资源简介

4.4探索三角形相似的条件（第4课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2023九上·内乡县月考）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（　　）米．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：为边的黄金分割点，即
米
米
故选B．
【分析】
直接利用黄金比计算即可．
2．（2024九上·西湖月考）已知P为线段的黄金分割点，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
故选：A．
【分析】利用黄金分割的比值计算即可．
3．（2025九上·兰州期中）主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图所示，如果舞台的长为12米，一名主持人现在站在A处，则她至少走（　　）米才最理想．
A． B．
C． D．或
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：如图所示：，
，
∵．
∴．
故答案为：A．
【分析】设P点为AB的黄金分割点，根据黄金分割的定义即可求出答案.
4．（2020九上·宝安期中）若点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列各式中不正确的是（　　） 。
A．AB：AC=AC：BC B．BC= AB
C．AC= AB D．AC≈0.618AB
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义得：AB：AC=AC：BC，
BC=AB ，
AC=AB，
AC≈0.618AB，
故A，B，D正确，C错误.
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
5．（2024九上·南山期末）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更 加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品。在自然界中，黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC，若 AC=16 cm，那么 AB的长为（　　）
A．( 24 - 8 )cm B．( 48 -16)cm
C．(16 -16 )cm D．( 8 - 8 )cm
【答案】D
【知识点】黄金分割；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，AC=16cm，
∴AB=AC=×16=(8-8)(cm)，
即AB的长为(8 -8)cm
故答案为：D.
【分析】 根据黄金分割的定义得到AB=AC，把AC=16cm代入计算即可.
二、填空题
6．（2024九上·无锡期末）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，
即点B为黄金分割点，
设B点下方的琴弦长为，
且二胡的琴弦长为
则有，
解得，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义“把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是（√5-1）：2”可得关于x的方程，解方程即可求解．
7．（2024九上·定远期末）生活中随处可见数学之美，例如梧桐树叶的叶脉中蕴含着黄金分割．如图，P为叶脉（是线段）的黄金分割点，即满足，如果的长度为，则的长度为　 　．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为叶脉的黄金分割点，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个，利用定义计算即可解答．
8．（2025九上·冷水江期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为　 　（结果保留根号）．
【答案】或
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
故答案为：或。
【分析】根据正方形的性质，易得 ，然后根据平行线的性质，可得 ，易证四边形是矩形，求出AB的值，最后再根据黄金分割的定义可得，代入数据，即可求出BC的值。
9．（2022九上·黄浦月考）已知点P是线段的黄金分割点，且那么　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为线段的黄金分割点，且是较长线段；
∴．
故答案为：．
【分析】根据黄金分割点的性质可得。
10．（2022九上·东阳月考）若线段AB＝10，且点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为 　 　．
【答案】-5
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵AB＝10，点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC＝AB＝×10＝-5.
故答案为：-5.
【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
三、解答题
11．如图，矩形ABCD内有一正方形AEFD，且，E是线段AB的黄金分割点吗
（1）变式①：把一根长为44cm的铁丝折弯成一个矩形框，并使矩形框的宽与长的比为黄金比，你能求出这个矩形框的面积吗
（2）变式②：把一根长为6cm的铁丝折弯成一个矩形框，并使矩形框的宽与长的比为黄金比，你能求出这个矩形框的长与宽的差吗
【答案】（1）解：∵四边形AEFD为正方形，
∴BC=EF=AE．
∵，，
∴E是线段AB的黄金分割点
设矩形框的宽为xcm，则长为(2-x)cm．
根据题意得，
解得x=3-，
经检验，x=3-是原分式方程的根，
2-x=-1，
∴该矩形框的面积为(3-)(-1)=(4-8)cm2．
（2）解：设矩形框的宽为ycm，则长为(3-y)cm．
根据题意得，
解得：y=
经检验，y=是原分式方程的根，
∴3-y=，
∴这个矩形的长与宽的差为==(3-6)cm．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】（1）设矩形框的宽为xcm，则长为(2-x)cm，利用黄金分割点的定义可得，再求出x的值，最后利用矩形的面积公式求解即可；
（2）设矩形框的宽为ycm，则长为(3-y)cm，利用黄金分割点的定义可得，再求出y的值，最后求出矩形的长和宽的差即可.
12．（2023九上·资中期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
（1）黄金矩形的长　 　；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连接，求点到线段的距离．
【答案】（1）
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；黄金分割
【解析】【解答】
解：（1）∵ 黄金矩形ABCD的宽AB=1
∴
∴
【分析】本题考查矩形的性质、等面积法及勾股定理等知识，熟悉矩形性质及根式的化简是关键。（1）根据黄金矩形的定义，可得AB：BC= ，计算可得BC，注意最简二次根式的化简；
（2）要知道矩形DCEF是否是黄金矩形，要判断其宽与长之比是否是。由(1)知，则，则，则矩形DCEF为黄金矩形；
（3）连接AE，DE，过D作于点G，由，得，根据等面积法得，得，点D到线段AE的距离为．
13．如图所示，E为矩形ABCD的BC边上一点，现将矩形沿AE翻折，点B的对应点F恰好落在AD上，且四边形FECD与原四边形相似.
