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4.7相似三角形的性质（第2课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1． 如图所示，在△ABC中，E，F，D分别是边AB，AC，BC上的点，且满足 则△EFD 与△ABC 的面积比为（　　)
A． B． C． D．
2．（2024九上·长沙月考）如图，在中，，且分别交于点D，E，若，则下列说法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·遵义模拟）如图，已知且．若，则值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025·织金模拟）如图，与相交于点O，且．若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
5．（2025·濠江模拟）如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（　　）
A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：4
二、填空题
6．（2025·城中模拟）若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为　 　
7． 如图所示，点 D，E 分别在△ABC 的边AC，AB 上，△ADE∽△ABC，M，N 分别是DE，BC 的中点，若 则 　 　.
8．（2025·凉州模拟）如图，，，，则的长为　 　．
9．（2025·黄埔模拟）如图，在平行四边形中，为上一点，且，与相交于点，，则　 　．
10．（2025·凉州模拟）如图，在平行四边形中，过对角线上一点P作，，且，，则四边形的面积是　 　．
三、解答题
11．（2023九上·晋源月考）如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
12．（2025·长沙模拟）如图，，平分，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作圆弧，交于点，点．作直线，分别交于，点，，连结，．
（1）请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）设的面积为，四边形的面积为，若，求的值．
13．（2025·长沙模拟）如图，在平行四边形中，连接，为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，．
（1）若，求的长；
（2）若，求平行四边形的面积．
14．（2024九上·柯城期中）如图，在中，点在的延长线上，与交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积为，，求的面积．
15．如图，在 中， 与 分别是 的 内角 的平分线， 过点 作 交 的延长线于点 ．
（1） 求 的度数．
（2） 求 的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设△AEF的高是h，△ABC的高是h'，
∵，
∴
又∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴，S△AEF：S△ABC=1：9，
∴ h'= 3h，
∴△DEF的高=2h，
设△AEF的面积是s，EF=a，
∴S△ABC=9s，
∵，
∴ S△DEF：S△ABC=2：9.
故答案为：B.
【分析】先设△AEF的高是h，△ABC的高是h'，由于 ，根据比例性质易得，而∠A=∠A ，易证△AEF∽△ABC，从而易得h'=3h，那么△DEF的高就是2h，再设△AEF的面积是s，EF=a，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么S△AEF：S△ABC=1：9 ，进而即可求解.
2．【答案】D
【知识点】比例的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：A、，
，
，
，
∴此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∵DE∥BC，
，
∴此选项不符合题意；
C、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式；
B、根据比例的性质并结合已知条件可求解；
C、根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方并结合比例的性质可求解；
D、由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
相似三角形的面积比等于相似比的平方．
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
设与的相似比为，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先证出，利用相似三角形的性质可得，设与的相似比为，则，再求出，可得，最后求出即可.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】
由于平行四边形对边平行且相等，则可证明，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
6．【答案】1：9
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9.
故答案为：1：9.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此求解即可.
7．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：AM、AN分别是和的中线且
故答案为：.
【分析】相似三角形的对应中线的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
8．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
9．【答案】24
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：24．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得，，则，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，再根据同高三角形面积比等于底的比即可求解．
10．【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形，四边形，四边形，四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
故答案为：8．
【分析】利用平行四边形的性质得到，，，再根据相似三角形的判定与性质求出，的面积，根据计算解题．
11．【答案】证明：（1），
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，
，，
，
解得或（不符题意，舍去），
则的长为9．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
12．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由题意可知：垂直平分，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形。
（2）解：由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
由
可设，则有，
∴，
∴，
∴。
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据题干中的作图方法，易得，从而可得，，再根据平分，可得，进而可得，易证四边形是平行四边形，最后再根据菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形的是平行四边形，据此即可证明。
（2）根据（1）易得，进而可得，易得的值，设，可得，进而根据相似三角形的性质：，代入数据即可求解
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由题意可知：垂直平分，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
由可设，则有，
∴，
∴，
∴．
13．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵BG+DG=BD=20，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，.
∵，可设DF=3x，FC=2x，
∴，
∵，
∴，即，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，结合BG+DG=BD=20，即可求出的长；
（2）根据平行四边形的性质得出，，，继而可得出，，.设DF=3x，FC=2x，可得AB=CD=5x。由可计算出DM和CM的值，由可得，于是可得，由得，最后根据即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
14．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
；
（2）解：，
∴设，
∴，
四边形是平行四边形，
，，
，
∴相似比为，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质得得，，从而根据相似三角形的判定：“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证结论；
（2）由已知条件设，根据平行四边形的性质求出，，从而证出，进而可求出相似比，最后根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
15．【答案】（1）解：记∠ABD为∠1，∠DAB为∠2，∠ADE为∠3，如图：
与 分别是 的内角 ， 的平分线，
.
∵∠C=90°，
（2）解：过 作 于点 ，如图：
∴△ADE是等腰直角三角形，
设 ， 则 ，
在 Rt 中， ，
∵．
∴△ABC也是等腰直角三角形.
在 Rt 中， ，
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可求得∠1+∠2=45°，继而可利用三角形的外角性质可得∠3=45°，最后再利用相似三角形的性质即可得到答案；
（2）过 作 于点 ，证明△ADE和△ABC是等腰直角三角形，设AF=a，表示出DF和AD；证明∠1=∠2，得AD=BD，在Rt△ABF中利用勾股定理求出AB2，最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解问题即可.
