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4.5相似三角形判定定理的证明—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2025九上·丽水期末）如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（　　）
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
2．（2024九上·青浦期中）已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·拱墅期末）如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（　　）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
4．（2024九上·罗湖期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·钱塘期末）如图，在的网格中，已知每个小的四边形都是边长为1的正方形，，，，均在格点上，与相交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2025九上·贵港期末）如图，，若，，则的长为　 　．
7．（2024九上·北京市期中）在中，，点在线段上，过点作于点，于点，使得四边形为正方形，此时，，则阴影部分面积为　 　．
8．（2025九上·丽水期末）如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，连接，若，则的值为　 　．
9．（2025九上·嘉兴期末）如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为　 　．
10．（2025九上·鄞州期末）如图， 中， ，过点 作 的垂线 ，点 在线段 上运动，点 在射线 上运动，始终满足 ，连结 ，当 与 相似时，线段 的长是　 　．
三、解答题
11．（2024九上·杭州期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接有以下四个条件：；；；．
（1）请你从中任选一个条件，使得∽，并说明理由．
注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分．
（2）在的前提下，若点为中点，，求线段的长．
12．（2024九上·山丹期末）如图，在矩形中，，点是射线上一点，连接，作于点．
（1）当点在的延长线上，且交于点，写出至少三个与相似的三角形；
（2）设，求出与之间的函数关系式，并直接写出当点在边（点不与点重合，可与点重合）上时，的取值范围．
13．（2024九上·长兴月考）如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝6，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA．
（1）求证：.
（2）若，求边AB的长.
14．（2024九上·杭州期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交A8的延长线于E，且∠EDB=∠C.
（1）求证：；
（2）若，求AB的长.
15．（2024九上·浙江期中）如图，在△ABC中，D是AC上一点，已知．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】三角形①的三边分别为；
三角形②的三边分别为：；
三角形③的三边分别为；
三角形④的三边分别为：．
显然三角形①③的三边成比例，即，即三角形①③相似．
故选：B．
【分析】先分别求出三角形的各边长，根据三边成比例的两个三角形相似解题即可．
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意作图如下：
A、，，，故此选项不符合题意；
B、，，，故此选项不符合题意；
C、，，，故此选项不符合题意；
D、根据和不能判断，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据有两组角分别相等的两三角形相似可判断A、B选项；根据有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似可判断C、D选项.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：图①中，∠B=∠B，∠A=∠BDE=72°，所以△BDE和△ABC相似；
图②中，∠B=∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；
图③中，∠C=∠C，∠CED=∠B，所以△CDE和△CAB相似；
图④中，∠C=∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；
所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，
故答案为：D．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以得出△BDE和△ABC相似，△CDE和△CAB相似.
4．【答案】D
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作OGCD交BC于点G，
∵四边形ABCD是菱形，且AB＝5，
∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，
∴ ，
∴BG＝CG＝ ，
∴GO是△BCD的中位线
∴GO＝CD＝，GOCD
∵CE＝1，
∴GE＝CG+CE＝+1＝，
∵CFGO，
∴∠ECF=∠EGO
∵∠E=∠E
∴△ECF∽△EGO，
∴ ，
∴CF＝，
∴CF的长为，
故选：D．
【分析】作OGCD交BC于点G，根据菱形性质可得BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，再根据平行线分线段定理可得 ，则BG＝CG＝ ，再根据三角形中位线定理可得GO＝CD＝，GOCD，再根据边之间的关系可得GE，根据直线平行性质可得∠ECF=∠EGO，再根据相似三角形判定定理可得△ECF∽△EGO，则 ，代值计算即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设与网格线交于点，取格点，连接、、，则、、三点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，
每个小的四边形都是边长为1的正方形，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】设与网格线交于点，取格点，连接、求出CD长，即可得到求出，然后推导，可得PD长解题．
6．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
7．【答案】6
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，CE＝CF＝BF＝BE，
∴△AEC∽△ABD，
∴，
设CE＝CF＝BF＝BE＝x，
∴，
解得AE＝，FD＝，
在Rt△AEC中，由勾股定理得，
，
即，
解得x＝，
∴AE＝＝（cm），FD＝＝（cm），
∴阴影部分面积为（）．
故答案为：6.
