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1.5 全等三角形的判定
（第2课时）
第1章
三角形的初步认识
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
掌握SAS判定定理的内容
学生能准确表述SAS判定条件：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
理解“夹角”的关键性，明确两边必须夹住对应相等的角。
运用SAS判定三角形全等
能根据题目条件（如已知两边及夹角）正确选择SAS进行证明，并规范书写推理过程。
思维与探究目标
能举出反例说明“两边及非夹角相等（SSA）”不能判定全等，强化SAS的准确性
课前复习
“同学们，在前面一节课我们学习了利用两个三角形的三组对应边分别相等（SSS）即可证明两个三角形全等。
除了利用SSS来判断两个三角形的全等，还有其他的判断方法吗？思考一下
如图在△ABC和△DEF中，,则△ABC≌△DEF（SSS）
注意书写格式，避免被扣分
课堂引入
课堂活动：挑战拼图——限时拼合三角形
每个学生拿出不同颜色的吸管或铅笔（代表边）和量角器，要求用给定的两根吸管或铅笔（如6cm、8cm）和夹角（30°）拼出三角形。
和自己周围的同学对比一下，看你们所拼成的三角形是否能完全重合呢
将夹角（30°）改为夹角45°，边长保持不变，对比下前后两个三角形的差异
为什么同样的两边，角度不同拼出的三角形不同？什么条件下拼出的三角形一定全等？
新知探究
如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动，因此连结另两端所成的三角形不能唯一确定。这就是说,如果两个三角形只有两条边对应相等,那么这两个三角形不一定全等。
如果固定两木条之间的夹角(即∠BAC)的大小那么△ABC的形状和大小也随之被确定。
当三角形的两个边及其这两个边的夹角固定了，那么这个三角形就确定了
新知探究
如图所示，AB=A'B',BC=B'C',∠B=∠B'，将∠B和∠B'重合时，射线BA和射线B'C'必然重合，因为AB=A'B',BC=B'C'，所以A和A'重合，B和B'重合，所以△ABC和△A'B'C'
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）。
在△ABC和△A'B'C'中，,所以△ABC≌△A'B'C'（SAS）
注意SAS中的A必须是两条边的夹角
例1 如图所示，点E在边BC的延长线上，已知DE=BC，DE∥AC，BE=AC，求证：△BDE≌△ABC
典例分析
证明：∵DE∥AC
∴∠E=∠ACB，
在△BDE和△ABC中，
∴△BDE≌△ABC（SAS）
两直线平行，同位角相等，可得∠E=∠ACB
判定定理“SAS”中的A一定是两边的夹角
变式训练
如图，点E、F在线段AC上，DF=BE，AE=CF，∠AFD=∠CEB，求证：△ADF≌△CBE
证明：∵AE=CF,
∴AE-EF=CF-EF
∴AF=CE,
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(SAS)
注意到线段中的公共部分问题
DE和BE是△ADF和△CBE中一组对应边
AE、CF不属于这两个三角形边，但是它们有公共线段，可得AF=CE
∠AFD和∠CEB是两组对应边的夹角
变式训练
如图，已知AB=AD，AC=AE，AB⊥AD，AC⊥AE，求证：△ABC≌△ADE
证明：∵AB⊥AD，AC⊥AE,
∴∠BAD=∠CAE=90°
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,
∴∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)
注意到角中的公共部分问题
AB和AD是△ABC和△ADE中一组对应边
AC和AE是△ABC和△ADE中一组对应边
AB⊥AD，AC⊥AE可知∠BAD=∠CAE=90°
例2 已知：如图，AD是△ABC的中线，点M在AD上，点N在AD的延长线上，且DM=DN。
典例分析
（1）求证：△BDN≌△CDM
证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD,
∴在△BDN和△CDM中，,∴△BDN≌△CDM
解：∵∠AMC=80°∴∠DMC=180°-80°=100°
∵△BDN≌△CDM
∴∠N=∠DMC=100°
（2）若∠AMC=80°,求∠N的度数
根据中线的性质：BD=DC
注意题目中隐藏条件：对顶角相等
变式训练
如图AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠BAD=25°，∠ACE=30°，连接BE，点D恰好在BE上。
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE
在△ACE和△ABD中，
∴△ACE≌△ABD（SAS）
（1）求证：△ACE≌△ABD;
（2）求∠ADE的度数。
解：∵△ACE≌△ABD，∠BAD=25°，∠ACE=30°
∴∠ABD=∠ACE=30°，∴∠ADE=25°+30°=55°
注意：∠BAC和∠DAE有共同部分∠DAC
利用等式的基本性质：等式两边同时减去一个数，等式仍然成立
新知探究
