分线AC，利用等量代换即可得到答案
解：由题意得到MN垂直平分AC
∴CE=AE=4cm，DA=DC
∵△ABD的周长为14cm
∴AB+BD+AD=14cm，∴AB+BD+DC=14cm
即AB+BC=14cm
△ABC的周长=AB+BC+AC=14+4+4=22cm
此过程在做线段AC的垂直平分线
22
变式训练
如图，已知线段AB，分别以点A、B为圆心，5为半径作弧相较于C、D，连接CD，点E在CD上，连CA、CB、EA、EB，若△ABC与△ABE的周长之差为4，则AE的长为 。
解题思路：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，△ABC与△ABE的周长之差为4,就是2AC-2AE=4，即可求解。
解：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，AE=BE
∴△ABC与△ABE的周长之差为4，即2AC-2AE=4
∵AC=5，∴10-2AE=4
解得AE=3.
3
课堂练习
1．银川市是著名的“中国葡萄酒之都”，得益于贺兰山东麓的优越气候和土壤条件，形成了世界级的葡萄种植与酿酒产业带．如图，三条公路将闽宁镇、玉泉营、黄羊滩三个核心葡萄种植区连接成三角形区域．当地计划在此区域内建设一个国际葡萄交易中心，要求交易中心到三个种植区的距离相等．这个交易中心应建在（ ）
C
A . 三角形的三条中线的交点处 B . 三角形的三条角平分线的交点处
C . 三角形的三条垂直平分线的交点处 D . 三角形的三条高线的交点处
到端点的距离相等是垂直平分线的性质
课堂练习
2．如图， 在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长为20cm，AE=5cm，则△ABC的周长是 cm
30
解题思路：根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再根据三角形的周长公式列式计算即可求解
解：∵DE是AC的中垂线
∴AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=20cm
又∵AE=5cm
∴AC=2AE=2×5=10cm
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=20+10=30（cm）
课堂练习
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°
（1）请用直尺和圆规作线段BC的垂直平分线，分别交线段BC、AC于点E、F
（2）连接BF，请找出图中和BF相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）
解：（1）如图，分别以点B和点C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线MN，分别交线段BC、AC与点E、F，点E、F即为所求。
（2）∵EF是线段BC的垂直平分线
∴CF=BF
课堂练习
4 .如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点D，连接CE。若△ABC的周长为19，△BCE的周长为13，求AD的长。
解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD,EC=EA
∵△BCE的周长为13,∴BE+EC+BC=13,
∴BE+AE+BC=13,即AB+BC=13,
∵△ABC的周长为19，∴AB+BC+AC=19,
∴AC=6，∵AD=CD，∴AD=3
解题思路：根据线段垂直平分线的性质可得AD=CD，EC=EA，根据△BCE周长为13，可求出AB+BC=13，根据△ABC的周长为19，可求出AC=6，即可求解
课堂练习
5．如图所示，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分线ME交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线NF交BC于点N ,交AC于点F，求∠MAN的度数。
解题思路：根据三角形的内角和定理可求出∠B+∠C=180°-130°=50°，根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠MAB=∠B
解：∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°-130°=50°
∵ME是线段AB的垂直平分线，NF是线段AC的垂直
平分线
∴MA=MB，NA=NC，
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C
∴∠MAB+∠NAC=∠B+∠C=50°
∴∠MAN=130°-50°=80°
课堂练习
6．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD。
（2）若∠ADM=60°,∠ABD=20°，求∠A的度数
解：∵MN垂直平分BC，∴DC=BD，CE=EB=BC
又∵EC=4，∴BE=4，∴BC=8
又∵△BDC的周长为18，∴BD+DC+BC=18,
∴BC=8
解：∵∠ADM=60°，∴∠CDN=60°
又∵MN垂直平分BC，∴∠DEC=90°，∴∠C=30°
∵BD=CD，∴∠DBC=∠C=30°
∵∠ABD=20°，∴∠ABC=50°，∴∠A=100°
（1）如图CE=4,△BDC的周长为18，求BD的长
课堂练习
7．如图，小明家有一块三角形的土地ABC，其中∠C=90°，∠B=30°，AB=12米，BC=米，春天来了，小明的爷爷想把这块三角形土地分成形状、大小相同的三小块，分别种上豆角、西红柿、茄子。
（1）你能帮小明的爷爷把这块土地分成形状、大小相同的三份吗？试着画一画。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
解：由（1）可知：△ACD≌△BED
∴CD=DE，∵DE垂直平分AB
∴BE=AB=6，∴△BED的周长为：
BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=(6+)米
（2）在（1）的基础上，请计算其中一块小三角土地的周长
课堂小结
尺规作图：作线段的垂直平分线
生活案例：确定到两个固定点距离相等的位置（如选址问题）
实际应用
垂直平分线定义：垂直于线段且通过其中点的直线
核心性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等
基本定义与性质
三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三个顶点距离相等
相关推论与应用
01
02
03
04
感谢聆听!

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