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1.1 认识三角形（第2课时）
第1章
三角形的初步认识
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
掌握角平分线的定义
能准确说出并理解三角形角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的线段。理解在三角形中，它是连接一个顶点与该顶点所对边上的一个特定点的线段。
掌握高的定义、性质
能准确说出并理解三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。重点理解并掌握高在锐角三角形、直角三角形和钝角三角形中的不同位置特征（特别是钝角三角形的高可能落在三角形外部）。
掌握中线的定义、性质
能准确说出并理解三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段。理解名称中“中”即表示“中点”。
新知探究
是什么？ 在一个角（比如三角形的顶角A）里，画一条从顶点A出发的射线，把那个角切成两个一模一样的、大小相等的角。这条射线就是三角形角A的角平分线。
怎么想？ 想象你要把蛋糕（就是那个角）平均分给两个人吃，从哪里切下去最公平？这条“切下去”的线就是角平分线。
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。如图，∠ABC的平分线交AC于点D，线段BD就是△ABC的一条角平分线
了解三角形的角平分线
新知探究
是什么？ 从一个顶点（比如三角形的顶点A）向它所对的边（叫底边，比如BC）画一条垂直线（竖着的线），顶点A到这条垂直线在底边BC（或它的延长线）上交点的那段线（垂线段），就是BC边上的高（或叫顶点A的高）。
怎么想？ 想象这个三角形是一座小山，要从山顶A垂直向下量到山底边BC的高度是多少？那条垂直向下的“测量线”就是高。
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线。如图，BD⊥AC于点D,线段BD就是△ABC的AC边上的高线
了解三角形的高
高
新知探究
是什么？ 连接一个顶点（比如三角形的顶点A）和它所对边的中点（比如BC边中间的那个点，叫作D）的一条线段。
怎么想？ 想象你要找出BC边上的“正中心”位置（中点D），然后把它和顶点A用一条线连起来。这条线就是中线。
连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫作三角形的中线。如图,D为AC的中点,线段BD就是△ABC的AC边上的中线。分得的两个三角形的面积相等。
了解三角形的中线
新知探究
三角形有几条高、几条中线、几条角平分线呢？
如图所示：三角形都有三条角平分线、它们（或延长线）相交于一点O，这个点叫做内心；
三角形有三条高，它们（或延长线）相交于一点O，这个点叫做垂心；
三角形有三条中线，它们（或延长线）相交于一点O，这个点叫做重心；
新知探究
三角形有三条高、三条中线、三条角平分线的交点一定在三角形内部吗，动手画一画
总结：所有三角形的三条角平分线的交点、中线的交点都在三角形内部；
特别的，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形三条高的交点在直角顶点，钝角三角形三条高的交点在三角形外部；
典例分析
例1 下列结论正确的是( )
A.钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部
B.锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部
C.三角形的重心是三角形三条中线的交点
D.直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点
提分笔记
①三角形的三条中线都在三角形内。
②三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心
内部
内部
内部
三角形的三角条角平分线、三条中线都在三角形的内部交于一点，而三角形的三条高线的交点可能在三角形的内部（锐角三角形）、三角形上（直角三角形）、三角形的外部（钝角三角形）
典例分析
例2 如图，BD是△ABC的中线，△ABC的周长为9，AB+BC=5，
求CD的长．
主要考查中线的性质，根据三角形的周长得到AC=4，由中点的定义得到AC=2CD，由此即可求解
解：∵三角形ABC的周长为9，∴AB+BC+AC=9；
∵AB+BC=5，∴AC=4，∵BD是△ABC的中线，∴2AD=2DC=AC
∴DC=2
提分笔记
①三角形的三条中线都在三角形内。
②三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心
典例分析
提分笔记
三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形
例3 如图，BD是△ABC的中线，CE是△BCD的中线．若，求△BCE的面积．
本题利用中线的性质，即中线将三角形分为两个面积相等的部分，来求解的面积．
解：∵BD是△ABC的中线，，∴
∵CE是△BCD的中线，∴9
∴△BCE的面积为9
变式训练
三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形
下列说法正确的有( ）
①三角形的角平分线是射线：②三角形的三条高线都在三角形内部：③三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的重心：④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个．