上面我们学习了全等三角形的判定定理（SAS）,两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，其中的角必须是夹角，如果不是还能证明两个三角形全等吗？
如图所示，木条 AB，AC的长度确定，均可绕点A转动。若∠B的大小确定，则△ABC的形状、大小唯一确定吗？
∠B不是AB和AC的夹角
所以当角不是两个已知边的夹角时不能用来证明两个三角形的全等（SSA）
课堂练习
1．如图所示，AC和BD相较于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（ ）
A . AB=DC B . OB=OC
C . ∠A=∠D D . ∠AOB=∠DOC
B
OA和OD是△AOB和△DOC的对应边
需要注意图中所给的隐藏条件：对顶角相等
满足SSA，但是SSA不一定能证明全等
题目的隐藏条件，目前只已知一边和一角无法证明全等
课堂练习
2．据史书记载,最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟,称为“木鸢”.后来随着造纸术的发明.人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞.在如下图所示的“风筝“图案中，AB=AD、∠B=∠D、BC=DE.则可以直接判定( )
D
A . △AEG≌△ABC B . △AEG≌△ACF C . △ABF≌△ADC D . △ABC≌△ADE
课堂练习
3．如图，△ABC中，D为BC边上一点，CD=AB，∠CDE=∠A，AC=DE，连接CE，若∠B=110°，∠A=50°，则∠ACE= 。
解：∵在△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE（SAS）
∴∠DCB=∠B=110°，
∵∠B=110°，∠A=50°,∴∠ACB=180°-∠B-∠C=20°
∴∠ACE=∠DCB-∠ACB=90°
90°
根据这三个条件即可直接证△ABC≌△DCE（SAS）
根据全等三角形的性质可知对应角相等
课堂练习
4 .在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AD=8，则AC的取值范围是（ ）
解：延长AD至点E，使得DE=AD=8，则AE=16
∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴BE=AC，∵AE-AB＜BE＜AE+AB
∴16-5B
A . 16＜AC＜20 B . 11＜AC＜21 C . 16＜AC＜21 D . 11＜AC＜20
利用三角形的形成条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
课堂练习
5．如图，D、E是△ABC外两点，连接AD、AE，有AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=40°.连接CD，BE交于点F，则∠BFD的度数为 .
解：设AB交CD于点G，∵∠BAD=∠CAE=40°
∴∠BAE=∠DAC=40°+∠BAC
在△BAE和△DAC中，
∴△BAE≌△DAC（SAS）
∴∠ABE=∠D，
∠BFD=∠BGD-∠ABE=∠BGD-∠D=∠BAD=40°
∠BAC是∠DAC和∠BAE的公共角
已知两组对应边相等
40°
课堂练习
6．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD=AB，过点C作CE∥AB且CE=BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G。
（2）若∠B=60°，∠D=22°，求∠AFG的度数
证明：∵CE∥AB，∴∠B=∠DCE
在△ABC与△DCE中
∴△ABC≌△DCE（SAS）
解：△ABC≌△DCE，∠B=60°，∠D=22°
∴∠ECD=∠B=60°,∠A=∠D=22°
∴∠CED=180°-∠D-∠ECD=180°-22°-60°=98°
（1）求证：△ABC≌△DCE
两直线平行，同位角相等
课堂练习
7．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若BD=AD，FD=CD
（1）若线段CD=3cm，AF=4cm，则BD= .
解：∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°
在△ADC和△BDF中，∴△ADC≌△BDF
∴DF=CD=3cm，∴BD=AD=AF+DF=4+3=7cm
（2）求证：BE⊥AC
证明：∵△ADC≌△BDF，∴∠DBF=∠DAC；
∵∠DBF=∠DAC,∵∠BFD=∠AFE,
∴∠DAC+∠AFE=∠DBF+∠BFD=90°
即∠AEF=90°,∴BE⊥AC
隐藏条件：∠AFE=∠BFD对顶角相等
课堂小结
① 找出两组对应相等的边；
② 确认这两条边的夹角对应相等；
③ 写出全等结论并标出对应边/角。
证明步骤
如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等（简记“边角边”或SAS）。
SAS判定定理的定义
两边对应相等：必须是两组边的长度分别相等。
夹角相等：必须是两边所夹的角（其他角相等不适用）。
SAS的必备条件
01
02
03
04
感谢聆听!

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