【分析】由正方形的性质证明△AEC∽△ABD，设CE＝CF＝BF＝BE＝x，即可得到，求出AE＝，FD＝，然后在Rt△AEC中，根据勾股定理求出x的值，再求出阴影部分面积即可．
8．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质、斜边中线的性质可以得到，设，则，然后根据勾股定理得到，再根据面积法得到，然后推理得到，根据相似三角形的对应边成比例得到，解题即可．
9．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵、是的中线，，
∴，，
∵HD∥BC，
∴，
∴，，
设，则，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线定理得，，由平行于三角形一边得直线，截其它两边（或两边的延长线，）可证△DMH∽△BME，△AHD∽△AEC，由相似三角形对应边成比例得，，，设，则，，即可求得比值．
10．【答案】5或6.4
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=8， AC=6，由勾股定理得：
∠B+∠ACB=90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD+∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ABC；
∵∠BAP =∠CAQ，
∴△ABP∽△ACQ，
设BP =x， 则有PC =10--x，
∵过点C作BC的垂线CD，
当 与 相似时，分两种情况讨论：
当 时，
解得：
当 时，
解得：
综上所述，线段BP的长是5或6.4.
故答案为： 5或6.4.
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可知∠B+∠ACB=90°， 根据CD⊥BC可知∠ACD+∠ACB=90°， 所以可得∠ACD=∠ABC， 可证△ABP∽△ACQ， 设BP=x， 则有当△PCQ与△ABC相似时，分两种情况：一种是△PCQ∽△BAC；另一种是△PCQ∽△CAB.再根据相似三角形对应边成比例得到关于x的方程，解方程求出x的值即为线段BP的长度.
11．【答案】（1），
理由：，，
，
，
∽
注：答案不唯一，如选择；
（2），
，
点为中点，
，
∽，
，
，
，
，
线段的长为
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)若选择①，可根据“两角分别相等的两个三角形相似’证明△ABC∽△AED；若选择②，可由∠BDE+∠C=180°，∠BDE+∠ADE=180°，推导出∠C=∠ADE，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED；若选择③，可将AD·AB=AE·AC变形，再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED；
(2)由AE=2AD=6，求得AD =3，AC=2AE=12，由相似三角形的性质得，即可求出AB的长度.
12．【答案】（1）解：在矩形中，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
；
（2），
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】（2）解：由（1）知，，
，
在矩形中，，
，
又，，
，
即，
在直角中，
，
点在边（点不与点重合，可与点重合），
，
，
综上所述，与之间的函数关系式为，．
【分析】（1）根据矩形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，，利用两角对应相等，两个三角形相似即可得到，，即可得出与相似的三角形有，，，；
（2）根据相似三角形性质得到，即可求解出与之间的函数关系式，根据点在边（点不与点重合，可与点重合）即可得到的取值范围，从而求得的取值范围．
（1）解：在矩形中，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
在矩形中，，
，
又，，
，
即，
在直角中，
，
点在边（点不与点重合，可与点重合），
，
，
综上所述，与之间的函数关系式为，．
13．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，
由翻折可知，
（2）解：
设
在Rt中，解得
【知识点】矩形翻折模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据矩形和折叠的性质易证∠PAD=∠CPO，即可证△APD∽△POC，得；
(2)由相似三角形的性质得出，结合题意可求出，DP=2OC，设OC=x，则OB=OP=6-x，在Rt△POC中，根据勾股定理可列出关于x的方程，求解即可.
14．【答案】（1）证明： 平行四边形ABCD中， ∠A=∠C，
∵∠EDB=∠C，
∴∠A=∠EDB，
又∠E=∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：平行四边形ABCD中， DC= AB，
由 (1) 得△ADE~△DBE，
∴
∴AB=AE-BE=8-5=3( cm).
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由平行四边形的对角相等，可得∠A =∠C，即可求得∠A=∠EDB， 又由公共角∠E=∠E， 可证得△ADE-△DBE；
(2)根据相似三角形的对应边成比例，易得 求出BE，即可求得AB的值.
