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第一章集合与常用逻辑用语 常用逻辑用语--易错知识点 强化练 2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．使成立的一个必要条件是
A． B． C． D．
3．“四边形为菱形”是“四边形的两条对角线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设，则“”的充要条件是（ ）
A．都为1 B．都不为1
C．中至少有一个为1 D．都不为0
5．给出以下命题：①，；②，；③有些自然数是偶数；④，.其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．命题“，一元二次方程有实根”的否定是
A．，一元二次方程没有实根
B．，一元二次方程没有实根
C．，一元二次方程没有实根
D．，一元二次方程没有实根
二、多选题
9．（多选）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．下列结论中正确的是（ ）
A．，能被2整除是真命题
B．，不能被2整除是真命题
C．，不能被2整除是真命题
D．，能被2整除是真命题
三、填空题
11．若“”的必要不充分条件是“”，则实数a的取值范围是 ．
12．若，或，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ．
13．“方程没有实数根”的充要条件是 .
14．在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）.
（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件.
15．已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是 ．
16．已知命题P：“对任意，存在，使得”为假，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题
17．设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
18．已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)
① mx2－4x＋4＝0,
② x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求方程①和②都有整数解的充要条件.
19．已知命题p：；q：，使
(1)若命题p是假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题p是假命题，命题q是真命题，求实数的取值范围．
20．已知命题，命题，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C B B A C AB CD
1．B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】由，得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．A
【解析】根据题意，作为充分条件，即作为所求条件对应集合的子集，即可得出选项.
【详解】由题：寻找使成立的一个必要条件，
即作为充分条件，作为所求条件对应集合的子集，
结合四个选项，只有满足条件.
故选：A
【点睛】此题考查充分条件和必要条件，关键在于准确转化为通过集合的关系分析认识充分条件和必要条件，根据集合包含关系，充分条件所对应的集合为子集.
3．A
【分析】根据菱形的定义与性质，结合充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，
反之,若四边形的两条对角线互相垂直，四边形不一定是菱形，
所以“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A
4．C
【分析】由，求得或，结合选项，即可求解.
【详解】由，可得，解得或，
故“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”．
故选：C.
5．B
【分析】当时代入，结合存在量词得到①正确；举反例结合全称量词可得②错误；直接判断可得③正确；结合二次函数的性质，存在量词判断一元二次不等式可得④错误；
【详解】对于①，当时，，故，.故①是真命题；
对于②，当时，，故②不是真命题；
对于③，2，4是偶数，所以有些自然数是偶数是真命题，故③是真命题；
对于④，因为，故④不是真命题.
所以真命题的个数为2.
故选：B.
6．B
【解析】根据题意，得到方程没有实数根，结合判别式，即可得出结果.
【详解】因为是假命题，所以方程没有实数根，即，即．
故选：B.
【点睛】本题主要考查由特称命题的真假求参数，属于基础题.
7．A
【分析】先由命题为假得在上有解，从而得，求出即可得解.
【详解】因为，为假命题，
所以在上有解，所以，
因为为增函数，
所以，所以实数a的取值范围为.
故选：A.
8．C
【分析】根据全称命题的否定结论直接选出答案即可.
【详解】根据全称命题的否定结论可知：命题“，一元二次方程有实根”的否定是，一元二次方程没有实根，故本题选C.
【点睛】本题考查了全称量词命题的否定的结论，正确理解全称量词命题的否定的结论是解题的关键.
9．AB
【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若，则成立，所以A符合题意；
对于B中，若，则成立，所以是的充分条件，所以B符合题意；
对于C中，若，当，则不成立，反之：若，则成立，所以是的必要不充分条件，所以C不符合题意；
对于D中，例如：，满足，此时，反之：也不成立，
所以是的既不充分也不必要条件，所以D不符合题意.
故选：AB.
10．CD
【分析】由全称命题与特称命题的性质，举例说明命题的真假.
【详解】当时，不能被2整除，当时，能被2整除，
所以A、B错误，C、D正确．
故选：CD.
11．
【分析】将必要不充分条件转化为集合之间在关系，即可列不等式求解.
【详解】由于“”的必要不充分条件是“”，所以
则且两个等号不同时取得，解得，经检验和均符合要求，
故a的取值范围是．
故答案为：
12．
【分析】依题意有A B，根据集合的包含关系，列不等式求实数a的取值范围.
【详解】因为A是B的充分不必要条件，所以A B，
又，或，
因此或，解得或
所以实数a的取值范围是．
故答案为：
13．
【解析】利用判别式求出条件，再由充要条件的定义说明．
【详解】解析因为方程没有实数根，所以有，解得，因此“方程没有实数根”的必要条件是.反之，若，则，方程无实根，从而充分性成立.故“方程没有实数根”的充要条件是“”.
故答案为：
【点睛】本题考查充要条件，掌握充要条件的定义是解题关键．
14．（1）（2）（3）
【分析】根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解.
【详解】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确；
（2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确；
（3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确；
（4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误.
故答案为：（1）（2）（3）
15．
【详解】是假命题，，解得，由是真命题，，解得，实数的取值范围是，故答案为.
16．.
【分析】根据含量词命题的否定得到真命题，转化为，不等式求解即可.
【详解】“对任意，存在，使得”为假，
则“存在，对任意的，使得”为真，
即，故，解得.
故答案为：.
17．(1)
(2).
【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；
（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是.
18．.
【分析】(1)判定是的什么条件，需要从两方面去理解：一是由条件能否推得；二是由条件能否推得.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可以利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；（2)判断充要条件的方法：（1）定义法：直接判断若则、若则的真假；（2）等价法：利用与，
与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法；（3）利用集合间的包含关系判断：若，则是的充分条件或是的必要条件，若，则是的充要条件.
【详解】
方程①有实根的充要条件是m=0,或m不等于0时解得m1.
方程②有实根的充要条件是，
解得
故m=－1或m=0或m=1.
当m=－1时，①方程无整数解.
当m=0时，②无整数解；
当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.
∴①②都有整数解的充要条件是m=1
考点：充要条件的探索.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）先求出p是真命题时的取值范围，进而求出p是假命题，实数的取值范围；
（2）求出q是真命题的取值范围，结合（1），即可求解.
【详解】（1）若命题p是真命题，即在上恒成立.
当时，，不能恒成立；
当时，只需即，．
若命题p是假命题，则．
即实数的范围为.
（2）若命题q为真命题，即，使，即在上的最大值大于等于0.
因为为开口向上的二次函数，对称轴为，故当2时取得最大值，即
属于当p假q真时，只需且，即．
即实数的范围为.
20．．
【分析】通过均为真命题，求得的取值范围，再取补集即可.
【详解】若命题为真命题，
则，∴.
若命题，为真命题，则，∴.
∴均为真命题时，满足，即，
其补集为，
∴命题和命题至多有一个为真命题，实数a的取值范围为．
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