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1.7 角平分线的性质
第1章
三角形的初步认识
浙教版2024·八年级上册
章节导读
学 习 目 标
理解角平分线的定义与基本性质
学生能准确描述角平分线的定义（将一个角分成两个相等角的射线）
掌握角平分线的基本性质：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等
运用性质解决几何问题
能利用角平分线性质证明简单几何命题（如全等三角形、线段或角度相等）
结合尺规作图，熟练完成给定角的平分线，并解释作图依据
联系实际与综合应用
合运用角平分线性质与其他几何知识（如垂直平分线、三角形内角平分线定理*）解决复杂问题，培养逻辑推理能力。
课堂导入
我国纸伞的结构十分巧妙。如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄 AP 始终平分同一平 面 内 两 条 伞 骨 所 成 的 角∠BAC，且 AE＝AF，DE＝DF，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动。为什么？
利用前面学的全等，可以得到△AED≌△AFD,∴∠EAD=∠DAF，AD是∠BAC 的平分线
旧知复习
同学们分别准备一个内角为30°、90°、120°的三角形，通过对折这个内角，使得角两边重合，折痕即为这个内角的角平分线。
角平分线的定义：一条射线将一个角分成两个相等的角，这条射线称为该角的角平分线。
数学表示：若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ∠BOC = ∠AOB。
新知探究
尺规作图作角平分线
已知∠BAC（如图所示），用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。
分析：如果能找到∠BAC 的平分线上一点 D，那么射线 AD 就是∠BAC 的平分线。由于角平分线把角分成两个相等的角，因此可以想象通过作两个全等三角形来作出点D。
1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。
2.分别以 E、F 为圆心，大于 EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC 内一点D。
3.作射线AD。射线AD就是所求作的∠BAC的平分线。
新知探究
同学们自己在作业本上画出一个角的角平分线，在角平分线上分别取三个点P1、P2、P3，通过P1、P2、P3作OA垂线，垂足为A1、A2、A3，作OB的垂线，垂足为B1、B2、B3，将测量数据填入下面表格。
第一次 第二次 第三次
P1A1 P2A2 P3A3
P1B1 P2B2 P3B3
P1A1=P1B1 , P2A2=P2B2 , P3A3=P3B3
新知探究
任意作一个角，记为∠BAC，P 是∠BAC 的平分线上的一点，PB⊥AB 于点 B，PC⊥AC 于点 C。比较PB和PC的大小，并证明你的结论。
证明：∵AP是∠CAB的平分线 ∴∠CAP=∠PAB，
又∵PB⊥AB，PC⊥AC，∴∠PCA=∠PBA=90°
在△APC和△APB，
∴△APC≌△APB,∴PC=PB
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
例1如图，某电信部门要在公路m、n之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄A、B的距离相等，到公路m、n的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点P表示出发射塔应建的置．（保留作图痕迹，不写作法）
典例分析
发射塔的位置
垂直平分线性质：垂直平分线上的点到两端点的距离相等，所以作垂直平分线
角平分线的性质：角平分线上的点到两边的距离相等，所以作角平分线
变式训练
如图，在△ABC中，∠C=80°，∠B=40°，请用尺规作图法在边BC上确定点D，连接AD，使得∠ADC=70°．（保留作图痕迹，不写作法）
D
作∠BAC的平分线交BC于点D，可得∠BAD=∠BAC=30°，则∠ADC=∠B+∠BAD=70°，则点D即为所求。
解：如图，作∠BAC的平分线BC于点D，
∵∠C=80°，∠B=40°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠BAC=30°
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°
则点D即为所求
例2 如图，AB，AC，BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（ ）
典例分析
A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置
C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置
到三边的距离相等应该是角平分线上的点
A
变式训练
如图，有三条笔直的公路AB、AC、BC两两相交围成一个三角形的建筑工地．若现在要在建筑工地外建一个沙石周转站，使周转站到三条公路的距离相等，则周转站可供选择的位置有 个．
解题思路：根据角平分线上的点到角两边的距离相等，分别作三角形的内角与外角平分线可得到答案
4
P2
P1
P3
P4
例3 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若DC=6，AB=24，求△ADB的面积
典例分析
解题思路：由于AD平分∠BAC，所以点D到AC、AB距离相等，过点D作DE⊥AB，DE即为AB边上△ABD的高，DE等于CE，由此可求△ABD的面积
解：过点D作DE⊥AB，DE即为AB边上△ABD的高，如图所示
∵∠C=90°,∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=CD=6，
∴△ABD的面积为×AB×DE=×24×6=72
∟
E
变式训练