15．【答案】（1）证明：
（2）解：∵∠A＝20°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°－20°－40°＝120°，
∵∠ABD＝∠C＝40°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝120°－40°＝80°．
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等证明即可解题；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝120°，然后根据∠ABD＝∠C＝40°即可解题．
1 / 14.5相似三角形判定定理的证明—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2025九上·丽水期末）如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（　　）
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】三角形①的三边分别为；
三角形②的三边分别为：；
三角形③的三边分别为；
三角形④的三边分别为：．
显然三角形①③的三边成比例，即，即三角形①③相似．
故选：B．
【分析】先分别求出三角形的各边长，根据三边成比例的两个三角形相似解题即可．
2．（2024九上·青浦期中）已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意作图如下：
A、，，，故此选项不符合题意；
B、，，，故此选项不符合题意；
C、，，，故此选项不符合题意；
D、根据和不能判断，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据有两组角分别相等的两三角形相似可判断A、B选项；根据有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似可判断C、D选项.
3．（2024九上·拱墅期末）如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（　　）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：图①中，∠B=∠B，∠A=∠BDE=72°，所以△BDE和△ABC相似；
图②中，∠B=∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；
图③中，∠C=∠C，∠CED=∠B，所以△CDE和△CAB相似；
图④中，∠C=∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；
所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，
故答案为：D．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以得出△BDE和△ABC相似，△CDE和△CAB相似.
4．（2024九上·罗湖期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作OGCD交BC于点G，
∵四边形ABCD是菱形，且AB＝5，
∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，
∴ ，
∴BG＝CG＝ ，
∴GO是△BCD的中位线
∴GO＝CD＝，GOCD
∵CE＝1，
∴GE＝CG+CE＝+1＝，
∵CFGO，
∴∠ECF=∠EGO
∵∠E=∠E
∴△ECF∽△EGO，
∴ ，
∴CF＝，
∴CF的长为，
故选：D．
【分析】作OGCD交BC于点G，根据菱形性质可得BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，再根据平行线分线段定理可得 ，则BG＝CG＝ ，再根据三角形中位线定理可得GO＝CD＝，GOCD，再根据边之间的关系可得GE，根据直线平行性质可得∠ECF=∠EGO，再根据相似三角形判定定理可得△ECF∽△EGO，则 ，代值计算即可求出答案.
5．（2025九上·钱塘期末）如图，在的网格中，已知每个小的四边形都是边长为1的正方形，，，，均在格点上，与相交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设与网格线交于点，取格点，连接、、，则、、三点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，
每个小的四边形都是边长为1的正方形，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】设与网格线交于点，取格点，连接、求出CD长，即可得到求出，然后推导，可得PD长解题．
二、填空题
6．（2025九上·贵港期末）如图，，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
7．（2024九上·北京市期中）在中，，点在线段上，过点作于点，于点，使得四边形为正方形，此时，，则阴影部分面积为　 　．
【答案】6
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，CE＝CF＝BF＝BE，
∴△AEC∽△ABD，
∴，
设CE＝CF＝BF＝BE＝x，
∴，
解得AE＝，FD＝，
在Rt△AEC中，由勾股定理得，
，
即，
解得x＝，
∴AE＝＝（cm），FD＝＝（cm），
∴阴影部分面积为（）．
故答案为：6.
【分析】由正方形的性质证明△AEC∽△ABD，设CE＝CF＝BF＝BE＝x，即可得到，求出AE＝，FD＝，然后在Rt△AEC中，根据勾股定理求出x的值，再求出阴影部分面积即可．
8．（2025九上·丽水期末）如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，连接，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质、斜边中线的性质可以得到，设，则，然后根据勾股定理得到，再根据面积法得到，然后推理得到，根据相似三角形的对应边成比例得到，解题即可．
9．（2025九上·嘉兴期末）如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵、是的中线，，
∴，，
∵HD∥BC，
∴，
∴，，
设，则，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线定理得，，由平行于三角形一边得直线，截其它两边（或两边的延长线，）可证△DMH∽△BME，△AHD∽△AEC，由相似三角形对应边成比例得，，，设，则，，即可求得比值．
10．（2025九上·鄞州期末）如图， 中， ，过点 作 的垂线 ，点 在线段 上运动，点 在射线 上运动，始终满足 ，连结 ，当 与 相似时，线段 的长是　 　．
【答案】5或6.4
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=8， AC=6，由勾股定理得：
∠B+∠ACB=90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD+∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ABC；
∵∠BAP =∠CAQ，
∴△ABP∽△ACQ，
设BP =x， 则有PC =10--x，
∵过点C作BC的垂线CD，
当 与 相似时，分两种情况讨论：
当 时，
解得：
当 时，
解得：
综上所述，线段BP的长是5或6.4.