（1）求证：E为BC的黄金分割点.
（2）若矩形ABCD的面积为10，则四边形FECD的面积为多少
【答案】（1）证明：设.
∵四边形FECD与四边形ABCD相似，
∴E为BC的黄金分割点；
（2）解：由（1）知四边形FECD与四边形ABCD的相似比为，
则，
解得.
【知识点】轴对称的性质；黄金分割；相似多边形
【解析】【分析】（1）要证E是BC的黄金分割点，根据定义，只需证；由两个矩形相似可得，翻折可得AB=AF=BE=EF，因此，变化得，证得E为BC的黄金分割点；
（2）由（1）得，即两矩形相似比为，则面积比为，即，求解即可.
14．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E，
（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；
（2）若AB=4，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ACB=（180°﹣36°）=72°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=×72°= 36°，∴∠BCE=∠A=36°，∴AE=BC，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴=，∴BC2=AB BE，即AE2=AB BE，∴E为线段AB的黄金分割点；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=180°﹣72°﹣36°=72°，∴BC=CE，由（1）已证AE=CE，∴AE=CE=BC，∴BC= AB=×4=2﹣2．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB=72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE=36°，从而得到∠BCE=∠A，然后判定△ABC和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；
（2）根据等角对等边的性质可得AE=CE=BC，再根据黄金分割求解即可．
15．（2020九上·江阴期中）如图
（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证： .（这个比值 叫做AE与AB的黄金比.）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC.
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
【答案】（1）解：证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，
∴设AB=2x，BC=x，则AC= .
∴AD=AE= .
∴ .
（2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如答图，△ABC即为所求.
【知识点】黄金分割；尺规作图-作三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）设AB=2x，BC=x，则AC= ，然后表示出AD、AE，进而求得AE：AB；
（2）过点B作EB⊥AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，使BE=BD，连接AE，以E为圆心，BE长为半径画弧，使EF=BE，以B为圆心，AF长为半径画弧，以A为圆心，AB长为半径画弧，交点为C，则△ABC即为所求.
1 / 14.4探索三角形相似的条件（第4课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2023九上·内乡县月考）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（　　）米．
A． B． C． D．
2．（2024九上·西湖月考）已知P为线段的黄金分割点，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·兰州期中）主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图所示，如果舞台的长为12米，一名主持人现在站在A处，则她至少走（　　）米才最理想．
A． B．
C． D．或
4．（2020九上·宝安期中）若点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列各式中不正确的是（　　） 。
A．AB：AC=AC：BC B．BC= AB
C．AC= AB D．AC≈0.618AB
5．（2024九上·南山期末）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更 加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品。在自然界中，黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC，若 AC=16 cm，那么 AB的长为（　　）
A．( 24 - 8 )cm B．( 48 -16)cm
C．(16 -16 )cm D．( 8 - 8 )cm
二、填空题
6．（2024九上·无锡期末）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为　 　．
7．（2024九上·定远期末）生活中随处可见数学之美，例如梧桐树叶的叶脉中蕴含着黄金分割．如图，P为叶脉（是线段）的黄金分割点，即满足，如果的长度为，则的长度为　 　．（结果保留根号）
8．（2025九上·冷水江期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为　 　（结果保留根号）．
9．（2022九上·黄浦月考）已知点P是线段的黄金分割点，且那么　 　．
10．（2022九上·东阳月考）若线段AB＝10，且点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为 　 　．
三、解答题
11．如图，矩形ABCD内有一正方形AEFD，且，E是线段AB的黄金分割点吗
（1）变式①：把一根长为44cm的铁丝折弯成一个矩形框，并使矩形框的宽与长的比为黄金比，你能求出这个矩形框的面积吗
（2）变式②：把一根长为6cm的铁丝折弯成一个矩形框，并使矩形框的宽与长的比为黄金比，你能求出这个矩形框的长与宽的差吗
12．（2023九上·资中期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
（1）黄金矩形的长　 　；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连接，求点到线段的距离．
13．如图所示，E为矩形ABCD的BC边上一点，现将矩形沿AE翻折，点B的对应点F恰好落在AD上，且四边形FECD与原四边形相似.
（1）求证：E为BC的黄金分割点.
（2）若矩形ABCD的面积为10，则四边形FECD的面积为多少
14．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E，
（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；
（2）若AB=4，求BC的长．
15．（2020九上·江阴期中）如图
（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证： .（这个比值 叫做AE与AB的黄金比.）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC.
