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第一章集合与常用逻辑用语 章末综合检测试题
2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．集合满足，，则集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设命题，则的否定为（ ）
A． B．
C． D．
4．设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
8．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草 植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀” “合格”2个等级，结果如下表：
等级 项目 优秀 合格 合计
除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
二、多选题
9．设集合，集合，则集合中的元素可能是（ ）
A． B．2 C． D．3
10．（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（　　）
A．
B．p：，q：
C．p：，q：
D．p：，q：
11．下列命题中，真命题的是（ ）
A．若且则至少有一个大于 B．
C．的充要条件是 D．至少有一个实数，使得
12．下列结论正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“，有”的否定是“，使”
D．“是方程的实数根”的充要条件是“”
三、填空题
13．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
14．若命题：，，命题：，，若和都是真命题，则实数的取值范围是 ．
15．“，”是假命题，则实数的取值范围为 .
16．已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数．定义若，则实数a的所有可能取值构成的集合为 ．
四、解答题
17．已知命题p：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A．
（1）求集合A；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18．已知非空集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．设命题P：实数x满足；命题q：实数x满足.
（1）若，且p，q都为真，求实数x的取值范围；
（2）若，且q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
20．已知命题“，”为真命题.
（1）求实数的取值的集合；
（2）若，使得成立，记实数的范围为集合，若中只有一个整数，求实数的范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A A B A C AC BD
题号 11 12
答案 ABD ACD
1．B
【分析】根据交集与并集的定义判断即可.
【详解】因为，故，又，故，
又，故，即集合中的元素个数为4.
故选：B
2．C
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为，又，
所以.
故选：C
3．C
【分析】根据含有量词的命题否定方法求解.
【详解】因为命题，所以的否定为：.
故选：C.
4．A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
5．A
【分析】利用绝对值的定义及充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意可知，，
或，即不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．B
【分析】根据充分条件必要条件的定义即得.
【详解】由名言可得大意为如果不“积跬步”，便不能“至千里”，
荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，
所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.
故选：B.
7．A
【分析】先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可.
【详解】命题“，”的否定为“，”，该命题为真命题，即，解得.
故选：A
8．C
【分析】用集合表示除草优秀的学生，表示植树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．
【详解】用集合表示除草优秀的学生，表示植树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，
设两个项目都优秀的人数为，两个项目都是合格的人数为，由图可得，，因为，所以．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．
9．AC
【分析】由补集的定义求出，即可判断出答案．
【详解】因为，
所以，
故选：AC．
10．BD
【分析】根据不等式的性质，结合充要条件的判断，即可由选项逐一求解.
【详解】对于A选项，p q，但不一定得到，故p不是q的充要条件；
对于B选项，p q，且q p，即p q，故p是q的充要条件；
对于C选项，不能得到，但一定，故p不是q的充要条件；
对于D选项，p q，且q p，故p是q的充要条件．
故选：BD.
11．ABD
【分析】假设，中没有一个大于得，与矛盾可判断A；可判断B；取时可判断C；取可判断D.
【详解】对于A，假设，中没有一个大于2，即，，则，与矛盾，故A正确；
对于B，由即，则，故在上恒成立，故B正确；
对于C，当时，，推不出，必要性不成立，故C错误；
对于D，当，此时，所以至少有一个实数，
使得，故D正确.
故选：ABD.
12．ACD
【分析】根据不等式的范围判断A；根据交集的概念判断B；全称量词命题的否定是存在量词命题判断C；将1代入方程求解判断D.
【详解】对于A，因为，所以或，所以“当”时，“”成立，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，正确；
对于B，“”一定有“”成立，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，错误；
对于C，命题“，有”是全称量词命题，
其否定是存在量词命题，即“，使”，正确；
对于D，当时，1为方程的一个根，故充分；
当方程有一个根为1时，代入得，故必要，正确；
故选：ACD
13．
【分析】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解.
【详解】因为命题“”是命题“”的充分不必要条件，
所以集合真包含于集合，
又集合，集合，
所以.
故答案为：
14．
【分析】根据全称命题与特称命题，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】由命题是真命题，根据二次函数的性质，可得；
由命题为真命题，根据二次函数的性质，可得，解得.
综上可得，.
故答案为：
15．
【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围.
【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题，
即“，”是真命题，
当时，，不等式显然成立，
当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
16．
【分析】先由题中条件，得到或，结合方程分别求解，即可得出结果.
【详解】因为，，所以或．
当时，或．
当时，关于x的方程有3个实数解，
所以关于x的方程只有一个解且不为1和，
则，解得．
当时，的解为1，不符合题意；
当时，的解为-1，符合题意．
综上，a的所有可能取值为0，1，，即所求集合为．
故答案为：.
17．（1）；（2）．
【分析】（1）由一元二次方程有实数解，即判别式不小于0可得结果；
（2）将是的必要不充分条件化为是的真子集后，列式可求出结果．
【详解】（1）由命题为真命题，得，得
∴．
（2）∵是的必要不充分条件，∴是的真子集．
∴（等号不能同时成立），
解得.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由交集、补集的运算求解即可；
（2）转化为集合间关系后列式求解.
【详解】（1）当时，，，
则或,
；
（2）是非空集合，“”是“”的充分不必要条件，则是Q的真子集，
所以且与不同时成立，解得，
故a的取值范围是.
19．（1）；（2）.
【解析】（1）根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，分别求得命题，再结合命题都为真时，即可求解实数的取值范围；
（2）根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，分别求得命题，由是的充分不必要条件，转化为集合的包含关系，即可求解.
【详解】（1）由不等式，可得，
当时，解得，即p为真时，，
由，可得，解得，即q为真时，，
若都为真时，实数x的取值范围是.
（2）由不等式，可得，
因为，所以，即p为真时，不等式的解集为，
又由不等式，可得，即q为真时，不等式的解集为，
设，
因为是的充分不必要条件，可得集合是的真子集，则，解得，
所以实数m的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了根据复数命题的真假，以及必要不充分条件求解参数的取值范围，以及一元二次不等式和绝对值不等式的求解，其中解答中熟记不等式的解法，求得命题是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）根据命题为真转化为不等式恒成立，利用判别式求解；
（2）分类讨论的正负求出集合B,再根据中只有一个整数建立不等式求解.
【详解】（1）由条件知，恒成立，
只需的.
解得，也即.
（2）若，使得成立，
也即,,
当，只需，此时.
当，只需，此时.
因此，当时，若使得只有一个整数，则只需
解得.
当，由于，
因此必有整数，与条件不符，矛盾.
综上所述，实数的取值范围是.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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