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4.7相似三角形的性质（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2024九下·杭州开学考）两个相似三角形的相似比是1：2，则其对应边上中线之比是（　　）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
2．（2024·宝安模拟）图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是m，则物体的高度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·杭州模拟） 如图， ， E 是 延长线上一点， CE与AD、BD分别交于点G、F. 则下列说法错误的是 (　　)
A． B． C． D．
4．如果两个相似三角形的对应边之比为3：7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，则另一个三角形对应中线的长为（　　）
A． B． C．或 D．无法确定
5．（2023九上·通道期中）如图，中，边，高，边长为x的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则正方形边长x为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2025九下·萧山开学考）如果两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3，那么它们的对应中线之比为　 　.
7．如果三角形的每条边都扩大为原来的2倍，那么三角形的每条高都为原来的　 　倍．
8．如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．如果的面积为6，那么这个正方形的边长是　 　.
9．（2024·南山模拟）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是　 　．
10．（2022九下·南召开学考）△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝　 　
三、解答题
11．（2025·长沙模拟）如图，在矩形中，，分别在，边上，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求线段的长．
12．（2024九上·义乌期中）如图，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，，，从这张硬纸片剪下一个矩形，使它的一边在上，顶点分别在上，且，与的交点为．
（1）求证：．
（2）求这个矩形的周长．
13．（2024九上·电白期末）如图，，与交于点E，且，，．
（1）求的长；
（2）求证：．
14．（2024九上·市中区月考）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题：
（1）当时，判断的形状，并说明理由；
（2）作交于点R．连接，当t为何值时，．
15．（2024九下·临平模拟）如图1，在中，是BC的中点，点，点分别在AB，AC上，连结DE，DF.
（1）若求证：.
（2）如图2，在(1)的条件下，连结EF，若，求DE的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴其对应边上中线之比是1：2，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
∴
∵，．
∴
∴物体的高度为
故选：C
【分析】
相似三角形对应高的比等于相似比．
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：A：因为，所以，即，因为AB=CD，所以，故A正确；
B：因为，所以，，故B错误；
C：因为，，所以，，即，故C正确；
D：因为，所以，，而，所以，，故D正确。
故答案为： B
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可知，AG//BC，易得，可得，进而，可得，而AB=CD，故；根据AE//CD，易得，所以，；根据GD//BC，易得，所以，，而，故；根据四边形ABCD是平行四边形，可知，，易得，所以，据此即可判断
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：设另一个三角形对应中线的长为 x
∴
解得x=或
故答案为C.
【分析】设另一个三角形对应中线的长为 x，根据题意需要分两种情况讨论，再根据相似三角形对应中线的比等于相似比，列出方程，解出x即可.
5．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
即，
解得．
故答案为：A
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质．利用正方形的性质可推出：，利用相似三角形的判定定理可证明，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，据此列方程，解方程可求出的值．
6．【答案】2：3
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解： 已知两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3
根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高、中线、角平分线等的比例关系都等于相似比
因此这两个相似三角形的对应中线之比也应该是2：3
综上，两个相似三角形的对应中线之比为2：3
故答案为：2：3.
【分析】本题考查相似三角形的性质.根据两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3，利用相似三角形的性质：相似三角形的对应高、中线、角平分线等的比例关系都等于相似比，据此可求出两个相似三角形的对应中线之比.
7．【答案】2
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵三角形的每条边都扩大为原来的2倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，相似比为2：1，
则扩大后的三角形与原三角形的对应高的比为2：1，即三角形的每条高都为原来的2倍，
故答案为：2.
【分析】因为三角形的每条边长都扩大为原来的2倍所得三角形与原三角形相似，再根据形似三角形的性质进行解答即可.
8．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，交GF于点M，
∵△ABC的面积为6，
∴，
解之：AH=3，
∵正方形EFGD，
∴GF=GD，
易证四边形DGMH是矩形，
∴MH=DG，
设DG=x，AM=3-x，GF=x，
∵FG∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴即
解之：.
∴这个正方形的边长是.
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，交GF于点M，利用三角形的面积公式求出AH的长，再证明GF=DG，易证四边形DGMH是矩形，利用矩形的性质可证得MH=DG，设DG=x，AM=3-x，GF=x；由FG∥BC，可证得△AGF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到正方形的边长.
