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4.4探索三角形相似的条件（第2课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2024九上·九江期中）如图，下列条件中不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、由图可知：，
∵，
∴△ACD∽△ABC，
∴此选项不符合题意；
B、，不能判断△ACD∽△ABC，
∴此选项符合题意；
C、由图可知：，
∵∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
由图可知：，
∴△ACD∽△ABC，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、由题意，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可判断求解；
B、由题意，两边的比相等，其中一边的对角相等，不能判断两个三角形相似；
C、由题意，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似可判断求解；
D、由题意，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可判断求解.
2．（2023九上·保定月考）如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】A、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
B、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
C、∵两三角形的对应角不一定相等，∴两三角形不相似，此选项符合题意；
D、∵两三角形对应边成比例且夹角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理“①有两个角对应相等的两个三角形相似；②两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似”对各选项进行逐一判定即可求解．
3．已知△ABC和△DEF，下列条件中一定能推得△ABC与△DEF相似的是(　　)
A． B．
C．且∠A=∠E D．且∠B=∠E
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：
A、与的三组边不是对应成比例，所以不能判定与相似，故选项A错误；
B、与的三组边对应成比例，能判定与相似，故选项B正确；
C、与的两组不是对应边的比相等且夹角对应相等，不能判定与相似，故选项C错误；
D、与的两组不是对应边的比相等且夹角对应相等，不能判定与相似，故选项D错误.
故答案为：B．
【分析】根据三角形相似的判定方法：①三边对应成比例的两个三角形相似可以判断出A、B；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断C，D的正误．
4．（2024九上·泸县模拟）如图，点D在的边上，要判定与相似，需添加一个条件，下列添加的条件中，不正确的是（　　）
A． B． C．＝ D．＝
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解： 若，则 ，故选项 A 不合题意；
若，则， 故选项 B 不合题意；
若，则，故选项 D 不合题意；
故选：C．
【分析】
两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似．
5．（2023九上·萧山期末）如图，在中，分别为上的点，，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先由相似三角形的判定定理证明，然后再根据相似三角形对应边成比例的性质得出，即可求解.
二、填空题
6．（2024九上·井陉期末）如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：　 　，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
【答案】∠B=∠1或
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】此题答案不唯一，如∠B=∠1或．
∵∠B=∠1，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
故答案为∠B=∠1或
【分析】本题考查相似三角形的判定.此题答案不唯一，根据已知条件是：∠A=∠A，若添加∠B=∠1，利用有两角对应相等的三角形相似，据此可证明△ADE∽△ABC；若添加，再结合∠A=∠A，利用两边对应成比例且夹角相等三角形相似，据此可证明△ADE∽△ABC.
7．（2025·莲都模拟）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长交于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的平分线交于点F，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则．
故选：．
【分析】延长交于点G，可证，得，得出，由题意，根据"平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似"可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知求出EG的值，然后根据线段的和差=DG-DE=EG即可求解．
8．（2023九上·越城期末）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点落在E处，连接DE，若AC=3，BE=8，则DE的长为　 　。
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，记的交点为，
∵矩形，，
∴，，，，
∴，，
由对折可得：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
由对折可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质．如图，记的交点为，利用矩形的性质可证明，，由对折可得：，进而可得，根据等角对等边可证明，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出，利用线段的运算可得，进而可得：，再结合，利用相似三角形的判定定理可证明，再利用相似三角形的性质可得，代入数据进行计算可求出DE.
9．（2025·东营）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 　 　时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
【答案】3或
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解： ∵点D为中点，，
∴AD=2，
∵与以点A、D、E为顶点的三角形相似：
①当时，
∵，
∴，
∴，
②当时，
∵，
∴，
∴，
综上可知AE=3或，
故答案为：3或.
【分析】先由中点的定义得到AD=2，由题干与以点A、D、E为顶点的三角形相似，分和两种情况，利用相似三角形的性质计算即可解答.