1 / 14.7相似三角形的性质（第2课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1． 如图所示，在△ABC中，E，F，D分别是边AB，AC，BC上的点，且满足 则△EFD 与△ABC 的面积比为（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设△AEF的高是h，△ABC的高是h'，
∵，
∴
又∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴，S△AEF：S△ABC=1：9，
∴ h'= 3h，
∴△DEF的高=2h，
设△AEF的面积是s，EF=a，
∴S△ABC=9s，
∵，
∴ S△DEF：S△ABC=2：9.
故答案为：B.
【分析】先设△AEF的高是h，△ABC的高是h'，由于 ，根据比例性质易得，而∠A=∠A ，易证△AEF∽△ABC，从而易得h'=3h，那么△DEF的高就是2h，再设△AEF的面积是s，EF=a，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么S△AEF：S△ABC=1：9 ，进而即可求解.
2．（2024九上·长沙月考）如图，在中，，且分别交于点D，E，若，则下列说法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：A、，
，
，
，
∴此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∵DE∥BC，
，
∴此选项不符合题意；
C、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式；
B、根据比例的性质并结合已知条件可求解；
C、根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方并结合比例的性质可求解；
D、由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
3．（2025·遵义模拟）如图，已知且．若，则值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
相似三角形的面积比等于相似比的平方．
4．（2025·织金模拟）如图，与相交于点O，且．若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
设与的相似比为，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先证出，利用相似三角形的性质可得，设与的相似比为，则，再求出，可得，最后求出即可.
5．（2025·濠江模拟）如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（　　）
A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：4
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】
由于平行四边形对边平行且相等，则可证明，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
二、填空题
6．（2025·城中模拟）若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为　 　
【答案】1：9
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9.
故答案为：1：9.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此求解即可.
7． 如图所示，点 D，E 分别在△ABC 的边AC，AB 上，△ADE∽△ABC，M，N 分别是DE，BC 的中点，若 则 　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：AM、AN分别是和的中线且
故答案为：.
【分析】相似三角形的对应中线的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
8．（2025·凉州模拟）如图，，，，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
9．（2025·黄埔模拟）如图，在平行四边形中，为上一点，且，与相交于点，，则　 　．
【答案】24
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：24．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得，，则，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，再根据同高三角形面积比等于底的比即可求解．
10．（2025·凉州模拟）如图，在平行四边形中，过对角线上一点P作，，且，，则四边形的面积是　 　．
【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形，四边形，四边形，四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
故答案为：8．
【分析】利用平行四边形的性质得到，，，再根据相似三角形的判定与性质求出，的面积，根据计算解题．
三、解答题
11．（2023九上·晋源月考）如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】证明：（1），
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，
，，
，
解得或（不符题意，舍去），
则的长为9．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
12．（2025·长沙模拟）如图，，平分，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作圆弧，交于点，点．作直线，分别交于，点，，连结，．
（1）请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）设的面积为，四边形的面积为，若，求的值．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由题意可知：垂直平分，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形。
（2）解：由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
由
可设，则有，
∴，
∴，
∴。
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据题干中的作图方法，易得，从而可得，，再根据平分，可得，进而可得，易证四边形是平行四边形，最后再根据菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形的是平行四边形，据此即可证明。
（2）根据（1）易得，进而可得，易得的值，设，可得，进而根据相似三角形的性质：，代入数据即可求解
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由题意可知：垂直平分，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
由可设，则有，
∴，
∴，
∴．
13．（2025·长沙模拟）如图，在平行四边形中，连接，为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，．
（1）若，求的长；
（2）若，求平行四边形的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵BG+DG=BD=20，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，.
∵，可设DF=3x，FC=2x，
∴，
∵，
∴，即，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，结合BG+DG=BD=20，即可求出的长；
（2）根据平行四边形的性质得出，，，继而可得出，，.设DF=3x，FC=2x，可得AB=CD=5x。由可计算出DM和CM的值，由可得，于是可得，由得，最后根据即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
14．（2024九上·柯城期中）如图，在中，点在的延长线上，与交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积为，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
；
（2）解：，
∴设，
∴，
四边形是平行四边形，
，，
，
∴相似比为，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质得得，，从而根据相似三角形的判定：“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证结论；
（2）由已知条件设，根据平行四边形的性质求出，，从而证出，进而可求出相似比，最后根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
15．如图，在 中， 与 分别是 的 内角 的平分线， 过点 作 交 的延长线于点 ．
（1） 求 的度数．
（2） 求 的值．
【答案】（1）解：记∠ABD为∠1，∠DAB为∠2，∠ADE为∠3，如图：
与 分别是 的内角 ， 的平分线，
.
∵∠C=90°，
（2）解：过 作 于点 ，如图：
∴△ADE是等腰直角三角形，
设 ， 则 ，
在 Rt 中， ，
∵．
∴△ABC也是等腰直角三角形.
在 Rt 中， ，
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可求得∠1+∠2=45°，继而可利用三角形的外角性质可得∠3=45°，最后再利用相似三角形的性质即可得到答案；
（2）过 作 于点 ，证明△ADE和△ABC是等腰直角三角形，设AF=a，表示出DF和AD；证明∠1=∠2，得AD=BD，在Rt△ABF中利用勾股定理求出AB2，最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解问题即可.
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