9．【答案】－1
【知识点】点的坐标；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F
由题意知，，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】过点A作，点C作，垂足分别为G，F，根据相似三角形判定定理可得，得比例线段，由，得线段长度，，代入比例线段即可求出答案.
10．【答案】或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE= ；
第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE= .
故答案为：或.
【分析】分①△ABC∽△ADE，②△ABC∽△AED，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算即可.
11．【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
在矩形中，，
在中，，
又，
，
是直角三角形，且．
（2）解：在矩形中，，，
又，
，
，
，即，
，
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【分析】（1）在三角形ADE中，根据勾股定理求出，然后再根据勾股定理逆定理即可证明
（2）根据题干信息，易证，从而可得，代入数据，，即可求解．
（1）解：是直角三角形，理由如下：
在矩形中，，
在中，，
又，
，
是直角三角形，且．
（2）解：在矩形中，，，
又，
，
，
，即，
，
．
12．【答案】（1）证明： ∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG-△ABC，
（2）解：设HE= 3x， MD=HE= 3x，
∵AD=3，
∴AM =3-x，
∵ ，
∴HG=2x，
由（1） 可得 解得 ，
∴矩形的周长为2×(3x+2x)=10x=.
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【分析】(1)根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC， 再证明△AHG-△ABC， 即可证出；
(2)根据 (1) 中比例式即可求出HE和HG的长度.
13．【答案】（1）解：，，
，
，
；
，
．
（2）证明：，，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【分析】(1)由AB∥CD可知，相似三角形对应边成比例，即可求出CD的长；
(2)由已知条件可知有两边对应成比例，且夹角相等·，根据相似三角形的判定定理SAS可得.
14．【答案】（1）是等边三角形
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的性质
15．【答案】（1）证明：
（2）解：由（1）得，
【知识点】相似三角形的性质；线段的中点；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理和AB=AC推出，即推出再根据一线三等角模型，可以推出
(2)由(1)中的可以得出：根据D 是BC的中点， 得出DB=CD，这样可以得出：再根据证明根据对应边成比例，可以得出即可.
1 / 14.7相似三角形的性质（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2024九下·杭州开学考）两个相似三角形的相似比是1：2，则其对应边上中线之比是（　　）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴其对应边上中线之比是1：2，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
2．（2024·宝安模拟）图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是m，则物体的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
∴
∵，．
∴
∴物体的高度为
故选：C
【分析】
相似三角形对应高的比等于相似比．
3．（2025·杭州模拟） 如图， ， E 是 延长线上一点， CE与AD、BD分别交于点G、F. 则下列说法错误的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：A：因为，所以，即，因为AB=CD，所以，故A正确；
B：因为，所以，，故B错误；
C：因为，，所以，，即，故C正确；
D：因为，所以，，而，所以，，故D正确。
故答案为： B
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可知，AG//BC，易得，可得，进而，可得，而AB=CD，故；根据AE//CD，易得，所以，；根据GD//BC，易得，所以，，而，故；根据四边形ABCD是平行四边形，可知，，易得，所以，据此即可判断
4．如果两个相似三角形的对应边之比为3：7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，则另一个三角形对应中线的长为（　　）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：设另一个三角形对应中线的长为 x
∴
解得x=或
故答案为C.
【分析】设另一个三角形对应中线的长为 x，根据题意需要分两种情况讨论，再根据相似三角形对应中线的比等于相似比，列出方程，解出x即可.
5．（2023九上·通道期中）如图，中，边，高，边长为x的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则正方形边长x为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
即，
解得．
故答案为：A
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质．利用正方形的性质可推出：，利用相似三角形的判定定理可证明，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，据此列方程，解方程可求出的值．
二、填空题
6．（2025九下·萧山开学考）如果两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3，那么它们的对应中线之比为　 　.
【答案】2：3
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解： 已知两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3
根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高、中线、角平分线等的比例关系都等于相似比
因此这两个相似三角形的对应中线之比也应该是2：3
综上，两个相似三角形的对应中线之比为2：3
故答案为：2：3.