10．（2025·新兴模拟）如图，这是用卡钳测量一个集气瓶的内径的截面图．若，，，则该集气瓶的内径的长为　 　．
【答案】9
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：相交于点，
，
又，
，
故，
又，
故，
故答案为：9．
【分析】
由两边对应成比例且夹角相等可证明，再由相似比求解即可．
三、解答题
11．（2025九下·金华开学考）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且．
（1）求证：△ABC∽△ACD．
（2）若∠BCD＝150°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）证明：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD
（2）解：∵△ABC∽△ACD，∠BCD=150°，
∴∠B=∠ACD，
∴∠B+∠ACB=∠ACD+∠ACB=∠BCD=150°
∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)=30°，
∴∠BAC的度数是30°
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明结论即可；
(2)由相似三角形的性质得∠B =∠ACD，则∠B+∠ACB=150°， 然后根据三角形的内角和定理解题即可.
12．（2024九上·拱墅期中）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．
【答案】（1）证明：平分，
，
∵
∴
；
（2）解：由（1）可得
点为边的中点，，
，
∴
平分，
，
∴
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线可得，由可得，从而得到即可证明；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，根据平行线的判定得到证明，最后相似三角形的性质即可证明求解．
13．（2025九下·萧山开学考）如图，在中，为AC边上一点，.
（1）求证：.
（2）如果，求AB的长.
【答案】（1），
.
，
，
.
（2），
，
，
.
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定定理和性质.
(1)通过计算可得：.再根据，利用相似三角形的判定定理证明，利用相似三角形的性质可得：，据此可证明结论.
(2)根据，利用相似三角形的性质可得：，代入数据可得：，再进行计算可求出AB.
14．如图 29-12， 在锐角三角形 中， 点 分别在边 上， 于点 于点 ．
（1） 求证： ；
（2） 若 ， 求 的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
即
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义证，利用，根据AA证明；
（2）由相似三角形的性质得到，再证，根据对应边成比例求解．
15．（2024九下·青田模拟）如图，在中，，以为边作，交与点F，

（1）若，求的度数．
（2）若，求．
【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴。
（2）解：∵，∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的对应角相等的性质可求；
（2）先证明出，然后根据相似三角形的相似比求出的长度，最后根据即可求解．
1 / 14.4探索三角形相似的条件（第2课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2024九上·九江期中）如图，下列条件中不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023九上·保定月考）如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知△ABC和△DEF，下列条件中一定能推得△ABC与△DEF相似的是(　　)
A． B．
C．且∠A=∠E D．且∠B=∠E
4．（2024九上·泸县模拟）如图，点D在的边上，要判定与相似，需添加一个条件，下列添加的条件中，不正确的是（　　）
A． B． C．＝ D．＝
5．（2023九上·萧山期末）如图，在中，分别为上的点，，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．3 D．2
二、填空题
6．（2024九上·井陉期末）如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：　 　，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
7．（2025·莲都模拟）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为　 　．
8．（2023九上·越城期末）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点落在E处，连接DE，若AC=3，BE=8，则DE的长为　 　。
9．（2025·东营）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 　 　时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
10．（2025·新兴模拟）如图，这是用卡钳测量一个集气瓶的内径的截面图．若，，，则该集气瓶的内径的长为　 　．
三、解答题
11．（2025九下·金华开学考）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且．
（1）求证：△ABC∽△ACD．
（2）若∠BCD＝150°，求∠BAC的度数．
12．（2024九上·拱墅期中）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．
13．（2025九下·萧山开学考）如图，在中，为AC边上一点，.
（1）求证：.
（2）如果，求AB的长.
14．如图 29-12， 在锐角三角形 中， 点 分别在边 上， 于点 于点 ．
（1） 求证： ；
（2） 若 ， 求 的值．
15．（2024九下·青田模拟）如图，在中，，以为边作，交与点F，

（1）若，求的度数．
（2）若，求．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、由图可知：，
∵，
∴△ACD∽△ABC，
∴此选项不符合题意；
B、，不能判断△ACD∽△ABC，
∴此选项符合题意；
C、由图可知：，
∵∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
由图可知：，
∴△ACD∽△ABC，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、由题意，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可判断求解；
B、由题意，两边的比相等，其中一边的对角相等，不能判断两个三角形相似；
C、由题意，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似可判断求解；
D、由题意，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可判断求解.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】A、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
B、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
C、∵两三角形的对应角不一定相等，∴两三角形不相似，此选项符合题意；
D、∵两三角形对应边成比例且夹角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理“①有两个角对应相等的两个三角形相似；②两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似”对各选项进行逐一判定即可求解．
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：
A、与的三组边不是对应成比例，所以不能判定与相似，故选项A错误；
B、与的三组边对应成比例，能判定与相似，故选项B正确；
C、与的两组不是对应边的比相等且夹角对应相等，不能判定与相似，故选项C错误；
D、与的两组不是对应边的比相等且夹角对应相等，不能判定与相似，故选项D错误.