线段
可能在内部、外部、三角形上
重心是三角形三条高的交点，三条角平分线的交点是内心
变式训练
三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形
如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD⊥AC 于点D，BE是△ABC的一条角平分线，若∠C=30°，求 ∠DBE的度数．
考查三角形内角和定理，三角形的角平分线以及高线的定义，根据题意角平分线的定义以及已知条件得出∠CBE=45°，进而求得∠DBC=60°即可求解．
解：∵∠ABC=90°，BE是△ABC的一条角平分线，∴∠CBE=∠ABC=45°，BD⊥AC，∠BDC=90°∵∠C=30°，∴∠DBC=180°-∠BDC-∠C=60°
∴∠DBE=∠DBC-∠CBE=15°
课堂练习
1.有一块质地均匀的三角形木板玩具,小明用手顶住三角板的一个点,木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是( ）
A.三角形三条中线的交点处
B.三角形三条高线的交点处
C.三角形三条角平分线的交点处
D.三角形三条边的垂直平分线的交点处
重心是指三角形三条中线的交点。
课堂练习
2．如图，在△ABC中，∠A=90°，D为AB延长线上一点，过点D作DE∥BC．若∠D=46°，则∠C的度数是（ ）
A 13° B 15° C 17° D 23°
解：∵DE∥BC，∴∠CBD=∠ADE=46°
∵∠CBD是△ABC的外角，∠A=90°
∴∠C=∠CBD-∠A=17°
课堂练习
3.如图所示，在△ABC中，AB=4，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，求AC的长
解：∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD；∵△ADC的周长比△ABD的周长多3cm
∴（AC+CD+AD）-（AB+BD+AD）=3cm
即AC-AB=3cm，∵AB=4cm，∴AC=7cm
课堂练习
4.如图，在 △ABC中，D、E分别是BA、BC上的点，满足∠ACB+∠B+∠BDE=180°
（1）AC、DE是否平行？说明理由
（2）若CD平分∠ACB，∠1=35°，求∠2的度数。
解：（1）平行
∵∠ACB+∠B+∠A=180°,∠ACB+∠B+∠A=180°
∴∠A=∠BDE,∴AC∥DE
（2）∵ CD平分∠ACB ∴∠ACB=2∠1=70°
∵AC∥DE ∴∠2=∠ACB=70°
课堂练习
5．如图，在△ABC中，BD为△ABC的角平分线，点E在边AB上，且不与点A、B重合，CE、BD交于点O
（1）若CE是△ABC上的高，且∠OBC=32°，求∠BOC的度数；
解（1）∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABO=∠OBC=32°，∵CE是△ABC上的高，∴∠CEB=90°，∴∠BOC=∠ABD+∠BEO=32°+90°=122°
课堂练习
5．如图，在△ABC中，BD为△ABC的角平分线，点E在边AB上，且不与点A、B重合，CE、BD交于点O
（2）若CE是△ABC的角平分线，∠BOC=130°，求∠A的度数。
解：（2）BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠OBC=
∴∠OBC+∠OCB=
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-
又∵∠A=180°-
∴=180°-∠A∴∠BOC=180°-（180°-∠A）=∠A+90°∵∠BOC=130°，∴∠A+90°=130°，∴∠A=80°
课堂练习
6．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
(1)若点D为边BC的中点，AE=5，△ABC的面积为30，求CD的长；
(2)若AD平分∠BAC，∠C=60°，∠B=36°，求∠DAE的度数.
解：（1）∵AE⊥BC，∴∵AE=5，∴BC=12，∵D是BC的中点，∴BC=6
（2）∵∠C=68°，∠B=36°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=76°∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∴∠ADE=∠B+∠BAD=74°∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=16°
课堂小结
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线。
三角形的高
所有三角形的三条角平分线的交点、中线的交点都在三角形内部；
特别的，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形三条高的交点在直角顶点，钝角三角形三条高的交点在三角形外部；
三角形的三条重要线段的交点
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。。
三角形的角平分线
连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫作三角形的中线。
三角形的中线
01
02
03
04
感谢聆听!

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