【分析】本题考查相似三角形的性质.根据两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3，利用相似三角形的性质：相似三角形的对应高、中线、角平分线等的比例关系都等于相似比，据此可求出两个相似三角形的对应中线之比.
7．如果三角形的每条边都扩大为原来的2倍，那么三角形的每条高都为原来的　 　倍．
【答案】2
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵三角形的每条边都扩大为原来的2倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，相似比为2：1，
则扩大后的三角形与原三角形的对应高的比为2：1，即三角形的每条高都为原来的2倍，
故答案为：2.
【分析】因为三角形的每条边长都扩大为原来的2倍所得三角形与原三角形相似，再根据形似三角形的性质进行解答即可.
8．如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．如果的面积为6，那么这个正方形的边长是　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，交GF于点M，
∵△ABC的面积为6，
∴，
解之：AH=3，
∵正方形EFGD，
∴GF=GD，
易证四边形DGMH是矩形，
∴MH=DG，
设DG=x，AM=3-x，GF=x，
∵FG∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴即
解之：.
∴这个正方形的边长是.
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，交GF于点M，利用三角形的面积公式求出AH的长，再证明GF=DG，易证四边形DGMH是矩形，利用矩形的性质可证得MH=DG，设DG=x，AM=3-x，GF=x；由FG∥BC，可证得△AGF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到正方形的边长.
9．（2024·南山模拟）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是　 　．
【答案】－1
【知识点】点的坐标；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F
由题意知，，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】过点A作，点C作，垂足分别为G，F，根据相似三角形判定定理可得，得比例线段，由，得线段长度，，代入比例线段即可求出答案.
10．（2022九下·南召开学考）△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝　 　
【答案】或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE= ；
第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE= .
故答案为：或.
【分析】分①△ABC∽△ADE，②△ABC∽△AED，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算即可.
三、解答题
11．（2025·长沙模拟）如图，在矩形中，，分别在，边上，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求线段的长．
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
在矩形中，，
在中，，
又，
，
是直角三角形，且．
（2）解：在矩形中，，，
又，
，
，
，即，
，
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【分析】（1）在三角形ADE中，根据勾股定理求出，然后再根据勾股定理逆定理即可证明
（2）根据题干信息，易证，从而可得，代入数据，，即可求解．
（1）解：是直角三角形，理由如下：
在矩形中，，
在中，，
又，
，
是直角三角形，且．
（2）解：在矩形中，，，
又，
，
，
，即，
，
．
12．（2024九上·义乌期中）如图，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，，，从这张硬纸片剪下一个矩形，使它的一边在上，顶点分别在上，且，与的交点为．
（1）求证：．
（2）求这个矩形的周长．
【答案】（1）证明： ∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG-△ABC，
（2）解：设HE= 3x， MD=HE= 3x，
∵AD=3，
∴AM =3-x，
∵ ，
∴HG=2x，
由（1） 可得 解得 ，
∴矩形的周长为2×(3x+2x)=10x=.
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【分析】(1)根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC， 再证明△AHG-△ABC， 即可证出；
(2)根据 (1) 中比例式即可求出HE和HG的长度.
13．（2024九上·电白期末）如图，，与交于点E，且，，．
（1）求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）解：，，
，
，
；
，
．
（2）证明：，，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【分析】(1)由AB∥CD可知，相似三角形对应边成比例，即可求出CD的长；
(2)由已知条件可知有两边对应成比例，且夹角相等·，根据相似三角形的判定定理SAS可得.
14．（2024九上·市中区月考）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题：
（1）当时，判断的形状，并说明理由；
（2）作交于点R．连接，当t为何值时，．
【答案】（1）是等边三角形
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的性质
15．（2024九下·临平模拟）如图1，在中，是BC的中点，点，点分别在AB，AC上，连结DE，DF.
（1）若求证：.
（2）如图2，在(1)的条件下，连结EF，若，求DE的值.
【答案】（1）证明：
（2）解：由（1）得，
【知识点】相似三角形的性质；线段的中点；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理和AB=AC推出，即推出再根据一线三等角模型，可以推出
(2)由(1)中的可以得出：根据D 是BC的中点， 得出DB=CD，这样可以得出：再根据证明根据对应边成比例，可以得出即可.
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