故答案为：B．
【分析】根据三角形相似的判定方法：①三边对应成比例的两个三角形相似可以判断出A、B；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断C，D的正误．
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解： 若，则 ，故选项 A 不合题意；
若，则， 故选项 B 不合题意；
若，则，故选项 D 不合题意；
故选：C．
【分析】
两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似．
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先由相似三角形的判定定理证明，然后再根据相似三角形对应边成比例的性质得出，即可求解.
6．【答案】∠B=∠1或
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】此题答案不唯一，如∠B=∠1或．
∵∠B=∠1，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
故答案为∠B=∠1或
【分析】本题考查相似三角形的判定.此题答案不唯一，根据已知条件是：∠A=∠A，若添加∠B=∠1，利用有两角对应相等的三角形相似，据此可证明△ADE∽△ABC；若添加，再结合∠A=∠A，利用两边对应成比例且夹角相等三角形相似，据此可证明△ADE∽△ABC.
7．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长交于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的平分线交于点F，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则．
故选：．
【分析】延长交于点G，可证，得，得出，由题意，根据"平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似"可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知求出EG的值，然后根据线段的和差=DG-DE=EG即可求解．
8．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，记的交点为，
∵矩形，，
∴，，，，
∴，，
由对折可得：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
由对折可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质．如图，记的交点为，利用矩形的性质可证明，，由对折可得：，进而可得，根据等角对等边可证明，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出，利用线段的运算可得，进而可得：，再结合，利用相似三角形的判定定理可证明，再利用相似三角形的性质可得，代入数据进行计算可求出DE.
9．【答案】3或
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解： ∵点D为中点，，
∴AD=2，
∵与以点A、D、E为顶点的三角形相似：
①当时，
∵，
∴，
∴，
②当时，
∵，
∴，
∴，
综上可知AE=3或，
故答案为：3或.
【分析】先由中点的定义得到AD=2，由题干与以点A、D、E为顶点的三角形相似，分和两种情况，利用相似三角形的性质计算即可解答.
10．【答案】9
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：相交于点，
，
又，
，
故，
又，
故，
故答案为：9．
【分析】
由两边对应成比例且夹角相等可证明，再由相似比求解即可．
11．【答案】（1）证明：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD
（2）解：∵△ABC∽△ACD，∠BCD=150°，
∴∠B=∠ACD，
∴∠B+∠ACB=∠ACD+∠ACB=∠BCD=150°
∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)=30°，
∴∠BAC的度数是30°
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明结论即可；
(2)由相似三角形的性质得∠B =∠ACD，则∠B+∠ACB=150°， 然后根据三角形的内角和定理解题即可.
12．【答案】（1）证明：平分，
，
∵
∴
；
（2）解：由（1）可得
点为边的中点，，
，
∴
平分，
，
∴
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线可得，由可得，从而得到即可证明；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，根据平行线的判定得到证明，最后相似三角形的性质即可证明求解．
13．【答案】（1），
.
，
，
.
（2），
，
，
.
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定定理和性质.
(1)通过计算可得：.再根据，利用相似三角形的判定定理证明，利用相似三角形的性质可得：，据此可证明结论.
(2)根据，利用相似三角形的性质可得：，代入数据可得：，再进行计算可求出AB.
14．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
即
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义证，利用，根据AA证明；
（2）由相似三角形的性质得到，再证，根据对应边成比例求解．
15．【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴。
（2）解：∵，∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的对应角相等的性质可求；
（2）先证明出，然后根据相似三角形的相似比求出的长度，最后根据即可求解．
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