故答案为： 5或6.4.
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可知∠B+∠ACB=90°， 根据CD⊥BC可知∠ACD+∠ACB=90°， 所以可得∠ACD=∠ABC， 可证△ABP∽△ACQ， 设BP=x， 则有当△PCQ与△ABC相似时，分两种情况：一种是△PCQ∽△BAC；另一种是△PCQ∽△CAB.再根据相似三角形对应边成比例得到关于x的方程，解方程求出x的值即为线段BP的长度.
三、解答题
11．（2024九上·杭州期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接有以下四个条件：；；；．
（1）请你从中任选一个条件，使得∽，并说明理由．
注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分．
（2）在的前提下，若点为中点，，求线段的长．
【答案】（1），
理由：，，
，
，
∽
注：答案不唯一，如选择；
（2），
，
点为中点，
，
∽，
，
，
，
，
线段的长为
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)若选择①，可根据“两角分别相等的两个三角形相似’证明△ABC∽△AED；若选择②，可由∠BDE+∠C=180°，∠BDE+∠ADE=180°，推导出∠C=∠ADE，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED；若选择③，可将AD·AB=AE·AC变形，再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED；
(2)由AE=2AD=6，求得AD =3，AC=2AE=12，由相似三角形的性质得，即可求出AB的长度.
12．（2024九上·山丹期末）如图，在矩形中，，点是射线上一点，连接，作于点．
（1）当点在的延长线上，且交于点，写出至少三个与相似的三角形；
（2）设，求出与之间的函数关系式，并直接写出当点在边（点不与点重合，可与点重合）上时，的取值范围．
【答案】（1）解：在矩形中，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
；
（2），
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】（2）解：由（1）知，，
，
在矩形中，，
，
又，，
，
即，
在直角中，
，
点在边（点不与点重合，可与点重合），
，
，
综上所述，与之间的函数关系式为，．
【分析】（1）根据矩形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，，利用两角对应相等，两个三角形相似即可得到，，即可得出与相似的三角形有，，，；
（2）根据相似三角形性质得到，即可求解出与之间的函数关系式，根据点在边（点不与点重合，可与点重合）即可得到的取值范围，从而求得的取值范围．
（1）解：在矩形中，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
在矩形中，，
，
又，，
，
即，
在直角中，
，
点在边（点不与点重合，可与点重合），
，
，
综上所述，与之间的函数关系式为，．
13．（2024九上·长兴月考）如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝6，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA．
（1）求证：.
（2）若，求边AB的长.
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，
由翻折可知，
（2）解：
设
在Rt中，解得
【知识点】矩形翻折模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据矩形和折叠的性质易证∠PAD=∠CPO，即可证△APD∽△POC，得；
(2)由相似三角形的性质得出，结合题意可求出，DP=2OC，设OC=x，则OB=OP=6-x，在Rt△POC中，根据勾股定理可列出关于x的方程，求解即可.
14．（2024九上·杭州期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交A8的延长线于E，且∠EDB=∠C.
（1）求证：；
（2）若，求AB的长.
【答案】（1）证明： 平行四边形ABCD中， ∠A=∠C，
∵∠EDB=∠C，
∴∠A=∠EDB，
又∠E=∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：平行四边形ABCD中， DC= AB，
由 (1) 得△ADE~△DBE，
∴
∴AB=AE-BE=8-5=3( cm).
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由平行四边形的对角相等，可得∠A =∠C，即可求得∠A=∠EDB， 又由公共角∠E=∠E， 可证得△ADE-△DBE；
(2)根据相似三角形的对应边成比例，易得 求出BE，即可求得AB的值.
15．（2024九上·浙江期中）如图，在△ABC中，D是AC上一点，已知．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度数．
【答案】（1）证明：
（2）解：∵∠A＝20°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°－20°－40°＝120°，
∵∠ABD＝∠C＝40°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝120°－40°＝80°．
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等证明即可解题；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝120°，然后根据∠ABD＝∠C＝40°即可解题．
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