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠BAD=100°，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE，若点E是BC边的中点，求∠EAB的度数。
解题思路：过点E作EF⊥AD，利用角的平分线的性质和判定解答即可。
解：如图所示，过点E作EF⊥AD于点F，∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴EF=EC
∵点E是BC边的中点，
∴BE=EC,∴EF=BE
∵∠B=90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠BAD
∴∠EAB=∠BAD=×100°=50°
∟
F
课堂练习
1．为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带MN∥PQ，绿化带AB交绿化带MN于A，交绿化带PQ于B．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有 个
2
P1
P2
课堂练习
2．如图， 在△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD=4，△CDE的周长为12，则AC的长是 。
8
解题思路：根据角平分线的性质得到AE=DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案，掌握角的平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键
解：∵BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠A=90°
∴AE=DE，∵△CDE的周长为12，
∴CD+DE+EC=8，
∵CE=4，∴DE+EC=8,
∴AC=AE+EC=DE+EC=8
课堂练习
3．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，则点E到BC的距离为______．
解：由题可知：EF⊥BC于点F，
∵CD=5，CE=3,
∴DE=CD-CE=5-3=2
∵CD是AB边上的高，
∴ED⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴EF=DE=2，即点E到BC的距离EF为2
解题思路：由题意可知：EF⊥BC于F，由线段的和差可得DE=CD-CE=5-3=2，根据角平分线的性质可求出EF=DE=2即可解答
2
课堂练习
4 .如图，有一块五边形草坪，现要在草坪内部修建一处便民活动中心，使得便民活动中心到边、边的距离相等，且便民活动中心到点的距离与便民活动中心到点的距离相等，请你找出便民活动中心的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
解题思路：本题考查的是角平分线的性质，垂直平分线的性质，作角平分线和垂线等知识，作∠BAE的平分线和BC的垂直平分线相较于点Q即可
Q
课堂练习
5．如图，在△ABC中，AB=5，AC=8，BC=9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在边AC上，AF=AB，连接DF，则△CDF的周长为______．
解：根据题意可知，AD是∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠FAD
∵AB=AF=5，AD=ADA,
∴△ABD≌△AFD（SAS），∴BD=FD
∴FD+DC=BD+DC=BC=9
∵FC=AC-AF=8-5=3
∴△CDF的周长为：FD+DC+FC=9+3=12
此过程是对作∠BAC的角平分线的描述，所以AG是∠BAC的平分线
12
课堂练习
6．如图，BP是∠ABC内部的一条射线，点D在BP上，连接AD、CD，AD=CD，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，且PM=PN，求证：BP平分∠ABC．
先由角平分线的性质定义∠ADP=∠CDP，再证明△ABD≌△CBD，得到∠ABP=∠CBP，即可得到结论
证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，PM=PN
∴DP为∠ADC的角平分线
∴∠ADP=∠CDP，∴∠ADB=∠CDB
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS）
∴∠ABP=∠CBP∴BP平分∠ABC
课堂练习
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠C=52°，∠BAC=68°，求∠ADB的度数；
解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAC=2∠BAD，∠ABC=2∠ABE
∵∠BED是△ABE的外角，∠BED=57°，
∴∠BAC+∠ABC=2(∠BAD+∠ABE)=114°
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°
∴∠C=180°-（∠BAC+∠ABC）=66°
（2）若∠BED=57°，求∠C的度数
解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=68°
∴∠DAC=∠BAC=34°，
∵∠ADB是△ADC的外角，∠C=52°∴∠ADB=∠C+∠DAC=86°
课堂小结
全等三角形：通过角平分线性质构造垂线段，进而推导边或角相等。
综合题型：结合垂直平分线、等腰三角形等知识，解决线段比例或角度关系问题
几何证明中的运用
定义：角平分线是从角的顶点出发，将角分成两个度数相等的角的射线。
核心性质：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等（可通过构造垂线并证明全等三角形得出）
定义与基本性质
作图方法：能用尺规准确作出已知角的平分线（以顶点为圆心画弧，再以交点为圆心作等半径弧，连接交点与顶点）
尺规作图与应用
01
02
03
04
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