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：为边的黄金分割点，即
米
米
故选B．
【分析】
直接利用黄金比计算即可．
2．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
故选：A．
【分析】利用黄金分割的比值计算即可．
3．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：如图所示：，
，
∵．
∴．
故答案为：A．
【分析】设P点为AB的黄金分割点，根据黄金分割的定义即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义得：AB：AC=AC：BC，
BC=AB ，
AC=AB，
AC≈0.618AB，
故A，B，D正确，C错误.
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】黄金分割；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，AC=16cm，
∴AB=AC=×16=(8-8)(cm)，
即AB的长为(8 -8)cm
故答案为：D.
【分析】 根据黄金分割的定义得到AB=AC，把AC=16cm代入计算即可.
6．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，
即点B为黄金分割点，
设B点下方的琴弦长为，
且二胡的琴弦长为
则有，
解得，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义“把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是（√5-1）：2”可得关于x的方程，解方程即可求解．
7．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为叶脉的黄金分割点，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个，利用定义计算即可解答．
8．【答案】或
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
故答案为：或。
【分析】根据正方形的性质，易得 ，然后根据平行线的性质，可得 ，易证四边形是矩形，求出AB的值，最后再根据黄金分割的定义可得，代入数据，即可求出BC的值。
9．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为线段的黄金分割点，且是较长线段；
∴．
故答案为：．
【分析】根据黄金分割点的性质可得。
10．【答案】-5
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵AB＝10，点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC＝AB＝×10＝-5.
故答案为：-5.
【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
11．【答案】（1）解：∵四边形AEFD为正方形，
∴BC=EF=AE．
∵，，
∴E是线段AB的黄金分割点
设矩形框的宽为xcm，则长为(2-x)cm．
根据题意得，
解得x=3-，
经检验，x=3-是原分式方程的根，
2-x=-1，
∴该矩形框的面积为(3-)(-1)=(4-8)cm2．
（2）解：设矩形框的宽为ycm，则长为(3-y)cm．
根据题意得，
解得：y=
经检验，y=是原分式方程的根，
∴3-y=，
∴这个矩形的长与宽的差为==(3-6)cm．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】（1）设矩形框的宽为xcm，则长为(2-x)cm，利用黄金分割点的定义可得，再求出x的值，最后利用矩形的面积公式求解即可；
（2）设矩形框的宽为ycm，则长为(3-y)cm，利用黄金分割点的定义可得，再求出y的值，最后求出矩形的长和宽的差即可.
12．【答案】（1）
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；黄金分割
【解析】【解答】
解：（1）∵ 黄金矩形ABCD的宽AB=1
∴
∴
【分析】本题考查矩形的性质、等面积法及勾股定理等知识，熟悉矩形性质及根式的化简是关键。（1）根据黄金矩形的定义，可得AB：BC= ，计算可得BC，注意最简二次根式的化简；
（2）要知道矩形DCEF是否是黄金矩形，要判断其宽与长之比是否是。由(1)知，则，则，则矩形DCEF为黄金矩形；
（3）连接AE，DE，过D作于点G，由，得，根据等面积法得，得，点D到线段AE的距离为．
13．【答案】（1）证明：设.
∵四边形FECD与四边形ABCD相似，
∴E为BC的黄金分割点；
（2）解：由（1）知四边形FECD与四边形ABCD的相似比为，
则，
解得.
【知识点】轴对称的性质；黄金分割；相似多边形
【解析】【分析】（1）要证E是BC的黄金分割点，根据定义，只需证；由两个矩形相似可得，翻折可得AB=AF=BE=EF，因此，变化得，证得E为BC的黄金分割点；
（2）由（1）得，即两矩形相似比为，则面积比为，即，求解即可.
14．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ACB=（180°﹣36°）=72°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=×72°= 36°，∴∠BCE=∠A=36°，∴AE=BC，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴=，∴BC2=AB BE，即AE2=AB BE，∴E为线段AB的黄金分割点；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=180°﹣72°﹣36°=72°，∴BC=CE，由（1）已证AE=CE，∴AE=CE=BC，∴BC= AB=×4=2﹣2．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB=72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE=36°，从而得到∠BCE=∠A，然后判定△ABC和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；
（2）根据等角对等边的性质可得AE=CE=BC，再根据黄金分割求解即可．
15．【答案】（1）解：证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，
∴设AB=2x，BC=x，则AC= .
∴AD=AE= .
∴ .
（2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如答图，△ABC即为所求.
【知识点】黄金分割；尺规作图-作三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）设AB=2x，BC=x，则AC= ，然后表示出AD、AE，进而求得AE：AB；
（2）过点B作EB⊥AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，使BE=BD，连接AE，以E为圆心，BE长为半径画弧，使EF=BE，以B为圆心，AF长为半径画弧，以A为圆心，AB长为半径画弧，交点为C，则△ABC即为所求.
1 / 1

展开更多......

收起↑